Mengulas Transformasi Affine Dalam Matematika – Dalam geometri Euclidean, Transformasi affine, atau Affinity (dari bahasa Latin, affinis, “terhubung dengan”), adalah Transformasi geometris yang mempertahankan garis dan paralelisme (tetapi tidak harus jarak dan Sudut). Lebih umum, Transformasi affine adalah automorfisme ruang affine (ruang Euclidean adalah ruang affine spesifik), yaitu, fungsi yang memetakan ruang affine ke dirinya sendiri sambil mempertahankan kedua dimensi dari setiap subruang affine (artinya ia mengirimkan poin ke titik, garis ke garis, bidang ke bidang, dan sebagainya) dan rasio panjang segmen garis sejajar.

Mengulas Transformasi Affine Dalam Matematika

transitionmathproject – Oleh karena itu, himpunan subruang affine paralel tetap paralel setelah Transformasi affine. Transformasi affine tidak selalu Mempertahankan Sudut antara garis atau jarak antar titik, meskipun itu Mempertahankan rasio jarak antara titik yang terletak pada garis lurus. Jika X adalah himpunan titik dari ruang affine, maka setiap Transformasi affine pada X dapat direpresentasikan sebagai komposisi dari Transformasi linier pada X dan translasi X. Tidak seperti Transformasi linier murni, Transformasi affine tidak perlu Mempertahankan asal dari ruang afin.

Baca Juga : Mengulas Tentang Aljabar Geometris

Jadi, setiap Transformasi linier adalah affine, tetapi tidak setiap Transformasi affine adalah linear. Contoh transformasi affine meliputi translasi, scaling, homothety, similarity, refleksi, rotasi, pemetaan geser, dan komposisinya dalam kombinasi dan urutan apa pun. Melihat ruang affine sebagai pelengkap hyperplane di tak terhingga dari ruang proyektif, Transformasi affine adalah Transformasi proyektif dari ruang proyektif yang meninggalkan hyperplane di invarian tak terhingga, terbatas pada pelengkap hyperplane itu. Generalisasi dari Transformasi affine adalah affine map (atau affine homomorphism atau affine mapping) antara dua ruang affine (berpotensi berbeda) pada bidang yang sama k.

Misalkan (X, V, k) dan (Z, W, k ) adalah dua ruang affine dengan X dan Z set titik dan V dan W masing-masing ruang vektor terkait di atas lapangan k. Sebuah peta f: X → Z adalah peta affine jika ada peta linier mf: V → W sedemikian rupa sehingga mf (x – y) = f (x) – f (y) untuk semua x, y dalam X. Misalkan (X, V, k) adalah ruang afin berdimensi setidaknya dua, dengan X himpunan titik dan V adalah ruang vektor terkait di atas bidang k. Transformasi semiafin f dari X adalah bijeksi X ke dirinya sendiri yang memenuhi: Jika S adalah subruang affine berdimensi d dari X, f (S) juga merupakan subruang affine berdimensi d dari X. Jika S dan T adalah subruang affine paralel dari X, maka f (S) || f(T). Kedua kondisi ini mengungkapkan secara tepat apa yang dimaksud dengan ungkapan bahwa “f mempertahankan paralelisme”.

Kondisi ini tidak independen karena yang kedua mengikuti dari yang pertama. Selanjutnya, jika bidang k memiliki setidaknya tiga elemen, kondisi pertama dapat disederhanakan menjadi: f adalah collineation, yaitu memetakan garis ke garis. Jika dimensi ruang affine (X, V, k) paling sedikit dua, maka Transformasi affine adalah Transformasi semiaffine f yang memenuhi syarat: Jika x y dan p q adalah titik-titik dari X sedemikian rupa sehingga ruas garis xy dan pq sejajar, maka Jika dimensi ruang affine adalah satu, yaitu ruang adalah garis affine, maka setiap permutasi X akan secara otomatis memenuhi syarat untuk menjadi Transformasi semiaffine.

