Harmoni Bola, Fungsi Khusus Yang Didefinisikan Pada Permukaan Bola – Dalam matematika dan ilmu fisika, harmonik bola adalah fungsi khusus yang didefinisikan pada permukaan bola. Mereka sering digunakan dalam memecahkan persamaan diferensial parsial di banyak bidang ilmiah. Karena harmonik bola membentuk satu set lengkap fungsi ortogonal dan dengan demikian merupakan basis ortonormal, setiap fungsi yang didefinisikan pada permukaan bola dapat ditulis sebagai jumlah dari harmonik bola ini.

Harmoni Bola, Fungsi Khusus Yang Didefinisikan Pada Permukaan Bola

transitionmathproject – Ini mirip dengan fungsi periodik yang didefinisikan pada lingkaran yang dapat dinyatakan sebagai jumlah fungsi melingkar (sinus dan cosinus) melalui deret Fourier. Seperti sinus dan cosinus dalam deret Fourier, harmonik bola dapat diatur oleh frekuensi sudut (spasial), seperti yang terlihat pada deretan fungsi pada ilustrasi di sebelah kanan.

Baca Juga : Young Tableau, Objek Kombinatorial Untuk Teori Representasi dan Kalkulus Schubert

Lebih lanjut, harmonik bola adalah fungsi dasar untuk representasi tak tereduksi SO(3), grup rotasi dalam tiga dimensi, dan dengan demikian memainkan peran sentral dalam diskusi teori grup SO(3).

Harmoni bola penting dalam banyak aplikasi teoretis dan praktis, termasuk representasi medan elektrostatik dan elektromagnetik multikutub, konfigurasi elektron, medan gravitasi, geoid, medan magnet benda planet dan bintang, dan radiasi latar gelombang mikro kosmik.

Dalam grafik komputer 3D, harmonik bola berperan dalam berbagai topik termasuk pencahayaan tidak langsung (oklusi ambien, iluminasi global, transfer pancaran terkomputasi, dll.) dan pemodelan bentuk 3D.

Sejarah

Harmoni bola pertama kali diselidiki sehubungan dengan potensi Newton dari hukum gravitasi universal Newton dalam tiga dimensi. Dengan memeriksa persamaan Laplace dalam koordinat bola, Thomson dan Tait memulihkan harmonik bola Laplace.

Istilah “koefisien Laplace” digunakan oleh William Whewell untuk menggambarkan sistem solusi tertentu yang diperkenalkan di sepanjang garis ini, sedangkan yang lain mencadangkan sebutan ini untuk harmonik bola zona yang telah benar diperkenalkan oleh Laplace dan Legendre.

Perkembangan deret Fourier pada abad ke-19 memungkinkan penyelesaian berbagai masalah fisika dalam domain persegi panjang, seperti penyelesaian persamaan panas dan persamaan gelombang. Hal ini dapat dicapai dengan perluasan fungsi dalam deret fungsi trigonometri.

Sedangkan fungsi trigonometri dalam deret Fourier mewakili mode dasar getaran dalam sebuah string, harmonik bola mewakili mode dasar getaran bola dengan cara yang hampir sama. Banyak aspek dari teori deret Fourier dapat digeneralisasikan dengan mengambil ekspansi dalam harmonik bola daripada fungsi trigonometri.

Selain itu, analog dengan bagaimana fungsi trigonometri dapat secara setara ditulis sebagai eksponensial kompleks, harmonik bola juga memiliki bentuk yang setara sebagai fungsi bernilai kompleks. Ini adalah keuntungan untuk masalah yang memiliki simetri bola, seperti mekanika langit yang awalnya dipelajari oleh Laplace dan Legendre.

Dalam matematika murni dan terapan, khususnya mekanika kuantum dan grafik komputer serta aplikasinya, basis sferis adalah basis yang digunakan untuk menyatakan tensor bola. Basis sferis berkaitan erat dengan deskripsi momentum sudut dalam mekanika kuantum dan fungsi harmonik bola. .

Sementara koordinat kutub bola adalah satu sistem koordinat ortogonal untuk mengekspresikan vektor dan tensor menggunakan sudut kutub dan azimut dan jarak radial, dasar bola dibangun dari dasar standar dan menggunakan bilangan kompleks.

Keseimbangan

Ini juga dapat dianggap sebagai ujian untuk kiralitas fenomena fisik, di mana inversi paritas mengubah fenomena menjadi bayangan cerminnya. Semua interaksi fundamental partikel elementer, dengan pengecualian interaksi lemah, adalah simetris di bawah paritas.

Interaksi lemah adalah kiral dan dengan demikian menyediakan sarana untuk menyelidiki kiral dalam fisika. Dalam interaksi yang simetris di bawah paritas, seperti elektromagnetisme dalam fisika atom dan molekul, paritas berfungsi sebagai prinsip pengontrol yang kuat yang mendasari transisi kuantum.

