Bentuk Normal Jordan di Aljabar Linier Dalam Matematika – Dalam aljabar linier, bentuk normal Jordan, juga dikenal sebagai bentuk kanonik Jordan atau JCF, adalah matriks segitiga atas dari bentuk tertentu yang disebut matriks Jordan yang mewakili operator linier pada ruang vektor berdimensi hingga dengan menghormati beberapa dasar. Matriks semacam itu memiliki setiap entri di luar diagonal non-nol sama dengan 1, tepat di atas diagonal utama (pada superdiagonal), dan dengan entri diagonal yang identik di sebelah kiri dan di bawahnya.

Bentuk Normal Jordan di Aljabar Linier Dalam Matematika

transitionmathproject – Misalkan V adalah ruang vektor di atas bidang K. Maka sebuah basis terhadap matriks yang memiliki bentuk yang diperlukan ada jika dan hanya jika semua nilai eigen matriks terletak pada K, atau secara ekuivalen jika polinomial karakteristik dari operator dipecah menjadi linier faktor-faktor di atas K. Kondisi ini selalu dipenuhi jika K tertutup secara aljabar (misalnya, jika itu adalah bidang bilangan kompleks). Entri diagonal dari bentuk normal adalah nilai eigen (dari operator), dan berapa kali setiap nilai eigen muncul disebut multiplisitas aljabar dari nilai eigen.

Baca Juga : Mengulas Aspek Aljabar Abstrak Dengan Metode Generalisasi

Jika operator awalnya diberikan oleh matriks bujur sangkar M, maka bentuk normal Jordan-nya juga disebut bentuk normal Jordan dari M. Setiap matriks bujur sangkar memiliki bentuk normal Jordan jika bidang koefisien diperluas ke satu yang berisi semua nilai eigen dari matriks. Terlepas dari namanya, bentuk normal untuk M yang diberikan tidak sepenuhnya unik, karena merupakan matriks diagonal blok yang dibentuk dari blok-blok Jordan, yang urutannya tidak tetap.

Itu konvensional untuk mengelompokkan blok untuk nilai eigen yang sama bersama-sama, tetapi tidak ada pemesanan yang dikenakan di antara nilai eigen, atau di antara blok untuk nilai eigen yang diberikan, meskipun yang terakhir dapat misalnya diurutkan dengan ukuran yang berkurang secara lemah. Dekomposisi Jordan-Chevalley sangat sederhana sehubungan dengan basis di mana operator mengambil bentuk normal Jordan-nya.

Bentuk diagonal untuk matriks yang dapat didiagonalisasi, misalnya matriks normal, adalah kasus khusus dari bentuk normal Jordan. Bentuk normal Jordan dinamai Camille Jordan, yang pertama kali menyatakan teorema dekomposisi Jordan pada tahun 1870.

Matriks kompleks

Secara umum, matriks kompleks persegi A mirip dengan matriks diagonal blok Jadi terdapat matriks yang dapat dibalikkan P sedemikian rupa sehingga P−1AP = J sedemikian rupa sehingga satu-satunya entri bukan-nol dari J berada pada diagonal dan superdiagonal. J disebut bentuk normal Jordan dari A. Setiap Ji disebut blok Jordan dari A. Dalam blok Jordan tertentu, setiap entri pada superdiagonal adalah 1.

Dengan asumsi hasil ini, kita dapat menyimpulkan sifat-sifat berikut: Menghitung perkalian, nilai eigen dari J, dan oleh karena itu dari A, adalah entri diagonal. Diberikan nilai eigen i, multiplisitas geometriknya adalah dimensi Ker(A i I), di mana I adalah matriks identitas, dan itu adalah jumlah blok Jordan yang sesuai dengan i. Jumlah ukuran semua blok Jordan yang sesuai dengan nilai eigen i adalah multiplisitas aljabarnya. A dapat didiagonalisasi jika dan hanya jika, untuk setiap nilai eigen dari A, kelipatan geometrik dan aljabarnya bertepatan.

Secara khusus, blok Jordan dalam hal ini adalah matriks 1 × 1. yaitu skalar. Blok Jordan yang sesuai dengan berbentuk λI + N, di mana N adalah matriks nilpoten yang didefinisikan sebagai Nij = i,j−1 (di mana adalah delta Kronecker). Nilpotensi N dapat dimanfaatkan saat menghitung f(A) di mana f adalah fungsi analitik yang kompleks. Misalnya, pada prinsipnya bentuk Jordan dapat memberikan ekspresi bentuk tertutup untuk eksponensial exp(A).