Dengan definisi ruang affine, V bekerja pada X, sehingga, untuk setiap pasangan (x, v) di X × V ada titik y yang terkait di X. Kita dapat menyatakan tindakan ini dengan v → (x) = y . Di sini kita menggunakan konvensi bahwa v → = v adalah dua notasi yang dapat dipertukarkan untuk elemen V. Dengan menetapkan titik c dalam X, seseorang dapat mendefinisikan suatu fungsi mc: X → V dengan mc (x) = cx →. Untuk sembarang c, fungsi ini satu-satu, sehingga memiliki fungsi invers mc 1: V → X diberikan oleh mc 1 (v) = v → (c). Fungsi-fungsi ini dapat digunakan untuk mengubah X menjadi ruang vektor (terhadap titik c) dengan Mendefinisikan: Dengan definisi ruang affine, V bekerja pada X, sehingga, untuk setiap pasangan (x, v) di X × V ada asosiasi titik y di X. Kita dapat menyatakan tindakan ini dengan v → (x) = y.

Di sini kita menggunakan konvensi bahwa v → = v adalah dua notasi yang dapat dipertukarkan untuk elemen V. Dengan menetapkan titik c dalam X, seseorang dapat mendefinisikan suatu fungsi mc: X → V dengan mc (x) = cx →. Untuk sembarang c, fungsi ini adalah satu-satu, sehingga memiliki fungsi invers mc 1: V → X diberikan oleh mc 1 (v) = v → (c) Ruang vektor ini memiliki asal c dan secara formal perlu Dibedakan dari ruang affine X, tetapi praktik umum adalah menyatakannya dengan simbol yang sama dan menyebutkan bahwa itu adalah ruang vektor setelah asal ditentukan. Identifikasi ini memungkinkan titik untuk dilihat sebagai vektor dan sebaliknya. Maka L (c, ) adalah Transformasi affine dari X yang membiarkan titik c tetap. Ini adalah Transformasi linier dari X, dilihat sebagai ruang vektor dengan asal c. Artinya, Transformasi affine sembarang dari X adalah komposisi Transformasi linier X (dipandang sebagai ruang vektor) dan translasi X.

Representasi Transformasi affine ini sering dianggap sebagai definisi Transformasi affine (dengan pilihan asal menjadi implisit). Seperti yang ditunjukkan di atas, peta affine adalah komposisi dari dua fungsi: terjemahan dan peta linier. Aljabar vektor biasa menggunakan perkalian matriks untuk merepresentasikan peta linier, dan penjumlahan vektor untuk merepresentasikan translasi. Dengan menggunakan matriks augmented dan vektor augmented, dimungkinkan untuk merepresentasikan translasi dan peta linier menggunakan perkalian matriks tunggal. Perkalian matriks-vektor biasa selalu memetakan asal ke asal, dan karena itu tidak pernah bisa mewakili terjemahan, di mana asal harus dipetakan ke titik lain.

Dengan menambahkan koordinat tambahan “1” ke setiap vektor, seseorang pada dasarnya menganggap ruang yang akan dipetakan sebagai bagian dari ruang dengan dimensi tambahan. Dalam ruang tersebut, ruang asli menempati himpunan bagian yang koordinat tambahannya adalah 1. Jika ruang aslinya adalah Euclidean, ruang berdimensi lebih tinggi adalah ruang proyektif nyata. Keuntungan menggunakan koordinat homogen adalah bahwa seseorang dapat menggabungkan sejumlah Transformasi affine menjadi satu dengan mengalikan matriks masing-masing. Properti ini digunakan secara luas dalam grafik komputer, visi komputer dan Robotika.

Jika ada titik tetap, kita dapat menganggapnya sebagai titik asal, dan Transformasi affine direduksi menjadi Transformasi linier. Hal ini dapat mempermudah untuk mengklasifikasikan dan memahami Transformasi. Misalnya, menggambarkan Transformasi sebagai rotasi dengan sudut tertentu terhadap sumbu tertentu dapat memberikan gambaran yang lebih jelas tentang perilaku keseluruhan Transformasi daripada menggambarkannya sebagai kombinasi translasi dan rotasi.

Namun, ini tergantung pada aplikasi dan konteksnya. Kata “affine” sebagai istilah matematika didefinisikan dalam kaitannya dengan Garis Singgung Kurva dalam Introductio in analysin infinitorum karya Euler tahun 1748. Felix Klein mengaitkan istilah “Transformasi affine” dengan Möbius dan Gauss. Dalam aplikasinya untuk pemrosesan gambar digital, Transformasi affine analog dengan pencetakan pada selembar karet dan meregangkan tepi lembaran sejajar dengan bidang. Transformasi ini merelokasi piksel yang membutuhkan interpolasi intensitas untuk mendekati nilai piksel yang dipindahkan, interpolasi bicubic adalah standar untuk Transformasi gambar dalam aplikasi pemrosesan gambar.