Mari Kita Mengulas Lebih Dalam Tentang Teori Representasi Modular Matematika – Teori representasi modular adalah cabang matematika, dan bagian dari teori representasi yang mempelajari representasi linier dari kelompok berhingga di atas bidang K dengan karakteristik positif p, harus berupa bilangan prima. Selain memiliki aplikasi untuk teori grup, representasi modular muncul secara alami di cabang matematika lainnya, seperti geometri aljabar, teori pengkodean, Kombinatorika dan teori bilangan.

Mari Kita Mengulas Lebih Dalam Tentang Teori Representasi Modular Matematika

 

transitionmathproject – Dalam teori grup hingga, hasil teori-karakter yang dibuktikan oleh Richard Brauer dengan menggunakan teori representasi modular memainkan peran penting dalam kemajuan awal menuju klasifikasi grup sederhana hingga, terutama untuk grup sederhana yang karakterisasinya tidak sesuai dengan metode teori grup murni karena Sylow mereka.

Baca Juga : Representasi Kelompok, Bidang Matematika yang Membahas Linier Bijektiva

2-subkelompok terlalu kecil dalam arti yang tepat. Juga, hasil umum pada penyematan elemen orde 2 dalam kelompok hingga yang disebut teorema Z *, dibuktikan oleh George Glauberman menggunakan teori yang dikembangkan oleh Brauer, sangat berguna dalam program klasifikasi.

Jika karakteristik p dari K tidak membagi urutan, maka representasi modular sepenuhnya dapat direduksi, seperti representasi biasa (karakteristik 0), berdasarkan teorema Maschke. Dalam kasus lain, saat | G | ≡ 0 mod p, proses rata-rata atas kelompok yang diperlukan untuk membuktikan teorema Maschkes rusak, dan representasi tidak perlu sepenuhnya dapat direduksi.

Sebagian besar pembahasan di bawah ini secara implisit mengasumsikan bahwa bidang K cukup besar (misalnya, K cukup tertutup secara aljabar), jika tidak, beberapa pernyataan perlu diperbaiki.

Sejarah

Karya paling awal tentang teori representasi atas medan hingga oleh Dickson (1902) yang menunjukkan bahwa ketika p tidak membagi urutan grup, teori representasi serupa dengan karakteristik 0.

Dia juga menyelidiki invarian modular dari beberapa grup hingga. Studi sistematis representasi modular, ketika karakteristik p membagi urutan grup, dimulai oleh Brauer (1935) dan dilanjutkan olehnya selama beberapa dekade berikutnya

Interpretasi teori cincin

Diberikan sebuah bidang K dan sebuah grup hingga G, grup aljabar K (yang merupakan ruang vektor-K dengan basis-K yang terdiri dari elemen-elemen G, diberkahi dengan perkalian aljabar dengan memperluas perkalian G dengan linieritas) adalah sebuah cincin Artinian.

Ketika orde G habis dibagi karakteristik K, aljabar golongannya tidak setengah sederhana, oleh karena itu memiliki radikal Jacobson bukan nol. Dalam hal ini, ada modul berdimensi hingga untuk aljabar grup yang bukan merupakan modul proyektif. Sebaliknya, dalam kasus karakteristik 0, setiap representasi yang tidak dapat direduksi adalah penjumlahan langsung dari representasi reguler, oleh karena itu bersifat proyektif.

Karakter Brauer

Teori representasi modular dikembangkan oleh Richard Brauer dari sekitar 1940 dan seterusnya untuk mempelajari secara lebih mendalam hubungan antara karakteristik teori representasi p, teori karakter biasa dan struktur G, terutama karena yang terakhir berhubungan dengan embedding, dan hubungan antara, p nya. -subkelompok. Hasil tersebut dapat diterapkan dalam teori kelompok pada masalah yang tidak secara langsung diungkapkan dalam bentuk representasi.

Brauer memperkenalkan gagasan yang sekarang dikenal sebagai karakter Brauer. Jika K secara aljabar ditutup dari karakteristik positif p, terdapat bijection antara akar persatuan di K dan akar kompleks dari kesatuan orde prima ke p.