Vektor eigen umum

Diberikan nilai eigen , blok Jordan yang sesuai menimbulkan rantai Jordan. Generator, atau vektor timbal, katakanlah pr, dari rantai adalah vektor eigen yang digeneralisasi sedemikian rupa sehingga (A I)rpr = 0, di mana r adalah ukuran blok Jordan. Vektor p1 = (A I)r−1pr adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan . Secara umum, pi adalah preimage dari pi−1 di bawah A I. Jadi vektor timbal menghasilkan rantai melalui perkalian dengan (A I).

Oleh karena itu, pernyataan bahwa setiap matriks bujur sangkar A dapat dimasukkan ke dalam bentuk normal Jordan adalah ekuivalen dengan pernyataan bahwa terdapat basis yang hanya terdiri dari vektor eigen dan vektor eigen umum dari A. Kami memberikan bukti dengan induksi bahwa setiap matriks bernilai kompleks A dapat dimasukkan ke dalam bentuk normal Jordan. Kasus 1 × 1 sepele. Misalkan A adalah matriks n × n. Ambil sembarang nilai eigen dari A. Kisaran A λ I, dilambangkan dengan Ran(A λ I), adalah subruang invarian dari A.

Juga, karena adalah nilai eigen dari A, dimensi Ran(A − I), r, benar-benar kurang dari n. Misalkan A’ menyatakan pembatasan A ke Ran(A λ I), dengan hipotesis induktif, terdapat suatu basis {p1, …, pr} sedemikian sehingga A’ , yang dinyatakan sehubungan dengan basis ini, dalam bentuk normal Jordan. misalkan dimensi Q adalah s r. Setiap vektor di Q adalah vektor eigen dari A’ yang sesuai dengan nilai eigen.

Jadi bentuk Jordan dari A’ harus mengandung s rantai Jordan yang sesuai dengan s vektor eigen bebas linier. Jadi basis {p1, …, pr} harus mengandung s vektor, katakanlah {pr−s+1, …, pr}, yang merupakan vektor timbal dalam rantai Jordan ini dari bentuk normal Jordan dari A’. Kita dapat “memperpanjang rantai” dengan mengambil gambar awal dari vektor-vektor timbal ini.

Jelas tidak ada kombinasi linier non-trivial dari qi yang dapat terletak di Ker(A I). Selanjutnya, tidak ada kombinasi linier non-trivial qi yang dapat berada di Ran(A I), karena itu akan bertentangan dengan asumsi bahwa setiap pi adalah vektor utama dalam rantai Jordan. Himpunan {qi}, yang merupakan pragambar dari himpunan bebas linier {pi} di bawah A I, juga bebas linier.

Dengan konstruksi, gabungan tiga himpunan {p1, …, pr}, {qr−s +1, …, qr}, dan {z1, …, zt} bebas linier. Setiap vektor dalam serikat adalah salah satu vektor eigen atau vektor eigen umum dari A. Akhirnya, dengan teorema rank-nullity, kardinalitas serikat adalah n. Dengan kata lain, kami telah menemukan basis yang terdiri dari vektor eigen dan vektor eigen umum dari A, dan ini menunjukkan A dapat dimasukkan ke dalam bentuk normal Jordan. Dapat ditunjukkan bahwa bentuk normal Jordan dari matriks A yang diberikan adalah unik hingga orde blok-blok Jordan.

Mengetahui kelipatan aljabar dan geometri dari nilai eigen tidak cukup untuk menentukan bentuk normal Jordan dari A. Dengan asumsi multiplisitas aljabar m(λ) dari nilai eigen diketahui, struktur bentuk Jordan dapat dipastikan dengan menganalisis barisan dari pangkat (A I)m(λ). Untuk melihat ini, misalkan matriks A n × n hanya memiliki satu nilai eigen . Jadi m(λ) = n.adalah dua kali jumlah balok Jordan ukuran k1 ditambah jumlah balok Jordan ukuran k1−1.

Kasus umumnya serupa. Hal ini dapat digunakan untuk menunjukkan keunikan bentuk Jordan. Misalkan J1 dan J2 adalah dua bentuk normal Jordan dari A. Maka J1 dan J2 serupa dan memiliki spektrum yang sama, termasuk perkalian aljabar dari nilai eigen. Prosedur yang diuraikan dalam paragraf sebelumnya dapat digunakan untuk menentukan struktur matriks ini. Karena rank suatu matriks dipertahankan oleh transformasi kesamaan, terdapat bijeksi antara blok Jordan dari J1 dan J2. Hal ini membuktikan keunikan bagian dari pernyataan tersebut.