Sebuah representasi matriks P (dalam sejumlah dimensi) memiliki determinan sama dengan −1, dan karenanya berbeda dari rotasi, yang memiliki determinan sama dengan 1. Dalam bidang dua dimensi, flip simultan semua koordinat dalam tanda bukan transformasi paritas. itu sama dengan rotasi 180 °.

Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang yang tidak berubah oleh transformasi paritas digambarkan sebagai fungsi genap, sedangkan yang berubah tanda pada transformasi paritas adalah fungsi ganjil.

Hubungan simetri sederhana

Di bawah rotasi, objek geometris klasik dapat diklasifikasikan ke dalam skalar, vektor, dan tensor dengan peringkat yang lebih tinggi. Dalam fisika klasik, konfigurasi fisik perlu diubah di bawah representasi setiap kelompok simetri.

Teori kuantum memprediksi bahwa keadaan dalam ruang Hilbert tidak perlu berubah di bawah representasi grup rotasi, tetapi hanya di bawah representasi proyektif. Kata proyektif mengacu pada fakta bahwa jika seseorang memproyeksikan fase setiap keadaan, di mana kita ingat bahwa fase keseluruhan keadaan kuantum tidak dapat diamati, maka representasi proyektif direduksi menjadi representasi biasa.

Semua representasi juga merupakan representasi projektif, tetapi kebalikannya tidak benar, oleh karena itu kondisi representasi projektif pada keadaan kuantum lebih lemah daripada kondisi representasi pada keadaan klasik.

Representasi proyektif dari grup mana pun adalah isomorfik dengan representasi biasa dari perpanjangan pusat grup. Misalnya, representasi proyektif dari grup rotasi 3 dimensi, yang merupakan grup ortogonal khusus SO(3), adalah representasi biasa dari grup kesatuan khusus SU(2) .

Representasi proyektif dari grup rotasi yang bukan representasi disebut spinor dan keadaan kuantum dapat berubah tidak hanya sebagai tensor tetapi juga sebagai spinor.

yang juga memiliki determinan negatif dan membentuk transformasi paritas yang valid. Kemudian, menggabungkannya dengan rotasi (atau secara berturut-turut melakukan refleksi x-, y-, dan z) seseorang dapat memulihkan transformasi paritas tertentu yang ditentukan sebelumnya. Transformasi paritas pertama yang diberikan tidak bekerja dalam jumlah dimensi yang genap, karena menghasilkan determinan positif. Dalam dimensi genap hanya contoh terakhir dari transformasi paritas (atau refleksi dari jumlah koordinat ganjil) yang dapat digunakan.

Rumus

Sebagai aturan, fungsi harmonik berguna dalam fisika teoretis untuk mempertimbangkan medan di medan jauh ketika jarak dari muatan jauh lebih jauh daripada ukuran lokasinya. Dalam hal ini, jari-jari R adalah konstan dan koordinat (θ,φ) mudah digunakan. Fisika teoretis mempertimbangkan banyak masalah ketika solusi persamaan Laplace diperlukan sebagai fungsi koordinat artesis.

Pada saat yang sama, penting untuk mendapatkan bentuk solusi invarian relatif terhadap rotasi ruang atau, secara umum, relatif terhadap transformasi grup. Solusi tensor paling sederhana potensial dipol, kuadrupol, dan oktupol adalah konsep dasar fisika umum:

Operator tangga analog dengan masalah osilator kuantum. Ini menghasilkan keadaan Glauber yang diciptakan dalam teori kuantum medan radiasi elektromagnetik. Kemudian ditunjukkan sebagai hasil teoretis bahwa keadaan koheren adalah intrinsik untuk setiap sistem kuantum dengan simetri grup untuk memasukkan grup rotasi.

Spektrum daya dalam pemrosesan sinyal

Daya total dari suatu fungsi f didefinisikan dalam literatur pemrosesan sinyal sebagai integral dari fungsi kuadrat, dibagi dengan luas domainnya. Menggunakan sifat ortonormalitas dari fungsi harmonik bola daya satuan nyata, mudah untuk memverifikasi bahwa daya total dari suatu fungsi yang didefinisikan pada bola satuan terkait dengan koefisien spektralnya dengan generalisasi teorema Parseval didefinisikan sebagai spektrum lintas-daya.

Baca Juga : Teori Relativitas Umum Einstein Menyingkap Kosmos

Jika fungsi f dan g memiliki mean nol (yaitu, koefisien spektral f00 dan g00 adalah nol), maka Sff(ℓ) dan Sfg(ℓ) masing-masing mewakili kontribusi terhadap varians dan kovarians fungsi untuk derajat . Adalah umum bahwa spektrum daya (lintas-) didekati dengan baik oleh hukum daya dalam bentuk

Ketika = 0, spektrumnya “putih” karena setiap derajat memiliki kekuatan yang sama. Ketika < 0, spektrum disebut “merah” karena ada lebih banyak kekuatan pada derajat rendah dengan panjang gelombang panjang daripada derajat yang lebih tinggi. Akhirnya, ketika > 0, spektrum disebut “biru”. Kondisi orde pertumbuhan Sff(ℓ) terkait dengan orde diferensiasi f pada bagian selanjutnya.