Setelah pilihan bijection seperti itu ditetapkan, karakter Brauer dari suatu representasi menetapkan ke setiap elemen kelompok urutan coprime ke jumlah akar kesatuan kompleks yang sesuai dengan nilai eigen (termasuk kelipatan) dari elemen itu dalam representasi yang diberikan.

Karakter Brauer dari suatu representasi menentukan faktor komposisinya tetapi tidak, secara umum, jenis ekivalennya. Karakter Brauer yang tidak dapat direduksi adalah yang diberikan oleh modul sederhana. Ini adalah kombinasi integral (meskipun tidak harus non-negatif) dari pembatasan ke elemen urutan coprime ke p dari karakter biasa yang tidak dapat direduksi.

Sebaliknya, batasan pada elemen order coprime ke p dari setiap karakter biasa yang tidak dapat direduksi secara unik dapat diekspresikan sebagai kombinasi bilangan bulat non-negatif dari karakter Brauer yang tidak dapat direduksi.

Pengurangan (mod p)

Dalam teori yang awalnya dikembangkan oleh Brauer, hubungan antara teori representasi biasa dan teori representasi modular paling baik dicontohkan dengan mempertimbangkan aljabar grup dari grup G di atas cincin penilaian diskrit lengkap R dengan bidang residu K dengan karakteristik positif p dan bidang pecahan F dari karakteristik 0, seperti bilangan bulat p-adic.

Struktur R terkait erat baik dengan struktur aljabar grup K maupun dengan struktur aljabar grup semisederhana F, dan ada banyak interaksi antara teori modul dari ketiga aljabar tersebut.

Setiap modul R secara alami memunculkan modul F, dan, melalui proses yang sering dikenal secara informal sebagai reduksi (mod p), menjadi modul K . Di sisi lain, karena R adalah domain ideal utama, setiap modul F berdimensi-hingga muncul dengan perluasan skalar dari modul R. Secara umum, bagaimanapun, tidak semua modul K  muncul sebagai reduksi (mod p) dari modul R. Mereka yang melakukannya bisa diangkat.

Jumlah modul sederhana

Dalam teori representasi biasa, jumlah modul sederhana k (G) sama dengan jumlah kelas konjugasi G.Dalam kasus modular, jumlah l (G) modul sederhana sama dengan jumlah kelas konjugasi yang elemennya memiliki mengurutkan coprime ke p prima yang relevan, yang disebut kelas p-regular.

Blok dan struktur aljabar grup

Dalam teori representasi modular, sementara teorema Maschke tidak berlaku ketika karakteristik membagi urutan grup, aljabar grup dapat diuraikan sebagai jumlah langsung dari kumpulan maksimal dari ideal dua sisi yang dikenal sebagai blok.

Ketika bidang F memiliki karakteristik 0, atau coprime karakteristik ke urutan grup, masih ada dekomposisi seperti aljabar grup F sebagai jumlah blok (satu untuk setiap jenis isomorfisme modul sederhana), tetapi situasinya adalah relatif transparan ketika F cukup besar: setiap blok adalah aljabar matriks penuh di atas F, cincin endomorfisme ruang vektor yang mendasari modul sederhana terkait.

Untuk mendapatkan blok, elemen identitas grup G didekomposisi sebagai jumlah idempotensi primitif di Z (R ), pusat aljabar grup di atas urutan maksimal R dari F. Blok yang sesuai dengan idempoten primitif e adalah ideal dua sisi e R .

Untuk setiap modul R  yang tidak dapat diuraikan, hanya ada satu idempoten primitif yang tidak memusnahkannya, dan modul tersebut dikatakan milik (atau berada di) blok yang sesuai (dalam hal ini, semua faktor komposisinya juga milik blok itu). Secara khusus, setiap modul sederhana termasuk dalam blok unik.

Setiap karakter biasa yang tidak dapat direduksi juga dapat ditetapkan ke blok unik sesuai dengan penguraiannya sebagai jumlah karakter Brauer yang tidak dapat direduksi. Blok yang berisi modul trivial dikenal sebagai blok utama.

Modul proyektif

Dalam teori representasi biasa, setiap modul yang tidak dapat diuraikan tidak dapat direduksi, sehingga setiap modul bersifat proyektif. Namun, modul sederhana dengan karakteristik yang membagi urutan grup jarang bersifat proyektif.

