Mengulas Matrix Triangular dan Matriks Tridiagonal – Matrix Tringular atau matrix segitiga merupakan matrix yang perlu di perhatikan dalam matematika. Transpos matriks segitiga atas adalah matriks segitiga bawah dan sebaliknya. Suatu matriks yang simetris dan segitiga adalah diagonal. Dalam nada yang sama, matriks yang keduanya normal (artinya A*A = AA*, di mana A* adalah transpos konjugat) dan segitiga juga diagonal. Determinan dan permanen dari matriks segitiga sama dengan produk entri diagonal, seperti yang dapat diperiksa dengan perhitungan langsung.

Mengulas Matrix Triangular dan Matriks Tridiagonal

Formulir khusus

transitionmathproject – Jika entri pada diagonal utama matriks segitiga (atas atau bawah) semuanya 1, matriks tersebut disebut segitiga (atas atau bawah). Nama lain yang digunakan untuk matriks ini adalah segitiga satuan (atas atau bawah), atau segitiga bernorma (atas atau bawah) yang sangat jarang. Namun, matriks segitiga satuan tidak sama dengan matriks satuan, dan matriks segitiga bernorma tidak ada hubungannya dengan pengertian norma matriks. Semua matriks satuan segitiga adalah unipoten.

Baca Juga : Mengulas Lebih Dalam Tentang Teorema Perron–Frobenius

Jika semua entri pada diagonal utama matriks segitiga (atas atau bawah) adalah 0, matriks tersebut disebut segitiga ketat (atas atau bawah). Semua matriks segitiga ketat adalah nihil. Matriks segitiga atom (atas atau bawah) adalah bentuk khusus dari matriks satuan segitiga, di mana semua elemen di luar diagonal adalah nol, kecuali entri dalam satu kolom. Matriks seperti ini juga disebut matriks Frobenius, matriks Gauss, atau matriks transformasi Gauss.

Aljabar matriks segitiga

Bersama-sama fakta ini berarti bahwa matriks segitiga atas membentuk subaljabar dari aljabar asosiatif matriks persegi untuk ukuran tertentu. Selain itu, ini juga menunjukkan bahwa matriks segitiga atas dapat dilihat sebagai subaljabar Lie dari aljabar Lie matriks persegi dengan ukuran tetap, di mana braket Lie diberikan oleh komutator ab ba. Aljabar Lie dari semua matriks segitiga atas adalah aljabar Lie yang dapat dipecahkan. Hal ini sering disebut sebagai subaljabar Borel dari aljabar Lie dari semua matriks persegi.

Semua hasil ini berlaku jika segitiga atas diganti dengan segitiga bawah seluruhnya. khususnya matriks segitiga bawah juga membentuk aljabar Lie. Namun, operasi pencampuran matriks segitiga atas dan bawah tidak secara umum menghasilkan matriks segitiga. Misalnya, jumlah matriks segitiga atas dan bawah dapat berupa matriks apa pun. produk dari segitiga bawah dengan matriks segitiga atas juga belum tentu segitiga. Himpunan matriks satuan segitiga membentuk grup Lie.

Faktanya, dengan teorema Engel, setiap aljabar Lie nilpoten berdimensi-hingga terkonjugasi ke subaljabar dari matriks segitiga atas, yaitu, aljabar Lie nilpoten berdimensi-hingga secara simultan dapat di triangularisasi atas. Aljabar matriks segitiga atas memiliki generalisasi alami dalam analisis fungsional yang menghasilkan aljabar sarang pada ruang Hilbert. Himpunan matriks segitiga terbalik dari jenis tertentu (atas atau bawah) membentuk grup, memang grup Lie, yang merupakan subgrup dari grup linier umum dari semua matriks yang dapat dibalik. Suatu matriks segitiga dapat dibalik dengan tepat ketika entri diagonalnya dapat dibalik (bukan nol).

Di atas bilangan real, grup ini terputus, memiliki komponen yang sesuai karena setiap entri diagonal adalah positif atau negatif. Aljabar Lie dari grup Lie dari matriks segitiga atas yang dapat dibalik adalah himpunan dari semua matriks segitiga atas, belum tentu dapat dibalik, dan merupakan aljabar Lie yang dapat dipecahkan. Matriks segitiga atas justru yang menstabilkan bendera standar. Yang dapat dibalik di antara mereka membentuk subgrup dari grup linier umum, yang subgrup konjugasinya adalah yang didefinisikan sebagai penstabil beberapa bendera lengkap (lainnya).

