Mengulas Aljabar Linier Independen dan Linier Dasar – Dalam teori ruang vektor, suatu himpunan vektor dikatakan bergantung linier jika terdapat kombinasi linier tak-sepele dari vektor-vektor yang sama dengan vektor nol. Jika tidak ada kombinasi linier seperti itu, maka vektor-vektor tersebut dikatakan bebas linier. Konsep-konsep ini merupakan inti dari definisi dimensi.

Mengulas Aljabar Linier Independen dan Linier Dasar

transitionmathproject – Sebuah ruang vektor dapat berdimensi berhingga atau berdimensi tak hingga bergantung pada jumlah maksimum vektor bebas linier. Definisi ketergantungan linier dan kemampuan untuk menentukan apakah suatu himpunan bagian dari vektor dalam ruang vektor bergantung secara linier adalah inti untuk menentukan dimensi ruang vektor.

Baca Juga : Mengulas Metode Kuadrat Terkecil Pada Matematika

Definisi Aljabar linier independen

Jika suatu barisan vektor mengandung dua kali vektor yang sama, maka barisan tersebut harus bergantung. Ketergantungan linier suatu barisan vektor tidak bergantung pada urutan suku-suku dalam barisan tersebut. Hal ini memungkinkan pendefinisian independensi linier untuk himpunan ruang vektor berhingga: Himpunan vektor berhingga adalah bebas linier jika barisan yang diperoleh dengan mengurutkannya bebas linier. Dengan kata lain, seseorang memiliki hasil berikut yang sering berguna.

Suatu barisan vektor bebas linier jika dan hanya jika tidak mengandung dua kali vektor yang sama dan himpunan vektor-vektornya bebas linier. Himpunan vektor tak hingga adalah bebas linier jika setiap subset berhingga tak kosong adalah bebas linier. Sebaliknya, suatu himpunan tak hingga dari vektor-vektor bergantung linier jika mengandung subset berhingga yang bergantung linier, atau ekuivalen, jika beberapa vektor dalam himpunan tersebut merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor lain dalam himpunan tersebut.

Keluarga vektor yang diindeks adalah bebas linier jika tidak mengandung dua kali vektor yang sama, dan jika himpunan vektornya bebas linier. Jika tidak, keluarga dikatakan bergantung linier. Himpunan vektor yang bebas linier dan merentang beberapa ruang vektor, membentuk basis untuk ruang vektor tersebut. Misalnya, ruang vektor dari semua polinomial di x di atas real memiliki himpunan bagian (tak hingga) {1, x, x2, …} sebagai basis.

Aljabar linier dasar

Dalam matematika, koefisien kombinasi linier ini disebut sebagai komponen atau koordinat vektor terhadap B. Unsur-unsur basis disebut vektor basis. Secara ekuivalen, himpunan B adalah basis jika elemen-elemennya bebas linier dan setiap elemen V adalah kombinasi linier dari elemen-elemen B. Dengan kata lain, basis adalah himpunan rentang bebas linier. Sebuah ruang vektor dapat memiliki beberapa basis. namun semua basis memiliki jumlah elemen yang sama, yang disebut dimensi ruang vektor. Artikel ini terutama membahas ruang vektor berdimensi hingga. Namun, banyak prinsip juga berlaku untuk ruang vektor berdimensi tak hingga.

Definisi Aljabar linier dasar

Ruang vektor yang memiliki basis berhingga disebut berdimensi berhingga. Dalam hal ini, subset hingga dapat diambil sebagai B itu sendiri untuk memeriksa independensi linier dalam definisi di atas. Seringkali nyaman atau bahkan perlu untuk memiliki pengurutan pada vektor-vektor basis, misalnya, ketika membahas orientasi, atau ketika seseorang mempertimbangkan koefisien skalar suatu vektor sehubungan dengan suatu basis tanpa merujuk secara eksplisit ke elemen-elemen basis.

Dalam hal ini, pengurutan diperlukan untuk mengasosiasikan setiap koefisien ke elemen basis yang sesuai. Pengurutan ini dapat dilakukan dengan penomoran elemen basis. Untuk menekankan bahwa suatu urutan telah dipilih, seseorang berbicara tentang suatu basis yang teratur, yang oleh karena itu bukan hanya suatu himpunan yang tidak terstruktur, tetapi suatu urutan, suatu keluarga yang diindeks, atau yang serupa. lihat Basis dan koordinat terurut di bawah.

Properti pada Aljabar linier dasar

Banyak sifat-sifat basa hingga dihasilkan dari lemma pertukaran Steinitz, yang menyatakan bahwa, untuk sembarang ruang vektor V, jika diberikan himpunan rentang berhingga S dan himpunan bebas linier L dari n elemen V, satu dapat menggantikan n elemen S yang dipilih dengan baik. oleh elemen-elemen L untuk mendapatkan himpunan rentang yang berisi L, memiliki elemen-elemen lain di S, dan memiliki jumlah elemen yang sama dengan S. Sebagian besar properti yang dihasilkan dari lemma pertukaran Steinitz tetap benar ketika tidak ada himpunan rentang berhingga, tetapi mereka pembuktian dalam kasus tak terhingga umumnya memerlukan aksioma pilihan atau bentuk yang lebih lemah, seperti lemma ultrafilter.

