Mengulas Ilmu Matematika Linier Sub Ruang, Baris dan Kolom – Dalam matematika, dan lebih khusus dalam aljabar linier, subruang linier, juga dikenal sebagai subruang vektor adalah ruang vektor yang merupakan himpunan bagian dari beberapa ruang vektor yang lebih besar. Subruang linier biasanya disebut subruang ketika konteks berfungsi untuk membedakannya dari jenis subruang lainnya.

Mengulas Ilmu Matematika Linier Sub Ruang, Baris dan Kolom

transitionmathproject – Jika V adalah ruang vektor di atas bidang K dan jika W adalah himpunan bagian dari V, maka W adalah subruang linier dari V jika di bawah operasi V, W adalah ruang vektor di atas K.  Secara ekuivalen, suatu himpunan bagian tak kosong W adalah a subruang dari V jika, setiap kali w1, w2 adalah elemen dari W dan , adalah elemen dari K, maka w1 + w2 ada di W.

Baca Juga : Mengulas Linier Pemetaan Geser dan Pemetaan Pemerasan

Sebagai akibat wajar, semua ruang vektor dilengkapi dengan setidaknya dua (mungkin berbeda) subruang linier: ruang vektor nol yang terdiri dari vektor nol saja dan seluruh ruang vektor itu sendiri. Ini disebut subruang sepele dari ruang vektor. Dari definisi ruang vektor, dapat disimpulkan bahwa subruang tidak kosong, dan tertutup di bawah jumlah dan di bawah kelipatan skalar. Secara setara, subruang dapat dicirikan oleh sifat tertutup di bawah kombinasi linier. Artinya, himpunan tak kosong W adalah subruang jika dan hanya jika setiap kombinasi linear dari banyak elemen W juga termasuk dalam W.

Definisi ekivalen menyatakan bahwa itu juga ekuivalen untuk mempertimbangkan kombinasi linier dua elemen pada suatu waktu. Dalam ruang vektor topologi X, subruang W tidak perlu ditutup secara topologi, tetapi subruang berdimensi-hingga selalu tertutup. Hal yang sama berlaku untuk subruang dari kodimensi berhingga (yaitu, subruang yang ditentukan oleh sejumlah terbatas fungsi linier kontinu). Deskripsi dari subruang mencakup himpunan solusi untuk sistem persamaan linear homogen, himpunan bagian dari ruang Euclides yang dijelaskan oleh sistem homogen persamaan parametrik linier, rentang dari kumpulan vektor, dan ruang nol, ruang kolom, dan ruang baris suatu matriks.

Secara geometris (terutama pada bidang bilangan real dan subbidangnya), subruang adalah datar dalam n-ruang yang melewati titik asal. Ide ini digeneralisasi untuk dimensi yang lebih tinggi dengan rentang linier, tetapi kriteria untuk kesetaraan k-ruang ditentukan oleh set k vektor tidak begitu sederhana. Deskripsi ganda disediakan dengan fungsi linier (biasanya diimplementasikan sebagai persamaan linier). Satu F fungsional linier bukan nol menentukan subruang kernelnya F = 0 dari kodimensi 1. Secara umum, subruang dari Kn yang ditentukan oleh k parameter (atau direntang oleh k vektor) memiliki dimensi k.

Namun, ada pengecualian untuk aturan ini. Misalnya, subruang K3 yang direntang oleh tiga vektor (1, 0, 0), (0, 0, 1), dan (2, 0, 3) hanyalah bidang xz, dengan setiap titik pada bidang dijelaskan dengan tak hingga banyak nilai yang berbeda dari t1, t2, t3. Basis untuk subruang S adalah himpunan vektor bebas linier yang bentangnya S. Jumlah elemen dalam basis selalu sama dengan dimensi geometrik subruang. Setiap himpunan rentang untuk subruang dapat diubah menjadi basis dengan menghilangkan vektor yang berlebihan (lihat Algoritma di bawah untuk lebih lanjut).

Relasi biner inklusi set-teoritis menentukan urutan parsial pada himpunan semua subruang (dari dimensi apa pun). Suatu subruang tidak dapat terletak pada subruang mana pun yang berdimensi lebih kecil. Jika redup U = k, bilangan berhingga, dan U W, maka redup W = k jika dan hanya jika U = W. Persimpangan operasi dan penjumlahan membuat himpunan semua subruang menjadi kisi modular berbatas, di mana {0} subruang , elemen terkecil, adalah elemen identitas dari operasi penjumlahan, dan subruang identik V, elemen terbesar, adalah elemen identitas dari operasi persimpangan.

