Memahami Ilmu Teorema Spektral Dalam Matematika – Dalam matematika, khususnya aljabar linier dan analisis fungsional, teorema spektral adalah hasil tentang kapan operator linier atau matriks dapat didiagonalisasi (yaitu, direpresentasikan sebagai matriks diagonal dalam beberapa basis). Ini sangat berguna karena komputasi yang melibatkan matriks yang dapat didiagonalisasi seringkali dapat direduksi menjadi komputasi yang lebih sederhana yang melibatkan matriks diagonal yang sesuai.

Memahami Ilmu Teorema Spektral Dalam Matematika

transitionmathproject – Konsep diagonalisasi relatif mudah untuk operator pada ruang vektor berdimensi hingga tetapi memerlukan beberapa modifikasi untuk operator pada ruang berdimensi tak hingga. Secara umum, teorema spektral mengidentifikasi kelas operator linier yang dapat dimodelkan oleh operator perkalian, yang sesederhana yang diharapkan. Dalam bahasa yang lebih abstrak, teorema spektral adalah pernyataan tentang aljabar C* komutatif. Lihat juga teori spektral untuk perspektif sejarah.

Baca Juga : Mengulas Rank Atau Peringkat di Bidang Aljabar Linier

Contoh operator di mana teorema spektral berlaku adalah operator self-adjoint atau lebih umum operator normal pada ruang Hilbert. Teorema spektral juga menyediakan dekomposisi kanonik, yang disebut dekomposisi spektral, dekomposisi nilai eigen, atau dekomposisi eigen, dari ruang vektor yang mendasari di mana operator bertindak. Augustin-Louis Cauchy membuktikan teorema spektral untuk matriks self-adjoint, yaitu, bahwa setiap matriks simetris nyata dapat didiagonalisasi. Selain itu, Cauchy adalah orang pertama yang sistematis tentang determinan.

Teorema spektral seperti yang digeneralisasikan oleh John von Neumann saat ini mungkin merupakan hasil terpenting dari teori operator. Artikel ini terutama berfokus pada jenis teorema spektral yang paling sederhana, yaitu untuk operator self-adjoint pada ruang Hilbert. Namun, seperti disebutkan di atas, teorema spektral juga berlaku untuk operator normal pada ruang Hilbert.

Kasus berdimensi-hingga

Kondisi ekuivalen adalah bahwa A* = A, di mana A* adalah konjugat Hermitian dari A. Dalam hal A diidentifikasi dengan matriks Hermitian, matriks A* dapat diidentifikasi dengan transpos konjugasinya. (Jika A adalah matriks real, ini setara dengan AT = A, yaitu, A adalah matriks simetris.) Kondisi ini menyiratkan bahwa semua nilai eigen dari peta Hermitian adalah nyata: cukup untuk menerapkannya pada kasus ketika x = y adalah vektor eigen. (Ingat bahwa vektor eigen dari peta linier A adalah vektor (bukan nol) x sehingga Ax = x untuk beberapa skalar . Nilai adalah nilai eigen yang sesuai.

Selain itu, nilai eigen adalah akar dari polinomial karakteristik.) Teorema . Jika A adalah Hermitian, terdapat basis ortonormal dari V yang terdiri dari vektor-vektor eigen dari A. Setiap nilai eigen adalah nyata. Kami memberikan sketsa bukti untuk kasus di mana bidang skalar yang mendasarinya adalah bilangan kompleks. Teorema spektral berlaku juga untuk peta simetris pada ruang hasil kali dalam real berdimensi-hingga, tetapi keberadaan vektor eigen tidak langsung mengikuti teorema dasar aljabar. Untuk membuktikannya, pertimbangkan A sebagai matriks Hermitian dan gunakan fakta bahwa semua nilai eigen matriks Hermitian adalah nyata.

Representasi matriks A dalam basis vektor eigen adalah diagonal, dan dengan konstruksi bukti memberikan basis vektor eigen yang saling ortogonal; dengan memilihnya sebagai vektor satuan, diperoleh basis ortonormal dari vektor eigen. A dapat ditulis sebagai kombinasi linier dari proyeksi ortogonal berpasangan, yang disebut dekomposisi spektralnya. Membiarkan menjadi ruang eigen yang sesuai dengan nilai eigen . Perhatikan bahwa definisi tidak bergantung pada pilihan vektor eigen tertentu. V adalah jumlah langsung ortogonal dari ruang V di mana indeks berkisar di atas nilai eigen.