Gagasan terkait pada Aljabar linier dasar

Jika seseorang mengganti bidang yang terjadi dalam definisi ruang vektor dengan sebuah cincin, seseorang mendapatkan definisi modul. Untuk modul, independensi linier dan himpunan rentang didefinisikan persis seperti untuk ruang vektor, meskipun “set pembangkit” lebih umum digunakan daripada “set rentang”. Seperti untuk ruang vektor, basis dari sebuah modul adalah subset bebas linier yang juga merupakan himpunan pembangkit. Perbedaan utama dengan teori ruang vektor adalah tidak setiap modul memiliki basis.

Modul yang memiliki basis disebut modul bebas. Modul gratis memainkan peran mendasar dalam teori modul, karena dapat digunakan untuk menggambarkan struktur modul tidak bebas melalui resolusi bebas. Modul di atas bilangan bulat persis sama dengan grup abelian. Jadi modul bebas di atas bilangan bulat juga merupakan grup abelian gratis. Grup abelian gratis memiliki properti khusus yang tidak dibagikan oleh modul melalui cincin lain. Dalam konteks ruang vektor berdimensi tak hingga di atas bilangan real atau kompleks, istilah basis Hamel (dinamai Georg Hamel) atau basis aljabar dapat digunakan untuk merujuk ke basis seperti yang didefinisikan dalam artikel ini.

Hal ini untuk membuat perbedaan dengan gagasan lain tentang “basis” yang ada ketika ruang vektor berdimensi tak hingga diberkahi dengan struktur tambahan. Alternatif yang paling penting adalah basis ortogonal pada ruang Hilbert, basis Schauder, dan basis Markushevich pada ruang linier bernorma. Fitur umum dari gagasan lain adalah bahwa mereka mengizinkan pengambilan kombinasi linier tak terbatas dari vektor basis untuk menghasilkan ruang. Ini, tentu saja, mensyaratkan bahwa jumlah tak terbatas didefinisikan secara bermakna pada ruang-ruang ini, seperti halnya untuk ruang vektor topologi kelas besar ruang vektor termasuk mis. Ruang Hilbert, ruang Banach, atau ruang Fréchet.

Preferensi jenis basis lain untuk ruang dimensi tak hingga dibenarkan oleh fakta bahwa basis Hamel menjadi “terlalu besar” di ruang Banach: Jika X adalah ruang vektor berdimensi tak hingga yang lengkap (yaitu X adalah ruang Banach ), maka setiap basis Hamel dari X tidak dapat dihitung. Ini adalah konsekuensi dari teorema kategori Baire. Untuk distribusi probabilitas di Rn dengan fungsi kerapatan probabilitas, seperti distribusi ekuivalen dalam bola n-dimensi terhadap ukuran Lebesgue, dapat ditunjukkan bahwa n vektor yang dipilih secara acak dan independen akan membentuk basis dengan probabilitas satu, yang disebabkan fakta bahwa n vektor bergantung linier x1, …, xn dalam Rn harus memenuhi persamaan det[x1 xn] = 0 (determinan nol dari matriks dengan kolom xi), dan himpunan nol dari polinomial non-trivial memiliki ukuran nol.

Baca Juga : Teori Matematika Baru Menghubungkan Teori Bilangan Dan Geometri

Pengamatan ini telah menyebabkan teknik untuk mendekati basis acak. Dalam dimensi tinggi, dua vektor acak independen dengan probabilitas tinggi hampir ortogonal, dan jumlah vektor acak independen, yang semuanya dengan probabilitas tinggi diberikan berpasangan hampir ortogonal, tumbuh secara eksponensial dengan dimensi. Lebih tepatnya, pertimbangkan pemerataan dalam bola n-dimensi. Pilih N vektor acak independen dari sebuah bola (mereka independen dan terdistribusi secara identik). Biarkan menjadi bilangan positif kecil. Gambar (kanan) mengilustrasikan distribusi panjang N dari rantai vektor hampir ortogonal berpasangan yang diambil sampelnya secara acak secara independen dari kubus berdimensi-n [−1, 1]n sebagai fungsi dimensi, n.

Sebuah titik pertama kali dipilih secara acak dalam kubus. Titik kedua dipilih secara acak dalam kubus yang sama. Jika sudut antara vektor berada dalam /2 ± 0,037π/2 maka vektor dipertahankan. Pada langkah berikutnya sebuah vektor baru dibangkitkan dalam hypercube yang sama, dan sudut-sudutnya dengan vektor-vektor yang dibangkitkan sebelumnya dievaluasi. Jika sudut-sudut ini berada dalam /2 ± 0,037π/2 maka vektor dipertahankan. Proses ini diulang sampai rantai hampir ortogonalitas putus, dan jumlah vektor hampir ortogonal berpasangan tersebut (panjang rantai) dicatat. Untuk setiap n, 20 rantai hampir ortogonal berpasangan dibangun secara numerik untuk setiap dimensi. Distribusi panjang rantai ini disajikan.