Definisi dan Konsep Teori Representasi Matematika – Biarkan V menjadi ruang vektor di atas bidang F. Misalnya, misalkan V adalah Rn atau Cn, ruang n-dimensi standar vektor kolom di atas bilangan riil atau kompleks. Dalam hal ini, gagasan teori representasi adalah melakukan aljabar abstrak secara konkret dengan menggunakan n × n matriks angka riil atau kompleks.

Definisi dan Konsep Teori Representasi Matematika

transitionmathproject – Kumpulan semua matriks n × n yang tidak dapat dialihkan adalah grup di bawah perkalian matriks, dan teori representasi grup menganalisis grup dengan menggambarkan (“mewakili”) elemennya dalam hal matriks yang tidak dapat dibalik.

Baca Juga : Spektroskopi Transformasi Fourier, Teknik Pengukuran Koherensi Sumber Radiatif

Penambahan dan perkalian matriks membuat set semua n × n matriks menjadi aljabar asosiatif, dan karenanya ada teori representasi aljabar asosiatif yang sesuai.

Jika kita mengganti matriks perkalian MN oleh komutator matriks MN − NM, maka n × n matriks menjadi aljabar Kebohongan, yang mengarah ke teori representasi aljabar Kebohongan.

Terminologi

Ruang vektor V disebut ruang representasi φ dan dimensinya (jika terbatas) disebut dimensi representasi (kadang-kadang derajat, seperti pada ). Juga praktik umum untuk menyebut V itu sendiri sebagai representasi ketika homomorfisme φ jelas dari konteks, jika tidak, notasi (V,φ) dapat digunakan untuk menunjukkan representasi.

Ketika V memiliki dimensi terbatas n, seseorang dapat memilih dasar bagi V untuk mengidentifikasi V dengan Fn, dan karenanya memulihkan representasi matriks dengan entri di bidang F. Representasi yang efektif atau setia adalah representasi (V,φ), di mana homomorfisme φ injektif.

Reducibilitas lengkap

Dalam keadaan yang menguntungkan, setiap representasi dimensi terbatas adalah jumlah langsung representasi yang tidak dapat diedukasi: representasi tersebut dikatakan semisimple. Dalam hal ini, cukup untuk memahami hanya representasi yang tereduksi. Contoh di mana fenomena “reducibility lengkap” ini terjadi termasuk kelompok terbatas (lihatorema Maschke), kelompok kompak, dan aljabar Kebohongan semisimple.

Dalam kasus di mana reducibility lengkap tidak tahan, seseorang harus memahami bagaimana representasi yang tidak dapat dikomposisikan dapat dibangun dari representasi yang tidak dapat diperbaiki sebagai ekstensi dari quotient oleh subrepresentasi.

Cabang dan topik

Teori representasi terkenal untuk jumlah cabang yang ia miliki, dan keragaman pendekatan untuk mempelajari representasi kelompok dan aljabar. Meskipun, semua teori memiliki kesamaan konsep dasar yang dibahas, mereka sangat berbeda secara rinci. Perbedaannya minimal 3 kali lipat:

Teori representasi tergantung pada jenis objek aljabar yang diwakili. Ada beberapa kelas kelompok yang berbeda, aljabar asosiatif dan aljabar Kebohongan, dan teori representasi mereka semuanya memiliki rasa individu.

Teori representasi tergantung pada sifat ruang vektor tempat objek aljabar diwakili. Perbedaan yang paling penting adalah antara representasi dimensi terbatas dan yang dimensi tak terbatas.

Dalam kasus dimensi tak terbatas, struktur tambahan penting misalnya, apakah ruang tersebut adalah ruang Hilbert, ruang Banach, dll. Struktur aljabar tambahan juga dapat dikenakan dalam kasus dimensi terbatas.

Teori representasi tergantung pada jenis bidang di mana ruang vektor ditentukan. Kasus yang paling penting adalah bidang bilangan kompleks, bidang bilangan riil, bidang terbatas, dan bidang angka p-adic. Kesulitan tambahan muncul untuk bidang karakteristik positif dan untuk bidang yang tidak tertutup aljabar.