Memang, jika modul sederhana bersifat proyektif, maka itu adalah satu-satunya modul sederhana dalam bloknya, yang kemudian isomorfik ke aljabar endomorfisme ruang vektor yang mendasarinya, aljabar matriks penuh. Dalam hal ini, blok tersebut dikatakan memiliki ‘cacat 0’. Umumnya, struktur modul proyektif sulit ditentukan.

Untuk aljabar grup dari grup hingga, (tipe isomorfisma dari) modul projektif tak dapat diuraikan berada dalam korespondensi satu-ke-satu dengan modul sederhana (tipe isomorfisma): basis dari setiap tak terurai proyektif sederhana (dan isomorfik ke atas), dan ini memberi bijection, karena indekomposabel proyektif non-isomorfik memiliki socles non-isomorfik.

Multiplisitas modul proyektif tak terurai sebagai ringkasan dari aljabar grup (dipandang sebagai modul reguler) adalah dimensi socle-nya (untuk bidang karakteristik nol yang cukup besar, ini memulihkan fakta bahwa setiap modul sederhana terjadi dengan multiplisitas sama dengan nya. dimensi sebagai ringkasan langsung dari modul reguler).

Setiap modul proyektif tidak dapat diuraikan (dan karenanya setiap modul proyektif) dalam karakteristik positif p dapat diangkat ke modul dalam karakteristik 0. Dengan menggunakan cincin R seperti di atas, dengan bidang residu K, elemen identitas G dapat diuraikan sebagai jumlah dari satu sama lain. idempotensi primitif ortogonal (tidak harus sentral) dari K.

Setiap K -module proyektif tak terurai adalah isomorfik terhadap e.K  untuk idempotensi primitif e yang terjadi dalam dekomposisi ini. Idempotensi e berpindah ke idempotensi primitif, katakanlah E, dari R , dan modul kiri E.R  mengalami reduksi (mod p) isomorfik menjadi e.K .

Beberapa hubungan ortogonalitas untuk karakter Brauer

Ketika modul proyektif diangkat, karakter terkait menghilang pada semua elemen orde yang dapat dibagi oleh p, dan (dengan pilihan yang konsisten dari akar kesatuan), setuju dengan karakter Brauer dari modul karakteristik asli p pada elemen p-regular.

Dengan demikian, produk dalam (cincin-karakter biasa) dari karakter Brauer dari proyektif yang tidak dapat diuraikan dengan karakter Brauer lainnya dapat didefinisikan ini adalah 0 jika karakter Brauer kedua adalah dari socle proyektif non-isomorfik yang tidak dapat diuraikan, dan 1 jika karakter Brauer kedua adalah karakternya sendiri.

Multiplisitas karakter biasa yang tidak dapat direduksi dalam karakter pengangkatan proyektif tak terurai sama dengan jumlah kemunculan karakter Brauer dari socle proyektif tak terurai ketika pembatasan karakter biasa ke elemen p-reguler dinyatakan sebagai sejumlah karakter Brauer yang tidak bisa direduksi.

Matriks dekomposisi dan matriks Cartan

Faktor komposisi modul proyektif tak terurai dapat dihitung sebagai berikut: Mengingat karakter Brauer biasa tak tereduksi dan tak tereduksi dari grup hingga tertentu, karakter biasa tak tereduksi dapat diuraikan sebagai kombinasi bilangan bulat non-negatif dari karakter Brauer tak tereduksi.

Baca Juga : Teori Relativitas Umum Einstein Menyingkap Kosmos

Bilangan bulat yang terlibat dapat ditempatkan dalam matriks, dengan karakter tak tersederhanakan biasa ditetapkan baris dan karakter Brauer tak tersederhanakan ditetapkan kolom. Ini disebut sebagai matriks dekomposisi, dan sering kali diberi label D. Biasanya karakter biasa dan karakter Brauer yang remeh ditempatkan di baris dan kolom pertama.

Produk dari transpos D dengan D itu sendiri menghasilkan matriks Cartan, biasanya dilambangkan dengan C. Ini adalah matriks simetris sehingga entri pada baris ke-j adalah kelipatan dari masing-masing modul sederhana sebagai faktor komposisi modul proyektif tak terurai ke-j. Matriks Cartan adalah non-singular. Faktanya, determinannya adalah kekuatan karakteristik K.