Dekomposisi Schur, Suatu Matriks Dari Aljabar Linier Matematika – Dalam disiplin matematika aljabar linier, dekomposisi Schur atau triangulasi Schur, dinamai Issai Schur, adalah dekomposisi matriks. Ini memungkinkan seseorang untuk menulis matriks persegi kompleks arbitrer sebagai unit yang setara dengan matriks segitiga atas yang elemen diagonalnya adalah nilai eigen dari matriks aslinya. di mana Q adalah matriks kesatuan (sehingga inversnya Q−1 juga merupakan transpos konjugasi Q* dari Q), dan U adalah matriks segitiga atas, yang disebut bentuk Schur dari A.

Dekomposisi Schur, Suatu Matriks Dari Aljabar Linier Matematika

transitionmathproject – Karena U mirip dengan A, maka memiliki spektrum yang sama, dan karena segitiga, nilai eigennya adalah entri diagonal dari U. Dekomposisi Schur menyiratkan bahwa terdapat barisan bersarang dari subruang A-invarian {0} = V0 V1 ⊂ Vn = Cn, dan bahwa terdapat basis ortonormal terurut (untuk bentuk Hermitian standar Cn) sedemikian sehingga vektor basis i merentang Vi untuk setiap i yang terjadi dalam urutan bersarang. Diutarakan agak berbeda, bagian pertama mengatakan bahwa operator linier J pada ruang vektor berdimensi-hingga yang kompleks menstabilkan bendera lengkap (V1,…,Vn).

Baca Juga : Matriks Stokastik, Matriks Yang Digunakan Untuk Transisi

Bukti Yang Telah Terungkap

Bukti konstruktif untuk dekomposisi Schur adalah sebagai berikut: setiap operator A pada ruang vektor berdimensi-hingga yang kompleks memiliki nilai eigen , sesuai dengan beberapa ruang eigen Vλ. Misalkan V adalah komplemen ortogonalnya. Jelas bahwa, sehubungan dengan dekomposisi ortogonal ini, A memiliki representasi matriks (di sini dapat dipilih sembarang basis ortonormal Z1 dan Z2 yang masing-masing merentang Vλ dan V) di mana Iλ adalah operator identitas pada Vλ. Matriks di atas akan menjadi segitiga atas kecuali untuk blok A22.

Tetapi prosedur yang persis sama dapat diterapkan pada sub-matriks A22, dilihat sebagai operator pada Vλ⊥, dan submatriksnya. Lanjutkan cara ini sampai matriks yang dihasilkan adalah segitiga atas. Karena setiap konjugasi meningkatkan dimensi blok segitiga atas setidaknya satu, proses ini membutuhkan paling banyak n langkah. Dengan demikian ruang Cn akan habis dan prosedur telah menghasilkan hasil yang diinginkan. Argumen di atas dapat sedikit dinyatakan kembali sebagai berikut: biarkan menjadi nilai eigen dari A, sesuai dengan beberapa ruang eigen Vλ. A menginduksi operator T pada ruang bagi Cn/Vλ. Operator ini tepatnya adalah submatriks A22 dari atas. Seperti sebelumnya, T akan memiliki ruang eigen, katakanlah Wμ Cn modulo Vλ.

Perhatikan gambar awal Wμ di bawah peta hasil bagi adalah subruang invarian dari A yang berisi Vλ. Lanjutkan cara ini sampai ruang hasil bagi yang dihasilkan memiliki dimensi 0. Kemudian citra awal berturut-turut dari ruang eigen yang ditemukan pada setiap langkah membentuk bendera yang distabilkan A. Meskipun setiap matriks bujur sangkar memiliki dekomposisi Schur, pada umumnya dekomposisi ini tidak unik. Sebagai contoh, ruang eigen Vλ dapat memiliki dimensi > 1, di mana setiap basis ortonormal untuk Vλ akan menghasilkan hasil yang diinginkan. Tulis matriks segitiga U sebagai U = D + N, di mana D adalah diagonal dan N adalah segitiga atas (dan dengan demikian matriks nihil).

