Mengulas Linier Pemetaan Geser dan Pemetaan Pemerasan – Dalam geometri bidang, pemetaan geser adalah peta linier yang menggeser setiap titik ke arah yang tetap, dengan jumlah yang sebanding dengan jarak bertandanya dari garis yang sejajar dengan arah itu dan melalui titik asal. Jenis pemetaan ini disebut juga transformasi geser, transveksi, atau hanya geser. Pemetaan geser tidak harus bingung dengan rotasi.

Mengulas Linier Pemetaan Geser dan Pemetaan Pemerasan

transitionmathproject – Menerapkan peta geser ke sekumpulan titik bidang akan mengubah semua sudut di antara mereka (kecuali sudut lurus), dan panjang setiap ruas garis yang tidak sejajar dengan arah perpindahan. Oleh karena itu, biasanya akan mendistorsi bentuk bangun geometris, misalnya mengubah persegi menjadi jajar genjang non-persegi, dan lingkaran menjadi elips. Namun, sebuah geseran tetap mempertahankan luas bangun geometris dan kesejajaran dan jarak relatif dari titik-titik collinear.

Baca Juga : Mengulas Aljabar Linier Independen dan Linier Dasar

Pemetaan geser adalah perbedaan utama antara gaya huruf tegak dan miring (atau miring). Definisi yang sama digunakan dalam geometri tiga dimensi, kecuali bahwa jarak diukur dari bidang tetap. Transformasi geser tiga dimensi mempertahankan volume bangun datar, tetapi mengubah luas bangun datar (kecuali yang sejajar dengan perpindahan). Transformasi ini digunakan untuk menggambarkan aliran laminar fluida antara pelat, satu bergerak dalam bidang di atas dan sejajar dengan yang pertama.

transformasi Galilea

Dalam fisika, transformasi Galileo digunakan untuk mentransformasikan antara koordinat dua kerangka acuan yang hanya berbeda oleh gerak relatif konstan dalam konstruksi fisika Newton. Transformasi ini bersama dengan rotasi spasial dan translasi dalam ruang dan waktu membentuk kelompok Galilea yang tidak homogen (diasumsikan di bawah). Tanpa terjemahan dalam ruang dan waktu kelompok tersebut adalah kelompok Galilea yang homogen. Grup Galilea adalah grup gerakan relativitas Galilea yang bekerja pada empat dimensi ruang dan waktu, membentuk geometri Galilea. Ini adalah sudut pandang transformasi pasif.

Topik ini dimotivasi oleh deskripsinya tentang gerakan bola yang menggelinding menuruni lereng, di mana ia mengukur nilai numerik untuk percepatan gravitasi di dekat permukaan bumi. Meskipun transformasi dinamai Galileo, itu adalah waktu dan ruang absolut seperti yang dikandung oleh Isaac Newton yang memberikan domain definisi mereka. Intinya, transformasi Galilea mewujudkan gagasan intuitif penambahan dan pengurangan kecepatan sebagai vektor.

Notasi di bawah ini menjelaskan hubungan di bawah transformasi Galilean antara koordinat (x, y, z, t) dan (x′, y′, z′, t′) dari satu peristiwa arbitrer, yang diukur dalam dua sistem koordinat S dan S′, dalam gerak relatif seragam (kecepatan v) dalam arah x dan x′ yang sama, dengan asal spasialnya bertepatan pada waktu t = t′ = 0. Perhatikan bahwa persamaan terakhir berlaku untuk semua transformasi Galilea hingga penambahan konstanta , dan menyatakan asumsi waktu universal yang tidak bergantung pada gerakan relatif pengamat yang berbeda.

Pemetaan pemerasan

Dalam aljabar linier, pemetaan pemerasan adalah jenis peta linier yang mempertahankan daerah Euclidean dari daerah di bidang Cartesian, tetapi bukan pemetaan rotasi atau geser. Pemetaan pemerasan menetapkan tahap untuk pengembangan konsep logaritma. Masalah menemukan area yang dibatasi oleh hiperbola (seperti xy = 1) adalah salah satu kuadratur. Solusinya, ditemukan oleh Grégoire de Saint-Vincent dan Alphonse Antonio de Sarasa pada tahun 1647, membutuhkan fungsi logaritma natural, sebuah konsep baru.

Beberapa wawasan tentang logaritma datang melalui sektor hiperbolik yang diubah oleh pemetaan pemerasan sambil mempertahankan areanya. Luas sektor hiperbolik diambil sebagai ukuran sudut hiperbolik yang terkait dengan sektor tersebut. Konsep sudut hiperbolik cukup independen dari sudut melingkar biasa, tetapi berbagi properti invarian dengannya: sedangkan sudut melingkar invarian di bawah rotasi, sudut hiperbolik invarian di bawah pemetaan pemerasan. Kedua sudut melingkar dan hiperbolik menghasilkan ukuran invarian tetapi sehubungan dengan kelompok transformasi yang berbeda.