Subgrup ini adalah subgrup Borel. Kelompok matriks segitiga bawah yang dapat dibalik adalah subkelompok seperti itu, karena ini adalah penstabil bendera standar yang terkait dengan basis standar dalam urutan terbalik. Penstabil sebagian bendera diperoleh dengan melupakan beberapa bagian dari bendera standar dapat digambarkan sebagai himpunan matriks segitiga atas blok (tetapi elemennya tidak semua matriks segitiga). Subgrup ini disebut subgrup parabola. Grup dari matriks satuan segitiga atas 2×2 adalah isomorfik terhadap grup aditif medan skalar. dalam kasus bilangan kompleks itu sesuai dengan grup yang terbentuk dari transformasi parabola Möbius. matriks satuan segitiga atas 3×3 membentuk grup Heisenberg.

Matriks tridiagonal

Dalam aljabar linier, matriks tridiagonal adalah matriks pita yang memiliki elemen bukan nol pada diagonal utama, diagonal pertama di bawahnya, dan diagonal pertama di atas diagonal utama saja. Determinan matriks tridiagonal diberikan oleh kontinuan elemen-elemennya. Dalam aljabar linier, matriks Hessenberg adalah jenis khusus dari matriks persegi, salah satu yang “hampir” segitiga. Tepatnya, matriks Hessenberg atas memiliki nol entri di bawah subdiagonal pertama, dan matriks Hessenberg bawah memiliki nol entri di atas superdiagonal pertama. Mereka dinamai Karl Hessenberg.

Transformasi ortogonal dari matriks simetris (atau Hermitian) ke bentuk tridiagonal dapat dilakukan dengan algoritma Lanczos. Matriks tridiagonal adalah matriks yang merupakan matriks Hessenberg atas dan bawah. Secara khusus, matriks tridiagonal adalah jumlah langsung dari matriks p 1-kali-1 dan q 2-kali-2 sehingga p + q/2 = n — dimensi tridiagonal. Meskipun matriks tridiagonal umum belum tentu simetris atau Hermitian, banyak dari matriks yang muncul ketika menyelesaikan masalah aljabar linier memiliki salah satu sifat ini.

Selanjutnya, jika matriks tridiagonal real A memenuhi ak,k+1 ak+1,k > 0 untuk semua k, sehingga tanda-tanda entrinya simetris, maka matriks tersebut mirip dengan matriks Hermitian, dengan perubahan basis diagonal matriks. Oleh karena itu, nilai eigennya adalah nyata. Jika kita mengganti pertidaksamaan tegas dengan ak,k+1 ak+1,k 0, maka dengan kontinuitas, nilai eigennya masih dijamin real, tetapi matriksnya tidak perlu lagi mirip dengan matriks Hermitian.

Himpunan semua matriks tridiagonal n × n membentuk ruang vektor berdimensi 3n-2. Banyak algoritma aljabar linier memerlukan upaya komputasi yang jauh lebih sedikit ketika diterapkan pada matriks diagonal, dan peningkatan ini sering kali juga diterapkan pada matriks tridiagonal. Banyak algoritma aljabar linier membutuhkan upaya komputasi yang jauh lebih sedikit ketika diterapkan pada matriks segitiga, dan peningkatan ini sering kali juga diterapkan pada matriks Hessenberg. Jika kendala masalah aljabar linier tidak memungkinkan matriks umum mudah direduksi menjadi segitiga, reduksi ke bentuk Hessenberg seringkali merupakan hal terbaik berikutnya.

Faktanya, reduksi matriks apa pun ke bentuk Hessenberg dapat dicapai dalam sejumlah langkah yang terbatas (misalnya, melalui transformasi Householder dari transformasi kesamaan kesatuan). Reduksi berikutnya dari matriks Hessenberg menjadi matriks segitiga dapat dicapai melalui prosedur berulang, seperti faktorisasi QR yang digeser. Dalam algoritme nilai eigen, matriks Hessenberg dapat direduksi lebih lanjut menjadi matriks segitiga melalui Shifted QR-factorization yang dikombinasikan dengan langkah-langkah deflasi.

Baca Juga : Penjelasan Secara Mendalam Tentang Mekanika Kuantum

Mereduksi matriks umum menjadi matriks Hessenberg dan kemudian mereduksi lebih lanjut menjadi matriks segitiga, alih-alih secara langsung mereduksi matriks umum menjadi matriks segitiga, sering kali menghemat aritmatika yang terlibat dalam algoritma QR untuk masalah nilai eigen.

Pemrograman komputer

Transformasi yang mereduksi matriks umum ke bentuk Hessenberg akan mereduksi matriks Hermitian menjadi bentuk tridiagonal. Jadi, banyak algoritma nilai eigen, ketika diterapkan pada matriks Hermitian, mereduksi matriks masukan Hermitian ke bentuk tridiagonal (nyata simetris) sebagai langkah pertama. Matriks tridiagonal juga dapat disimpan lebih efisien daripada matriks umum dengan menggunakan skema penyimpanan khusus. Misalnya, paket LAPACK Fortran menyimpan matriks tridiagonal tak simetris berorde n dalam tiga larik satu dimensi, satu dengan panjang n berisi elemen diagonal, dan dua dengan panjang n 1 berisi elemen subdiagonal dan superdiagonal.