Matriks diagonal D berisi nilai eigen dari A dalam urutan sembarang (maka norma Frobeniusnya, kuadrat, adalah jumlah modulus kuadrat dari nilai eigen A, sedangkan norma Frobenius dari A, kuadrat, adalah jumlah dari nilai kuadrat tunggal dari A). Bagian nilpoten N umumnya juga tidak unik, tetapi norma Frobeniusnya ditentukan secara unik oleh A (hanya karena norma Frobenius dari A sama dengan norma Frobenius dari U = D + N). Jelas bahwa jika A adalah matriks normal, maka U dari dekomposisi Schur-nya harus menjadi matriks diagonal dan vektor kolom Q adalah vektor eigen dari A.

Oleh karena itu, dekomposisi Schur memperluas dekomposisi spektral. Khususnya, jika A pasti positif, dekomposisi Schur dari A, dekomposisi spektralnya, dan dekomposisi nilai singularnya bertepatan. Sebuah keluarga komuter {Ai} dari matriks dapat secara bersamaan ditriangularisasi, yaitu terdapat matriks kesatuan Q sedemikian rupa sehingga, untuk setiap Ai dalam keluarga yang diberikan, Q Ai Q* adalah segitiga atas. Ini dapat dengan mudah disimpulkan dari bukti di atas. Ambil elemen A dari {Ai} dan pertimbangkan lagi ruang eigen VA. Maka VA adalah invarian di bawah semua matriks di {Ai}.

Oleh karena itu, semua matriks di {Ai} harus berbagi satu vektor eigen yang sama di VA. Induksi kemudian membuktikan klaim tersebut. Sebagai akibat wajar, kami memiliki bahwa setiap keluarga komuter dari matriks normal dapat secara bersamaan didiagonalisasi. Dalam pengaturan dimensi tak terbatas, tidak setiap operator terbatas pada ruang Banach memiliki subruang invarian. Namun, triangularisasi atas dari matriks persegi arbitrer tidak digeneralisasi ke operator kompak. Setiap operator kompak pada ruang Banach yang kompleks memiliki sarang dari subruang invarian tertutup.

Komputasi

Dekomposisi Schur dari matriks yang diberikan dihitung secara numerik oleh algoritma QR atau variannya. Dengan kata lain, akar dari polinomial karakteristik yang sesuai dengan matriks tidak perlu dihitung terlebih dahulu untuk mendapatkan dekomposisi Schur-nya. Sebaliknya, algoritma QR dapat digunakan untuk menghitung akar dari setiap polinomial karakteristik yang diberikan dengan menemukan dekomposisi Schur dari matriks pendampingnya. Demikian pula, algoritma QR digunakan untuk menghitung nilai eigen dari setiap matriks yang diberikan, yang merupakan entri diagonal dari matriks segitiga atas dari dekomposisi Schur

Issai Schur, Penemu Dekomposisi Schur

Issai Schur adalah seorang matematikawan Rusia yang bekerja di Jerman hampir sepanjang hidupnya. Ia belajar di Universitas Berlin. Ia memperoleh gelar doktor pada tahun 1901, menjadi dosen pada tahun 1903 dan, setelah tinggal di Universitas Bonn, profesor pada tahun 1919. Sebagai mahasiswa Ferdinand Georg Frobenius, ia bekerja pada representasi kelompok (mata pelajaran yang paling dekat dengannya) , tetapi juga dalam kombinatorik dan teori bilangan dan bahkan fisika teoretis. Dia mungkin paling dikenal hari ini karena hasilnya tentang keberadaan dekomposisi Schur dan untuk karyanya tentang representasi kelompok (lemma Schur).

