Ilmu linier proyektif Di Matematika – Dalam matematika, khususnya dalam area teoretis grup aljabar, grup linier proyektif (juga dikenal sebagai grup linier umum proyektif atau PGL) adalah aksi induksi grup linier umum dari ruang vektor V pada ruang proyektif terkait P(V ). Secara eksplisit, grup linier proyektif adalah grup hasil bagi, di mana GL(V) adalah grup linier umum dari V dan Z(V) adalah subgrup dari semua transformasi skalar tak nol dari V.

Ilmu linier proyektif Di Matematika

transitionmathproject – ini adalah hasil bagi karena mereka bertindak sepele pada ruang proyektif dan mereka membentuk inti dari tindakan, dan notasi “Z” mencerminkan bahwa transformasi skalar membentuk pusat grup linier umum. di mana SL(V) adalah grup linier khusus di atas V dan SZ(V) adalah subgrup dari transformasi skalar dengan determinan satuan. Di sini SZ adalah pusat SL, dan secara alami diidentifikasi dengan kelompok akar ke-n kesatuan di F (di mana n adalah dimensi V dan F adalah bidang dasar).

Baca Juga : Geometri Proyektif Termasuk Geometri Non-metrik Intrinsik 

PGL dan PSL adalah beberapa kelompok dasar studi, bagian dari apa yang disebut kelompok klasik, dan elemen PGL disebut transformasi linier proyektif, transformasi proyektif atau homografi. Jika V adalah ruang vektor n-dimensi di atas bidang F, yaitu V = Fn, notasi alternatif PGL(n, F) dan PSL(n, F) juga digunakan.

Perhatikan bahwa PGL(n, F) dan PSL(n, F) isomorfik jika dan hanya jika setiap elemen F memiliki akar ke-n di F. Sebagai contoh, perhatikan bahwa PGL(2, C) = PSL(2, C ), tetapi PGL(2, R) > PSL(2, R) ini sesuai dengan garis proyektif nyata yang dapat diorientasikan, dan grup linier khusus proyektif hanya menjadi transformasi pelestarian orientasi.

Nama tersebut berasal dari geometri proyektif, di mana grup proyektif yang bekerja pada koordinat homogen (x0:x1:  :xn) adalah grup yang mendasari geometri tersebut. Dengan kata lain, aksi alami GL(V) pada V turun ke aksi PGL(V) pada ruang proyektif P(V). Oleh karena itu, grup linier proyektif menggeneralisasi kasus PGL(2, C) dari transformasi Möbius (kadang-kadang disebut grup Möbius), yang bekerja pada garis proyektif.

Perhatikan bahwa tidak seperti grup linier umum, yang secara umum didefinisikan secara aksiomatis sebagai “fungsi yang dapat dibalik yang mempertahankan struktur linier (ruang vektor)”, grup linier proyektif didefinisikan secara konstruktif, sebagai hasil bagi dari grup linier umum dari ruang vektor terkait, bukan dari aksiomatis sebagai “fungsi terbalik melestarikan struktur linier proyektif”. Hal ini tercermin dalam notasi: PGL(n, F) adalah grup yang terkait dengan GL(n, F), dan merupakan grup linier proyektif dari (n−1)-dimensi ruang proyektif, bukan ruang proyektif n-dimensi.

Grup terkait adalah grup collineation, yang didefinisikan secara aksiomatis. Collineation adalah peta yang dapat dibalik (atau lebih umum satu-ke-satu) yang mengirimkan titik-titik collinear ke titik-titik collinear. Seseorang dapat mendefinisikan ruang proyektif secara aksiomatis dalam hal struktur kejadian (kumpulan titik P, garis L, dan hubungan kejadian I menentukan titik mana yang terletak pada garis mana) yang memenuhi aksioma tertentu – sebuah grub automorfisme dari ruang proyektif yang didefinisikan kemudian menjadi sebuah automorfisme f dari himpunan titik dan yang persis merupakan collineation dari ruang itu sendiri. Transformasi linier proyektif adalah collineations (bidang dalam ruang vektor sesuai dengan garis dalam ruang proyektif terkait, dan linier mengubah bidang peta menjadi pesawat, jadi linear proyektif mengubah garis peta menjadi garis), tetapi secara umum tidak semua collineations adalah transformasi linier proyektif – PGL secara umum merupakan subgrup yang tepat dari grup collineation.