Dekomposisi spektral adalah kasus khusus dari dekomposisi Schur dan dekomposisi nilai tunggal. Teorema spektral meluas ke kelas matriks yang lebih umum. Misalkan A adalah operator pada ruang hasilkali dalam berdimensi berhingga. A dikatakan normal jika A*A = AA*. Seseorang dapat menunjukkan bahwa A normal jika dan hanya jika A dapat didiagonalisasi secara satuan. Bukti: Dengan dekomposisi Schur, kita dapat menulis matriks apa pun sebagai A = UTU*, di mana U adalah kesatuan dan T adalah segitiga atas. Jika A normal, terlihat bahwa TT* = T*T. Oleh karena itu, T harus diagonal karena matriks segitiga atas yang normal adalah diagonal (lihat matriks normal). Kebalikannya jelas.

Operator self-adjoint yang ringkas

Dalam pengaturan ruang Hilbert yang lebih umum, yang mungkin memiliki dimensi tak hingga, pernyataan teorema spektral untuk operator adjoint-diri kompak hampir sama seperti dalam kasus berdimensi-hingga. Dalil. Misalkan A adalah operator adjoint kompak pada ruang Hilbert (nyata atau kompleks) V. Maka ada basis ortonormal V yang terdiri dari vektor eigen dari A. Setiap nilai eigen adalah nyata.

Adapun matriks Hermitian, poin kuncinya adalah membuktikan keberadaan setidaknya satu vektor eigen tak nol. Seseorang tidak dapat mengandalkan determinan untuk menunjukkan keberadaan nilai eigen, tetapi seseorang dapat menggunakan argumen maksimisasi yang analog dengan karakterisasi variasi nilai eigen. Jika asumsi kekompakan dihilangkan, tidak benar bahwa setiap operator self-adjoint memiliki vektor eigen.

Operator self-adjoint umum

Banyak operator linier penting yang muncul dalam analisis, seperti operator diferensial, tidak terbatas. Ada juga teorema spektral untuk operator self-adjoint yang berlaku dalam kasus ini. Sebagai contoh, setiap operator diferensial koefisien-konstanta ekuivalen secara satuan dengan operator perkalian. Memang, operator kesatuan yang mengimplementasikan kesetaraan ini adalah transformasi Fourier; operator perkalian adalah jenis pengali Fourier.

Secara umum, teorema spektral untuk operator self-adjoint dapat mengambil beberapa bentuk ekuivalen. Khususnya, semua formulasi yang diberikan di bagian sebelumnya untuk operator sambungan mandiri terbatasversi ukuran proyeksi, versi operator perkalian, dan versi integral langsung—terus berlaku untuk operator sambungan mandiri tak terbatas, dengan modifikasi teknis untuk menangani masalah domain.

Matriks normal

Konsep matriks normal dapat diperluas ke operator normal pada ruang bernorma berdimensi tak hingga dan ke elemen normal dalam aljabar C*. Hal ini membuat operator normal, dan elemen normal dari aljabar C*, lebih dapat dianalisa. Teorema spektral menyatakan bahwa suatu matriks adalah normal jika dan hanya jika matriks tersebut sebangun dengan matriks diagonal, dan oleh karena itu setiap matriks A yang memenuhi persamaan A*A = AA* dapat didiagonalisasi.

Konsep normalitas penting karena matriks normal adalah tepat yang diterapkan oleh teorema spektral: Proposisi. Suatu matriks A normal jika dan hanya jika terdapat matriks diagonal dan matriks kesatuan U sedemikian sehingga A = UΛU*. Entri diagonal dari adalah nilai eigen dari A, dan kolom-kolom dari U adalah vektor-vektor eigen dari A. Nilai-nilai eigen yang cocok dalam datang dalam urutan yang sama dengan vektor-vektor eigen yang diurutkan sebagai kolom-kolom dari U. Cara lain untuk teorema spektral adalah untuk menyatakan bahwa matriks normal merupakan matriks-matriks yang dapat diwakili oleh matriks diagonal terhadap basis ortonormal Cn yang dipilih dengan tepat.

Diungkapkan secara berbeda: matriks adalah normal jika dan hanya jika ruang eigennya merentang Cn dan ortogonal berpasangan terhadap produk dalam standar Cn. Teorema spektral untuk matriks normal adalah kasus khusus dari dekomposisi Schur yang lebih umum yang berlaku untuk semua matriks persegi. Dalil. Matriks normal adalah adjoint diri jika dan hanya jika spektrumnya terdapat dalam R . Dengan kata lain: Suatu matriks normal adalah Hermitian jika dan hanya jika semua nilai eigennya real. Secara umum, jumlah atau hasil kali dua matriks normal tidak harus normal.

Namun, berikut ini berlaku: Proposisi. Jika A dan B normal dengan AB = BA, maka AB dan A + B juga normal. Selanjutnya terdapat matriks kesatuan U sehingga UAU* dan UBU* adalah matriks diagonal. Dengan kata lain A dan B dapat didiagonalisasi secara bersamaan. Dalam kasus khusus ini, kolom U* adalah vektor eigen dari A dan B dan membentuk basis ortonormal di Cn.