Grup terbatas

Representasi kelompok adalah alat yang sangat penting dalam studi kelompok terbatas. Mereka juga muncul dalam aplikasi teori kelompok terbatas untuk geometri dan kristalografi. Representasi kelompok terbatas menunjukkan banyak fitur teori umum dan menunjuk jalan ke cabang dan topik lain dalam teori representasi.

Selama bidang nol karakteristik, representasi grup G terbatas memiliki sejumlah properti yang nyaman. Pertama, representasi G semisimple (benar-benar reduksiible). Ini adalah konsekuensi dariorema Maschke, yang menyatakan bahwa setiap subrepresentasi V dari G-representasi W memiliki pelengkap G-invariant.

Representasi kesatuan secara otomatis semisimple, karena hasil Maschke dapat dibuktikan dengan mengambil pelengkap ortolonal dari subrepresentasi. Ketika mempelajari representasi kelompok yang tidak terbatas, representasi kesatuan memberikan generalisasi yang baik dari representasi nyata dan kompleks dari kelompok terbatas.

Hasil seperti theorema Maschke dan properti kesatuan yang mengandalkan rata-rata dapat disonalisasi ke kelompok yang lebih umum dengan mengganti rata-rata dengan integral, asalkan gagasan integral yang sesuai dapat didefinisikan. Ini dapat dilakukan untuk kelompok topologis kompak (termasuk kelompok Kebohongan kompak), menggunakan ukuran Haar, dan teori yang dihasilkan dikenal sebagai analisis harmonik abstrak.

Di atas bidang sewenang-wenang, kelas lain dari kelompok terbatas yang memiliki teori representasi yang baik adalah kelompok terbatas dari jenis Kebohongan. Contoh penting adalah kelompok aljabar linear di atas bidang terbatas.

Teori representasi kelompok aljabar linier dan kelompok Kebohongan memperluas contoh-contoh ini ke kelompok-kelompok dimensi tak terbatas, yang terakhir terkait erat dengan representasi aljabar Lie. Pentingnya teori karakter untuk kelompok terbatas memiliki analog dalam teori bobot untuk representasi kelompok Kebohongan dan aljabar Kebohongan.

Representasi kelompok terbatas G juga terkait langsung dengan representasi aljabar melalui aljabar grup F, yang merupakan ruang vektor di atas F dengan elemen G sebagai dasar, dilengkapi dengan operasi perkalian yang ditentukan oleh operasi kelompok, linieritas, dan persyaratan bahwa operasi kelompok dan perkalian skalar bolak-balik.

Representasi modular

Representasi modular dari grup G terbatas adalah representasi atas bidang yang karakteristiknya tidak bersifat coprime | G|, agarorema Maschke tidak lagi bertahan (karena | G| tidak dapat dialihkan dalam F dan satu tidak dapat membaginya). Namun demikian, Richard Brauer memperluas banyak teori karakter ke representasi modular, dan teori ini memainkan peran penting dalam kemajuan awal menuju klasifikasi kelompok sederhana terbatas, terutama untuk kelompok sederhana yang karakterisasinya tidak dapat diterima untuk metode teoritik kelompok murni karena Sylow 2-subkelompok mereka “terlalu kecil”.

Selain memiliki aplikasi untuk mengelompokkan teori, representasi modular muncul secara alami di cabang matematika lainnya, seperti geometri aljabar, teori pengkodean, gabungan, dan teori angka.

Representasi kesatuan

Representasi kesatuan dari grup G adalah representasi linier φ G pada ruang V Hilbert yang nyata atau (biasanya) kompleks sehingga φ(g) adalah operator kesatuan untuk setiap g ∈ G. Representasi semacam itu telah banyak diterapkan dalam mekanika kuantum sejak 1920-an, terima kasih khususnya terhadap pengaruh Hermann Weyl, dan ini telah menginspirasi pengembangan teori, terutama melalui analisis representasi kelompok Poincare oleh Eugene Wigner.

