Tahukah Kamu Tentang Seri Fourier Dalam Matematika ?, Yuk Kita Ulas Disini – Dalam matematika, seri Fourier adalah fungsi berkala yang terdiri dari sinusoid terkait harmonis, dikombinasikan dengan penjumlahan tertimbang. Dengan bobot yang sesuai, satu siklus (atau periode) penjumlahan dapat dibuat untuk memperkirakan fungsi sewenang-wenang dalam interval itu (atau seluruh fungsi jika terlalu berkala).

Tahukah Kamu Tentang Seri Fourier Dalam Matematika ?, Yuk Kita Ulas Disini

transitionmathproject – Dengan demikian, penjumlahan adalah sintesis dari fungsi lain. Transformasi Fourier yang diskrit-time adalah contoh seri Fourier. Proses menurunkan bobot yang menggambarkan fungsi tertentu adalah bentuk analisis Fourier.

Baca Juga : Sejarah Awal Ilmu Trigonometri Matematika

Untuk fungsi pada interval yang tidak terbatas, analisis dan analogi sintesis adalah transformasi Fourier dan transformasi terbalik.

Sejarah

Seri Fourier dinamai untuk menghormati Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768–1830), yang memberikan kontribusi penting dalam studi seri trigonometri, setelah penyelidikan awal oleh Leonhard Euler, Jean le Rond d’Alembert, dan Daniel Bernoulli.

Fourier memperkenalkan seri ini untuk tujuan memecahkan persamaan panas di pelat logam, menerbitkan hasil awalnya dalam propagasi memoire sur la 1807-nya de la chaleur dans les corps solides (Risalah tentang penyebaran panas dalam tubuh padat), dan menerbitkan anlik de la chaleur Theorie-nya (teori analitik panas) pada tahun 1822.

Memoire memperkenalkan analisis Fourier, khususnya seri Fourier. Melalui penelitian Fourier fakta ditetapkan bahwa fungsi sewenang-wenang (pada awalnya, berkelanjutan dan kemudian digeneralisasi ke fungsi halus-halus) dapat diwakili oleh seri trigonometri.

Pengumuman pertama penemuan besar ini dibuat oleh Fourier pada tahun 1807, sebelum Akademi Prancis. Ide-ide awal untuk membusukkan fungsi berkala ke dalam jumlah fungsi osilasi sederhana yang berasal dari abad ke-3 SM, ketika para astronom kuno mengusulkan model empirik gerakan planet, berdasarkan deferen dan epicycles.

Sebelum pekerjaan Fourier, tidak ada solusi untuk persamaan panas yang diketahui dalam kasus umum, meskipun solusi khusus diketahui jika sumber panas berperilaku dengan cara yang sederhana, khususnya, jika sumber panas adalah gelombang sinus atau kosinus.

Solusi sederhana ini sekarang kadang-kadang disebut eigensolutions. Ide Fourier adalah untuk memodelkan sumber panas yang rumit sebagai kombinasi superposisi (atau linear) dari gelombang sederhana, dan untuk menulis solusi sebagai superposisi eigensolutions yang sesuai. Kombinasi superposisi atau linear ini disebut seri Fourier.

Dari sudut pandang modern, hasil Fourier agak informal, karena kurangnya gagasan fungsi dan integral yang tepat pada awal abad kesembilan belas. Kemudian, Peter Gustav Lejeune Dirichlet dan Bernhard Riemann mengungkapkan hasil Fourier dengan presisi dan formalitas yang lebih besar.

Dalam matematika, analisis Fourier adalah studi tentang cara fungsi umum dapat diwakili atau disedot oleh jumlah fungsi trigonometri yang lebih sederhana.

Analisis fourier tumbuh dari studi seri Fourier, dan dinamai joseph Fourier, yang menunjukkan bahwa mewakili fungsi sebagai jumlah fungsi trigonometri sangat menyederhanakan studi perpindahan panas.

Saat ini, subjek analisis Fourier mencakup spektrum matematika yang luas. Dalam ilmu pengetahuan dan teknik, proses membusuk fungsi menjadi komponen osilatori sering disebut analisis Fourier, sementara operasi pembangunan kembali fungsi dari potongan-potongan ini dikenal sebagai sintesis Fourier.

Misalnya, menentukan frekuensi komponen apa yang ada dalam catatan musik akan melibatkan komputasi transformasi Fourier dari catatan musik sampel.

Seseorang kemudian dapat mensintesis ulang suara yang sama dengan memasukkan komponen frekuensi seperti yang terungkap dalam analisis Fourier. Dalam matematika, istilah Analisis Fourier sering mengacu pada studi kedua operasi.