Secara khusus, untuk n = 2 (garis proyeksi), semua titik adalah collinear, sehingga grup collineation persis grup simetris dari titik-titik garis proyektif, dan kecuali untuk F2 dan F3 (di mana PGL adalah grup simetris penuh), PGL adalah subgrup yang tepat dari grup simetris penuh pada titik-titik ini.

Untuk n 3, grup collineation adalah grup semilinier proyektif, PΓL – ini adalah PGL, dipelintir oleh automorfisme medan. secara formal, PΓL PGL Gal(K/k), di mana k adalah medan prima untuk K. ini adalah teorema dasar geometri proyektif. Sejalan dengan itu, kelompok hasil bagi PΓL/PGL = Gal(K/k) sesuai dengan “pilihan struktur linier”, dengan identitas (titik dasar) menjadi struktur linier yang ada.

Satu juga dapat mendefinisikan grup collineation untuk ruang proyektif yang didefinisikan secara aksiomatis, di mana tidak ada gagasan alami dari transformasi linier proyektif. Namun, dengan pengecualian bidang non-Desarguesian, semua ruang proyektif adalah proyeksi ruang linier di atas cincin pembagian meskipun, seperti disebutkan di atas, ada beberapa pilihan struktur linier, yaitu batang atas Gal(K/k) (untuk n 3).

Grup linier khusus proyektif PSL(n, Fq) untuk medan berhingga Fq sering ditulis sebagai PSL(n, q) atau Ln(q). Mereka adalah grup sederhana hingga setiap kali n setidaknya 2, dengan dua pengecualian: L2(2), yang isomorfik terhadap S3, grup simetris pada 3 huruf, dan dapat dipecahkan. dan L2(3), yang isomorfik dengan A4, grup bolak-balik pada 4 huruf, dan juga dapat dipecahkan. Isomorfisme yang luar biasa ini dapat dipahami sebagai timbul dari aksi pada garis proyektif.

Grup linier khusus SL(n, q) dengan demikian menjadi kuasisederhana: perpanjangan pusat sempurna dari grup sederhana (kecuali n = 2 dan q = 2 atau 3).

Grup PSL(2, p) dibangun oleh variste Galois pada tahun 1830-an, dan merupakan keluarga kedua dari grup sederhana hingga, setelah grup bergantian Galois mengkonstruksinya sebagai transformasi linier fraksional, dan mengamati bahwa transformasi tersebut sederhana kecuali jika p adalah 2 atau 3. ini tertuang dalam surat terakhirnya kepada Chevalier. Dalam surat yang sama dan manuskrip terlampir, Galois juga membangun grup linier umum di atas medan utama, GL(ν, p), dalam mempelajari grup Galois dari persamaan umum derajat pν.

Grup PSL(n, q) (n umum, medan berhingga umum) kemudian dibangun dalam teks klasik tahun 1870 oleh Camille Jordan, Traité des Substitusi et des équations algébriques.

yang sesuai dengan urutan GL(n, q), dibagi dengan q 1 untuk proyektivisasi. lihat q-analog untuk diskusi tentang rumus tersebut. Perhatikan bahwa derajatnya adalah n2 1, yang sesuai dengan dimensi sebagai grup aljabar. The “O” adalah untuk notasi O besar, yang berarti “istilah yang melibatkan urutan yang lebih rendah”. Ini juga sama dengan orde SL(n, q); ada membagi dengan q 1 adalah karena determinan.

Orde PSL(n, q) di atas dibagi |SZ(n, q)|, banyaknya matriks skalar dengan determinan 1 – atau sama dengan dibagi |F×/(F×)n|, bilangan kelas-kelas unsur yang tidak memiliki akar ke-n, atau ekuivalennya, dibagi dengan jumlah akar-akar ke-n dari Fq.