Baris dan kolom

Dalam aljabar linier, ruang kolom (juga disebut rentang atau gambar) dari matriks A adalah rentang (kumpulan semua kemungkinan kombinasi linier) dari vektor kolomnya. Ruang kolom suatu matriks adalah bayangan atau jangkauan dari transformasi matriks yang bersangkutan. Secara intuitif, jika diberikan matriks A, aksi matriks A pada vektor x akan mengembalikan kombinasi linier kolom-kolom A yang diberi bobot oleh koordinat x sebagai koefisien. Cara lain untuk melihat ini adalah bahwa ia akan (1) pertama memproyeksikan x ke dalam ruang baris A, (2) melakukan transformasi yang dapat dibalik, dan (3) menempatkan vektor y yang dihasilkan dalam ruang kolom A. Jadi hasilnya y = Ax harus berada di ruang kolom A.

Kolom A merentang ruang kolom, tetapi mungkin tidak membentuk basis jika vektor kolom tidak bebas linier. Untungnya, operasi baris elementer tidak mempengaruhi hubungan ketergantungan antara vektor kolom. Hal ini memungkinkan untuk menggunakan reduksi baris untuk menemukan basis untuk ruang kolom. Perhatikan bahwa kolom independen dari bentuk eselon baris tereduksi adalah kolom dengan pivot. Hal ini memungkinkan untuk menentukan kolom mana yang bebas linier dengan mereduksi hanya menjadi bentuk eselon. Algoritme di atas dapat digunakan secara umum untuk menemukan hubungan ketergantungan antara himpunan vektor apa pun, dan untuk memilih basis dari himpunan rentang mana pun.

Juga menemukan basis untuk ruang kolom A sama dengan mencari basis untuk ruang baris dari matriks transpos AT. Dimensi ruang kolom disebut rank matriks. Rank sama dengan jumlah pivot dalam bentuk eselon baris tereduksi, dan merupakan jumlah maksimum kolom bebas linier yang dapat dipilih dari matriks. Misalnya, matriks 4 × 4 pada contoh di atas memiliki peringkat tiga. Algoritma ini dapat digunakan secara umum untuk mencari basis rentang dari suatu himpunan vektor. Jika matriks disederhanakan lebih lanjut menjadi bentuk eselon baris tereduksi, maka basis yang dihasilkan ditentukan secara unik oleh ruang baris.

Kadang-kadang lebih mudah untuk menemukan basis untuk ruang baris dari antara baris-baris matriks asli sebagai gantinya (misalnya, hasil ini berguna dalam memberikan bukti dasar bahwa peringkat determinan suatu matriks sama dengan peringkatnya). Karena operasi baris dapat mempengaruhi hubungan ketergantungan linier dari vektor baris, basis seperti itu ditemukan secara tidak langsung dengan menggunakan fakta bahwa ruang kolom AT sama dengan ruang baris A. Dimensi ruang baris disebut pangkat dari matriks. Ini sama dengan jumlah maksimum baris bebas linier yang dapat dipilih dari matriks, atau sama dengan jumlah pivot. Misalnya, matriks 3 × 3 pada contoh di atas memiliki peringkat dua.

Baca Juga : Teori Matematika Baru Menghubungkan Teori Bilangan Dan Geometri

Oleh karena itu, ruang nol dari A adalah komplemen ortogonal ke ruang baris. Misalnya, jika ruang baris adalah bidang yang melalui titik asal dalam tiga dimensi, maka ruang nol akan menjadi garis tegak lurus yang melalui titik asal. Ini memberikan bukti teorema rank-nullity (lihat dimensi di atas). Ruang baris dan ruang nol adalah dua dari empat subruang dasar yang terkait dengan matriks A (dua lainnya adalah ruang kolom dan ruang nol kiri).

Jika V dan W adalah ruang vektor, maka inti dari transformasi linier T: V → W adalah himpunan vektor v V dimana T(v) = 0. Inti dari transformasi linier dianalogikan dengan ruang nol suatu matriks. Jika V adalah ruang hasilkali dalam, maka komplemen ortogonal ke kernel dapat dianggap sebagai generalisasi dari ruang baris. Ini kadang-kadang disebut coimage dari T. Transformasi T adalah satu-ke-satu pada coimage-nya, dan coimage memetakan secara isomorfik ke gambar T. Ketika V bukan ruang hasilkali dalam, coimage dari T dapat didefinisikan sebagai ruang bagi V / ker(T).