Mengulas Lebih Dalam Tentang Ilmu Tensor Dalam Fisika – Tensor menjadi penting dalam fisika karena menyediakan kerangka matematika yang ringkas untuk merumuskan dan memecahkan masalah fisika di berbagai bidang seperti mekanika (tegangan, elastisitas, mekanika fluida, momen inersia, …), elektrodinamika (tensor elektromagnetik, tensor Maxwell, permitivitas , suseptibilitas magnetik, …), atau relativitas umum (tensor tegangan-energi, tensor kelengkungan, …) dan lain-lain.

Mengulas Lebih Dalam Tentang Ilmu Tensor Dalam Fisika

transitionmathproject – Dalam aplikasi, adalah umum untuk mempelajari situasi di mana tensor yang berbeda dapat terjadi pada setiap titik objek. misalnya stres dalam suatu objek dapat bervariasi dari satu lokasi ke lokasi lain. Ini mengarah pada konsep medan tensor. Di beberapa daerah, medan tensor sangat umum sehingga sering disebut “tensor”.

Baca Juga :Membahas Ruang Pseudo-Euclidean Pada Matematika 

Tullio Levi-Civita dan Gregorio Ricci-Curbastro mempopulerkan tensor pada tahun 1900 – melanjutkan karya sebelumnya Bernhard Riemann dan Elwin Bruno Christoffel dan lainnya – sebagai bagian dari kalkulus diferensial absolut. Konsep tersebut memungkinkan formulasi alternatif dari geometri diferensial intrinsik dari manifold dalam bentuk tensor kelengkungan Riemann.

Definisi

Tensor dapat direpresentasikan sebagai array (berpotensi multidimensi). Sama seperti vektor dalam ruang n-dimensi yang diwakili oleh array satu dimensi dengan n komponen terhadap basis yang diberikan, setiap tensor terhadap basis diwakili oleh array multidimensi. Misalnya, operator linier direpresentasikan dalam basis sebagai array dua dimensi persegi n × n. Angka-angka dalam array multidimensi dikenal sebagai komponen skalar dari tensor atau hanya komponennya. Mereka dilambangkan dengan indeks yang memberikan posisi mereka dalam array, sebagai subskrip dan superskrip, mengikuti nama simbolis tensor.

Jumlah total indeks yang diperlukan untuk mengidentifikasi setiap komponen secara unik sama dengan dimensi array, dan disebut orde, derajat, atau peringkat tensor. Namun, istilah “peringkat” umumnya memiliki arti lain dalam konteks matriks dan tensor. Ini disebut hukum transformasi kovarian, karena komponen kovektor bertransformasi dengan matriks yang sama dengan perubahan matriks basis. Komponen dari tensor yang lebih umum ditransformasikan oleh beberapa kombinasi transformasi kovarian dan kontravarian, dengan satu hukum transformasi untuk setiap indeks. Jika matriks transformasi suatu indeks adalah matriks kebalikan dari transformasi basis, maka indeks tersebut disebut kontravarian dan secara konvensional dilambangkan dengan indeks atas (superscript).

Jika matriks transformasi dari suatu indeks adalah transformasi basis itu sendiri, maka indeks tersebut disebut kovarian dan dilambangkan dengan indeks yang lebih rendah (subskrip). Demikian pula, operator linier, dipandang sebagai objek geometris, sebenarnya tidak bergantung pada basis: itu hanya peta linier yang menerima vektor sebagai argumen dan menghasilkan vektor lain. Hukum transformasi untuk bagaimana matriks komponen operator linier berubah dengan basis konsisten dengan hukum transformasi untuk vektor kontravarian, sehingga aksi operator linier pada vektor kontravarian direpresentasikan dalam koordinat sebagai produk matriks dari mereka. representasi koordinat masing-masing.

Di sini indeks prima menunjukkan komponen dalam koordinat baru, dan indeks tidak prima menunjukkan komponen dalam koordinat lama. Tensor seperti itu dikatakan orde atau tipe (p, q). Istilah “urutan”, “jenis”, “peringkat”, “valensi”, dan “derajat” terkadang digunakan untuk konsep yang sama. Di sini, istilah “urutan” atau “urutan total” akan digunakan untuk dimensi total larik (atau generalisasinya dalam definisi lain), p + q dalam contoh sebelumnya, dan istilah “jenis” untuk pasangan yang memberikan jumlah indeks kontravarian dan kovarian.