Fungsi hiperbolik, yang mengambil sudut hiperbolik sebagai argumen, menjalankan peran yang dimainkan fungsi melingkar dengan argumen sudut melingkar. Pada tahun 1688, jauh sebelum teori grup abstrak, pemetaan pemerasan dijelaskan oleh Euclid Speidell dalam istilah hari. : “Dari sebuah Persegi dan kumpulan Oblong yang tak terbatas pada Superficies, masing-masing Sama dengan bujur sangkar itu, bagaimana kurva yang harus memiliki sifat atau afeksi yang sama dari setiap Hiperbola yang tertulis di dalam Kerucut Siku Siku.” Jika r dan s adalah bilangan real positif, komposisi pemetaan pemerasannya adalah pemetaan pemerasan produk mereka.

Oleh karena itu, kumpulan pemetaan pemerasan membentuk grup satu parameter isomorfik ke grup perkalian bilangan real positif. Pandangan tambahan dari kelompok ini muncul dari pertimbangan sektor hiperbolik dan sudut hiperboliknya. Dari sudut pandang grup klasik, grup pemetaan pemerasan adalah SO+(1,1), komponen identitas dari grup ortogonal tak tentu dari matriks real 2×2 yang mempertahankan bentuk kuadrat u2 v2.

Fakta bahwa transformasi pemerasan area dan orientasi sesuai dengan masuknya subgrup SO SL – dalam hal ini SO(1,1) SL(2) – dari subgrup rotasi hiperbolik dalam grup linear khusus dari area pelestarian transformasi dan orientasi (bentuk volume). Dalam bahasa transformasi Möbius, transformasi pemerasan adalah elemen hiperbolik dalam klasifikasi elemen. Geometri ruangwaktu secara konvensional dikembangkan sebagai berikut: Pilih (0,0) untuk “di sini dan sekarang” dalam ruang-waktu.

Transformasi Lorentz

Dalam fisika, transformasi Lorentz adalah keluarga enam parameter transformasi linier dari kerangka koordinat dalam ruang-waktu ke kerangka lain yang bergerak dengan kecepatan konstan relatif terhadap kerangka sebelumnya. Transformasi terbalik masing-masing kemudian diparameterisasi oleh negatif dari kecepatan ini. Transformasi ini dinamai fisikawan Belanda Hendrik Lorentz. Kerangka acuan dapat dibagi menjadi dua kelompok: inersia (gerak relatif dengan kecepatan konstan) dan non-inersia (mempercepat, bergerak di jalur melengkung, gerak rotasi dengan kecepatan sudut konstan, dll.).

Istilah “Transformasi Lorentz” hanya mengacu pada transformasi antara kerangka inersia, biasanya dalam konteks relativitas khusus. Dalam setiap kerangka acuan, pengamat dapat menggunakan sistem koordinat lokal (biasanya koordinat Cartesian dalam konteks ini) untuk mengukur panjang, dan jam untuk mengukur interval waktu. Peristiwa adalah sesuatu yang terjadi pada suatu titik dalam ruang pada suatu waktu, atau lebih formalnya suatu titik dalam ruangwaktu. Transformasi tersebut menghubungkan koordinat ruang dan waktu dari suatu peristiwa yang diukur oleh seorang pengamat di setiap frame. Transformasi tersebut menggantikan transformasi Galilea dari fisika Newton, yang mengasumsikan ruang dan waktu absolut (lihat relativitas Galilea).

Transformasi Galilea adalah pendekatan yang baik hanya pada kecepatan relatif jauh lebih sedikit daripada kecepatan cahaya. Transformasi Lorentz memiliki sejumlah fitur tidak intuitif yang tidak muncul dalam transformasi Galilea. Misalnya, mereka mencerminkan fakta bahwa pengamat yang bergerak pada kecepatan yang berbeda dapat mengukur jarak yang berbeda, waktu yang berlalu, dan bahkan urutan kejadian yang berbeda, tetapi selalu sedemikian rupa sehingga kecepatan cahaya adalah sama di semua kerangka acuan inersia. Invarian kecepatan cahaya adalah salah satu postulat relativitas khusus.

Secara historis, transformasi adalah hasil dari upaya oleh Lorentz dan lain-lain untuk menjelaskan bagaimana kecepatan cahaya diamati tidak tergantung pada kerangka acuan, dan untuk memahami simetri hukum elektromagnetisme. Transformasi Lorentz sesuai dengan relativitas khusus Albert Einstein, tetapi diturunkan terlebih dahulu. Transformasi Lorentz merupakan transformasi linier. Ini mungkin termasuk rotasi ruang. transformasi Lorentz bebas rotasi disebut dorongan Lorentz.

Dalam ruang Minkowski—model matematis ruangwaktu dalam relativitas khusus—transformasi Lorentz mempertahankan interval ruangwaktu antara dua peristiwa apa pun. Properti ini adalah properti yang mendefinisikan transformasi Lorentz. Mereka hanya menggambarkan transformasi di mana peristiwa ruang-waktu di titik asal dibiarkan tetap. Mereka dapat dianggap sebagai rotasi hiperbolik ruang Minkowski. Kumpulan transformasi yang lebih umum yang juga mencakup terjemahan dikenal sebagai grup Poincaré.