Salah satu pelopor dalam membangun teori umum representasi kesatuan (untuk setiap kelompok G daripada hanya untuk kelompok tertentu yang berguna dalam aplikasi) adalah George Mackey, dan teori yang luas dikembangkan oleh Harish-Chandra dan lainnya pada 1950-an dan 1960-an.

Tujuan utamanya adalah untuk menggambarkan “ganda kesatuan”, ruang representasi kesatuan G. Teori ini paling berkembang dengan baik dalam kasus bahwa G adalah kelompok topologis lokal kompak (Hausdorff) dan representasinya sangat berkelanjutan.

Bagi G abelian, ganda kesatuan hanyalah ruang karakter, sementara untuk G compact, theorem Peter-Weyl menunjukkan bahwa representasi kesatuan yang tidak tereduksi beres-dimensi terbatas dan ganda kesatuan diskrit. Misalnya, jika G adalah grup lingkaran S1, maka karakter diberikan oleh bilangan bulat, dan ganda kesatuan adalah Z.

Untuk G non-kompak, pertanyaan tentang representasi mana yang kesatuannya adalah yang halus. Meskipun representasi kesatuan yang tidak tereduksi harus “diterima” (sebagai modul Harish-Chandra) dan mudah untuk mendeteksi representasi yang dapat diterima mana yang memiliki bentuk sesquilinear yang tidak penting, sulit untuk menentukan kapan formulir ini dinyatakan positif.

Deskripsi yang efektif tentang ganda kesatuan, bahkan untuk kelompok yang relatif berperilaku baik seperti kelompok Kebohongan reduktif nyata (dibahas di bawah), tetap menjadi masalah terbuka yang penting dalam teori representasi. Ini telah diselesaikan untuk banyak kelompok tertentu, seperti SL (2,R) dan kelompok Lorentz.

Analisis harmonik

Dualitas antara kelompok lingkaran S1 dan bilangan bulat Z, atau lebih umum, antara Torus Tn dan Zn terkenal dalam analisis sebagai teori seri Fourier, dan transformasi Fourier juga mengungkapkan fakta bahwa ruang karakter pada ruang vektor nyata adalah ruang vektor ganda.

Dengan demikian teori representasi kesatuan dan analisis harmonis terkait erat, dan analisis harmonik abstrak mengeksploitasi hubungan ini, dengan mengembangkan analisis fungsi pada kelompok topologis yang ringkas secara lokal dan ruang terkait. Tujuan utamanya adalah untuk memberikan bentuk umum transformasi Fourier dan theorem Plancherel.

Ini dilakukan dengan membangun ukuran pada dual kesatuan dan isomorfisme antara representasi reguler G pada ruang L2 (G) fungsi integrable persegi pada G dan representasinya pada ruang fungsi L2 pada dual kesatuan.

Dualitas Pontrjagin dan teorema Peter-Weyl mencapai ini untuk abelian dan G kompak masing-masing. Pendekatan lain melibatkan mempertimbangkan semua representasi kesatuan, bukan hanya yang tereduksi. Ini membentuk kategori, dan dualitas Tannaka-Krein menyediakan cara untuk memulihkan kelompok kompak dari kategori representasi kesatuannya.

Baca Juga : Teori Relativitas Umum Einstein Menyingkap Kosmos

Jika kelompok ini tidak abelian atau kompak, tidak ada teori umum yang dikenal dengan analog dari teori Plancherel atau inversi Fourier, meskipun Alexander Grothendieck memperpanjang dualitas Tannaka-Krein ke hubungan antara kelompok aljabar linier dan kategori tannakian.

Analisis harmonik juga telah diperluas dari analisis fungsi pada kelompok G ke fungsi pada ruang homogen untuk G. Teori ini dikembangkan dengan sangat baik untuk ruang simetris dan menyediakan teori bentuk automorfik.