Membahas Ruang Pseudo-Euclidean Pada Matematika – Dalam matematika dan fisika teoretis, ruang pseudo-Euclidean adalah ruang n real berdimensi-hingga bersama dengan bentuk kuadratik non-degenerasi q. Untuk ruang Euclidean, k = n, menyiratkan bahwa bentuk kuadratnya berdefinisi positif. Ketika 0 < k < n, q adalah bentuk kuadrat isotropik, selain itu anisotropik.

Membahas Ruang Pseudo-Euclidean Pada Matematika

transitionmathproject – Perhatikan bahwa jika 1 i k < j n, maka q(ei + ej) = 0, sehingga ei + ej adalah vektor nol. Dalam ruang Euclidean semu dengan k < n, tidak seperti dalam ruang Euclidean, terdapat vektor dengan skalar kuadrat negatif.  Seperti istilah ruang Euclidean, istilah ruang pseudo-Euclidean dapat digunakan untuk merujuk ke ruang affine atau ruang vektor tergantung pada penulisnya, dengan alternatif terakhir disebut sebagai ruang vektor pseudo-Euclidean (lihat perbedaan titik-vektor).

Baca Juga : Mengulas Ilmu Matematika Linier Sub Ruang, Baris dan Kolom

Geometri ruang pseudo-Euclidean konsisten meskipun beberapa sifat ruang Euclidean tidak berlaku, terutama bahwa itu bukan ruang metrik seperti yang dijelaskan di bawah ini. Struktur affine tidak berubah, dan dengan demikian juga konsep garis, bidang dan, umumnya, dari subruang affine (datar), serta segmen garis. Vektor nol adalah vektor yang bentuk kuadratnya nol. Tidak seperti dalam ruang Euclidean, vektor seperti itu bisa bukan nol, dalam hal ini adalah ortogonal diri. Jika bentuk kuadratnya tak tentu, ruang pseudo-Euclidean memiliki kerucut linier dari vektor nol yang diberikan oleh { x : q(x) = 0 }.

Ketika ruang pseudo-Euclidean menyediakan model untuk ruangwaktu (lihat di bawah), kerucut nol disebut kerucut cahaya asal. Kerucut nol memisahkan dua himpunan terbuka, masing-masing untuk q(x) > 0 dan q(x) < 0. Jika k 2, maka himpunan vektor yang q(x) > 0 terhubung. Jika k = 1, maka ia terdiri dari dua bagian yang saling lepas, satu dengan x1 > 0 dan yang lain dengan x1 < 0. Pernyataan serupa dapat dibuat untuk vektor yang q(x) < 0 jika k diganti dengan n k. Bentuk kuadrat q sesuai dengan kuadrat vektor dalam kasus Euclidean. Untuk mendefinisikan norma vektor (dan jarak) secara invarian, kita harus mendapatkan akar kuadrat dari kuadrat skalar, yang mengarah ke kemungkinan jarak imajiner. lihat akar kuadrat dari angka negatif.

Tetapi bahkan untuk segitiga dengan kuadrat skalar positif dari ketiga sisinya (yang akar kuadratnya nyata dan positif), pertidaksamaan segitiga tidak berlaku secara umum. Oleh karena itu, istilah norma dan jarak dihindari dalam geometri pseudo-Euclidean, yang masing-masing dapat diganti dengan kuadrat skalar dan interval. Padahal, untuk kurva yang vektor tangennya semua memiliki kuadrat skalar dengan tanda yang sama, panjang busurnya didefinisikan. Ini memiliki aplikasi penting: lihat waktu yang tepat, misalnya.

Grup rotasi dari ruang tersebut adalah grup ortogonal tak tentu O(q), juga dilambangkan sebagai O(k, n k) tanpa mengacu pada bentuk kuadrat tertentu. “Rotasi” seperti itu mempertahankan bentuk q dan, karenanya, kuadrat skalar dari setiap vektor termasuk apakah itu positif, nol, atau negatif. Sementara ruang Euclidean memiliki bola satuan, ruang pseudo-Euclidean memiliki permukaan hiper { x : q(x) = 1 } dan { x : q(x) = 1 }. Permukaan hiper seperti itu, yang disebut quasi-sphere, diawetkan oleh grup ortogonal tak tentu yang sesuai.