Proses dekomposisi itu sendiri disebut transformasi Fourier. Outputnya, transformasi Fourier, sering diberi nama yang lebih spesifik, yang tergantung pada domain dan properti lain dari fungsi yang diubah.

Selain itu, konsep asli analisis Fourier telah diperpanjang dari waktu ke waktu untuk diterapkan pada situasi yang lebih abstrak dan umum, dan bidang umum sering dikenal sebagai analisis harmonik.

Setiap transformasi yang digunakan untuk analisis (lihat daftar transformasi terkait Fourier) memiliki transformasi terbalik yang sesuai yang dapat digunakan untuk sintesis.

Contoh

Contoh kemampuan seri Fourier yang kompleks untuk menggambar setiap dua gambar tertutup dimensi ditunjukkan dalam animasi yang berdekatan dari seri Fourier yang kompleks yang berkonvergensi ke gambar di bidang kompleks huruf ‘e’ (untuk eksponensial).

Animasi bergantian antara rotasi cepat untuk mengambil lebih sedikit waktu dan rotasi lambat untuk menunjukkan lebih banyak detail.

Ketentuan seri Fourier kompleks ditampilkan dalam dua lengan berputar: satu lengan adalah agregat dari semua istilah seri Fourier kompleks yang berputar ke arah positif (berlawanan arah jarum jam, menurut aturan tangan kanan), lengan lainnya adalah agregat dari semua istilah seri Fourier kompleks yang berputar ke arah negatif.

Istilah konstan yang tidak berputar sama sekali adalah pemisahan secara merata di antara kedua lengan. Lingkaran kecil animasi mewakili titik tengah antara tingkat kedua lengan, yang juga merupakan titik tengah antara asal dan perkiraan seri Fourier kompleks yang merupakan simbol ‘+’ dalam animasi.

Kode sumber GNU Octave untuk menghasilkan animasi ini ada di sini. Perhatikan bahwa animasi menggunakan variabel ‘t’ untuk meng parameter gambar di bidang yang kompleks, setara dengan penggunaan parameter ‘x’ dalam subbagian artikel ini pada fungsi bernilai kompleks.

Awal

Dalam beberapa baris ini, yang dekat dengan formalisme modern yang digunakan dalam seri Fourier, Fourier merevolusi matematika dan fisika. Meskipun seri trigonometri serupa sebelumnya digunakan oleh Euler, d’Alembert, Daniel Bernoulli dan Gauss, Fourier percaya bahwa seri trigonometri semacam itu dapat mewakili fungsi sewenang-wenang.

Dalam arti apa yang sebenarnya benar adalah masalah yang agak halus dan upaya selama bertahun-tahun untuk mengklarifikasi gagasan ini telah menyebabkan penemuan penting dalam teori konvergensi, ruang fungsi, dan analisis harmonis.

Ketika Fourier mengajukan esai kompetisi kemudian pada tahun 1811, komite (yang mencakup Lagrange, Laplace, Malus dan Legendre, antara lain) menyimpulkan: cara penulis tiba pada persamaan ini tidak dibebaskan dari kesulitan dan analisisnya untuk mengintegrasikan mereka masih meninggalkan sesuatu yang diinginkan pada skor umum dan bahkan kekakuan.

Kelahiran analisis harmonik

Sejak zaman Fourier, banyak pendekatan berbeda untuk mendefinisikan dan memahami konsep seri Fourier telah ditemukan, yang semuanya konsisten satu sama lain, tetapi masing-masing menekankan aspek yang berbeda dari topik. Fourier awalnya mendefinisikan seri Fourier untuk fungsi nyata dari argumen nyata, dan menggunakan fungsi sinus dan kosinus sebagai dasar yang ditetapkan untuk dekomposisi.

Banyak transformasi terkait Fourier lainnya sejak itu didefinisikan, memperluas ide awal ke aplikasi lain. Area umum penyelidikan ini sekarang kadang-kadang disebut analisis harmonik. Namun, seri Fourier hanya dapat digunakan untuk fungsi berkala, atau untuk fungsi pada interval batas (ringkas).

Baca Juga : Penjelasan Secara Mendalam Tentang Mekanika Kuantum

Grup yang ringkas

Salah satu sifat menarik dari transformasi Fourier yang telah kami sebutkan, adalah bahwa ia membawa konvolusi untuk produk pointwise. Jika itu adalah properti yang ingin kami lestarikan, seseorang dapat menghasilkan seri Fourier pada grup yang ringkas.

Contoh khas termasuk kelompok klasik yang kompak. Ini mengadaalkan transformasi Fourier ke semua ruang dari bentuk L2 (G), di mana G adalah kelompok yang kompak, sedemikian rupa sehingga transformasi Fourier membawa konvolusi ke produk pointwise. Seri Fourier ada dan bertemu dengan cara yang mirip dengan kasus.