Tensor bertipe (p, q) juga disebut sebagai tensor (p, q)-tensor. Kelemahan dari definisi tensor menggunakan pendekatan array multidimensi adalah tidak terlihat dari definisi bahwa objek yang didefinisikan adalah memang dasar independen, seperti yang diharapkan dari objek geometris intrinsik. Meskipun dimungkinkan untuk menunjukkan bahwa undang-undang transformasi memang menjamin independensi dari basis, terkadang definisi yang lebih intrinsik lebih disukai. Salah satu pendekatan yang umum dalam geometri diferensial adalah untuk mendefinisikan tensor relatif terhadap ruang vektor tetap (dimensi-hingga) V, yang biasanya dianggap sebagai ruang vektor tertentu dari beberapa signifikansi geometris seperti ruang tangen ke manifold. Dalam pendekatan ini, tensor tipe (p, q) T didefinisikan sebagai peta multilinier.

Pilihan basis yang berbeda akan menghasilkan komponen yang berbeda. Namun, karena T linear dalam semua argumennya, komponen memenuhi hukum transformasi tensor yang digunakan dalam definisi array multilinier. Array multidimensi komponen T dengan demikian membentuk tensor menurut definisi itu. Selain itu, larik seperti itu dapat diwujudkan sebagai komponen dari beberapa peta multilinier T. Hal ini memotivasi untuk melihat peta multilinier sebagai objek intrinsik yang mendasari tensor. Dalam melihat tensor sebagai peta multilinier, adalah konvensional untuk mengidentifikasi ganda ganda V∗∗ dari ruang vektor V, yaitu, ruang fungsi linier pada ruang vektor ganda V∗, dengan ruang vektor V.

Selalu ada peta linier alami dari V ke rangkap rangkapnya, diberikan dengan mengevaluasi bentuk linier dalam V∗ terhadap vektor di V. Pemetaan linier ini merupakan isomorfisme dalam dimensi hingga, dan seringkali berguna untuk mengidentifikasi V dengan rangkap gandanya. Pembahasan tensor sejauh ini mengasumsikan dimensi terbatas dari ruang yang terlibat, di mana ruang tensor yang diperoleh oleh masing-masing konstruksi ini secara alami isomorfik. Konstruksi ruang tensor berdasarkan produk tensor dan pemetaan multilinier dapat digeneralisasi, dasarnya tanpa modifikasi, untuk berkas vektor atau berkas berkas yang koheren.

Untuk ruang vektor berdimensi tak hingga, topologi yang tidak setara menyebabkan gagasan tensor yang tidak setara, dan berbagai isomorfisme ini mungkin atau mungkin tidak berlaku tergantung pada apa yang sebenarnya dimaksud dengan tensor (lihat produk tensor topologi). Dalam beberapa aplikasi, yang dimaksudkan adalah produk tensor ruang Hilbert, yang sifat-sifatnya paling mirip dengan kasus berdimensi-hingga. Pandangan yang lebih modern adalah bahwa struktur tensor sebagai kategori monoid simetris yang mengkodekan sifat terpentingnya, daripada model spesifik kategori tersebut.

Contoh

Baca Juga : Misteri Inti Fisika yang Hanya Dapat Dipecahkan oleh Matematika

Contoh dasar dari pemetaan yang dapat digambarkan sebagai tensor adalah produk titik, yang memetakan dua vektor ke skalar. Contoh yang lebih kompleks adalah tensor tegangan Cauchy T, yang mengambil vektor satuan arah v sebagai input dan memetakannya ke vektor tegangan T(v), yang merupakan gaya (per satuan luas) yang diberikan oleh material pada sisi negatif dari bidang ortogonal ke v terhadap bahan di sisi positif bidang, sehingga menyatakan hubungan antara dua vektor ini, ditunjukkan pada gambar (kanan).

Perkalian silang, di mana dua vektor dipetakan ke vektor ketiga, sebenarnya bukan tensor karena ia mengubah tandanya di bawah transformasi yang mengubah orientasi sistem koordinat. Simbol yang benar-benar anti-simetris {\displaystyle \varepsilon _{ijk}}{\displaystyle \varepsilon _{ijk}} memungkinkan penanganan yang mudah dari perkalian silang dalam sistem koordinat tiga dimensi yang berorientasi sama.

Tabel ini menunjukkan contoh penting tensor pada ruang vektor dan bidang tensor pada manifold. Tensor diklasifikasikan menurut jenisnya (n, m), di mana n adalah jumlah indeks kontravarian, m adalah jumlah indeks kovarian, dan n + m memberikan urutan total tensor. Misalnya, bentuk bilinear sama dengan tensor (0, 2); produk dalam adalah contoh dari (0, 2)-tensor, tetapi tidak semua (0, 2)-tensor adalah produk dalam. Dalam entri tabel (0, M), M menunjukkan dimensi ruang vektor atau manifold yang mendasarinya karena untuk setiap dimensi ruang, indeks terpisah diperlukan untuk memilih dimensi tersebut untuk mendapatkan tensor antisimetri kovarian maksimal.