Bentuk kuadrat dapat dinyatakan dalam bentuk bilinear: q(x) = x, x⟩. Jika x, y⟩ = 0, maka x dan y adalah ortogonal matrix dari ruang pseudo-Euclidean. Bentuk bilinear ini sering disebut sebagai produk skalar, dan kadang-kadang sebagai “produk dalam” atau “produk titik”, tetapi tidak mendefinisikan ruang produk dalam dan tidak memiliki sifat-sifat produk titik dari vektor Euclidean. Jika x dan y ortogonal dan q(x)q(y) < 0, maka x ortogonal hiperbolik terhadap y. Basis standar ruang-n real adalah ortogonal. Tidak ada basis ortonormal dalam ruang pseudo-Euclidean yang bentuk bilinearnya tidak tentu, karena tidak dapat digunakan untuk mendefinisikan norma vektor.

Salah satu sifat yang paling menggelegar (untuk intuisi Euclidean) dari vektor dan flat pseudo-Euclidean adalah ortogonalitasnya. Ketika dua vektor Euclidean bukan nol ortogonal, keduanya tidak kolinear. Perpotongan setiap subruang linear Euclidean dengan komplemen ortogonalnya adalah subruang {0}. Tetapi definisi dari subbagian sebelumnya segera menyiratkan bahwa setiap vektor dari kuadrat skalar nol adalah ortogonal terhadap dirinya sendiri. Oleh karena itu, garis isotropik N = yang dihasilkan oleh vektor nol adalah himpunan bagian dari komplemen ortogonalnya N⊥. Definisi formal komplemen ortogonal dari subruang vektor dalam ruang pseudo-Euclidean memberikan hasil yang terdefinisi dengan baik, yang memenuhi persamaan dim U + dim U⊥ = n karena non-degenerasi bentuk kuadrat.

Ini hanya syaratUntuk subruang k Euclidean (positif) komplemen ortogonalnya adalah subruang negatif “Euclidean” berdimensi negatif (n k), dan sebaliknya. Umumnya, untuk subruang berdimensi a (d+ + d− + d0) yang terdiri dari d+ dimensi positif dan d− negatif (lihat hukum inersia Sylvester untuk klarifikasi), “pelengkap” ortogonalnya U⊥ memiliki (k d+ d0) positif dan (n k − d− d0) dimensi negatif, sedangkan sisanya d0 merosot dan membentuk perpotongan U U⊥. Umumnya, nilai mutlak |⟨x, y⟩| bentuk bilinear pada dua vektor mungkin lebih besar dari |q(x)q(y)|, sama dengannya, atau lebih kecil. Hal ini menyebabkan masalah serupa dengan definisi sudut (lihat perkalian titik Definisi geometris) seperti yang muncul di atas untuk jarak. Ini sesuai dengan jarak pada ruang hiperbolik berdimensi (n 1). Ini dikenal sebagai kecepatan dalam konteks teori relativitas yang dibahas di bawah ini.

Baca Juga : Penjelasan Secara Mendalam Tentang Mekanika Kuantum

Tidak seperti sudut Euclidean, dibutuhkan nilai dari [0, +∞) dan sama dengan 0 untuk vektor antiparalel. Tidak ada definisi yang masuk akal dari sudut antara vektor nol dan vektor lain (baik nol atau bukan nol). Seperti ruang Euclidean, setiap ruang vektor pseudo-Euclidean menghasilkan aljabar Clifford. Tidak seperti sifat di atas, di mana penggantian q ke q mengubah angka tetapi tidak geometri, pembalikan tanda dari bentuk kuadrat menghasilkan aljabar Clifford yang berbeda, jadi misalnya Cl1,2(R) dan Cl2,1(R) tidak isomorfik . k komponen pertama dari vα secara numerik sama dengan komponen vβ, tetapi sisanya n k memiliki tanda yang berlawanan.

Korespondensi antara tensor kontravarian dan kovarian membuat kalkulus tensor pada manifold pseudo-Riemannian menjadi generalisasi satu pada manifold Riemann. Geometri yang terkait dengan metrik semu ini diselidiki oleh Poincaré. Grup rotasinya adalah grup Lorentz. Grup Poincaré juga mencakup terjemahan dan memainkan peran yang sama dengan grup Euclidean dari ruang Euclidean biasa. Ini adalah kasus paling sederhana dari ruang pseudo-Euclidean tak tentu (n = 2, k = 1) dan satu-satunya di mana kerucut nol membedah ruang menjadi empat himpunan terbuka. Golongan SO+(1, 1) terdiri dari rotasi hiperbolik.