Schur diterbitkan dengan nama baik I. Schur, dan J. Schur, yang terakhir terutama di Journal für die reine und angewandte Mathematik. Ini telah menyebabkan beberapa kebingungan. Issai Schur lahir dalam keluarga Yahudi, putra dari pengusaha Moses Schur dan istrinya Golde Schur (née Landau). Ia lahir di Mogilev di Sungai Dnieper yang saat itu merupakan Kekaisaran Rusia. Schur menggunakan nama Schaia (Yesaya sebagai batu nisan di kuburannya) daripada Issai di usia pertengahan dua puluhan.

Ayah Schur mungkin seorang pedagang grosir, Pada tahun 1888, pada usia 13 tahun, Schur pergi ke Liepāja (Courland, sekarang di Latvia), di mana saudara perempuannya yang sudah menikah dan saudara laki-lakinya tinggal, 640 km barat laut Mogilev. Kurland adalah salah satu dari tiga kegubernuran Baltik di Rusia Tsar, dan sejak Abad Pertengahan orang Jerman Baltik adalah kelas sosial atas. Komunitas Yahudi setempat kebanyakan berbicara bahasa Jerman dan bukan bahasa Yiddish. Schur menghadiri Gimnasium Nicolai yang berbahasa Jerman di Libau dari tahun 1888 hingga 1894 dan mencapai nilai tertinggi dalam ujian akhirnya, dan menerima medali emas. Di sini ia menjadi fasih berbahasa Jerman.

Pada Oktober 1894, Schur kuliah di Universitas Berlin, dengan konsentrasi matematika dan fisika. Pada tahun 1901, ia lulus summa cum laude di bawah Frobenius dan Lazarus Immanuel Fuchs dengan disertasinya Pada kelas matriks yang dapat ditetapkan ke matriks tertentu, yang berisi teori umum representasi grup linier. Menurut Vogt, dia mulai menggunakan nama Issai saat ini. Schur berpikir bahwa peluangnya untuk sukses di Kekaisaran Rusia agak kecil, dan karena dia berbicara bahasa Jerman dengan sangat sempurna, dia tetap tinggal di Berlin. Ia lulus pada tahun 1903 dan menjadi dosen di Universitas Berlin. Schur memegang posisi sebagai profesor di Universitas Berlin selama sepuluh tahun dari tahun 1903 hingga 1913.

Baca Juga : Teori Matematika Baru Menghubungkan Teori Bilangan Dan Geometri

Pada tahun 1913 ia menerima janji sebagai profesor dan penerus Felix Hausdorff di Universitas Bonn. Pada tahun-tahun berikutnya, Frobenius mencoba berbagai cara untuk membawa Schur kembali ke Berlin. Antara lain, nama Schur disebutkan dalam surat tertanggal 27 Juni 1913 dari Frobenius kepada Robert Gnehm (Presiden Dewan Sekolah ETH) sebagai calon pengganti Carl Friedrich Geiser. Frobenius mengeluh bahwa mereka tidak pernah mengikuti sarannya sebelumnya dan kemudian berkata: “Itulah sebabnya saya bahkan tidak dapat merekomendasikan Prof. J. Schur (sekarang di Bonn) kepada Anda. Dia terlalu baik untuk Zurich, dan harus menjadi penerus saya di Berlin “.

Hermann Weyl mendapat pekerjaan di Zurich. Upaya Frobenius akhirnya berhasil pada tahun 1916, ketika Schur menggantikan Johannes Knoblauch sebagai profesor tambahan. Frobenius meninggal setahun kemudian, pada 3 Agustus 1917. Schur dan Carathéodory sama-sama dinobatkan sebagai pelopor penggantinya. Tetapi pada akhirnya mereka memilih Constantin Carathéodory. Pada tahun 1919 Schur akhirnya menerima jabatan profesor pribadi, dan pada tahun 1921 ia mengambil alih kursi pensiunan Friedrich Hermann Schottky. Pada tahun 1922, ia juga ditambahkan ke Akademi Ilmu Pengetahuan Prusia.