Dasar Matematika antara Teori dan Praktek – Saya mengusulkan dalam artikel ini untuk menangani teori himpunan, tidak hanya sebagai dasar matematika dalam pengertian tradisional, tetapi juga sebagai dasar dari praktik matematika.
Dasar Matematika antara Teori dan Praktek
Baca Juga : Bantu Anak Anda Mengembangkan Keterampilan Matematika Awal
transitionmathproject – Dari sudut pandang ini, saya menandai perbedaan antara landasan berbasis himpunan standar, yang bersifat ontologis, berkat objek matematika mana pun yang dapat menemukan pengganti berbasis himpunan, dan landasan praktis, yang bertujuan untuk menjelaskan fenomena matematika, dengan memberikan kondisi yang diperlukan dan cukup untuk membuktikan proposisi matematika. Saya menyajikan beberapa contoh penggunaan metode himpunan ini, dalam konteks teori matematika utama, dalam hal pembuktian independensi dan hasil ekuikonsistensi,H ( 1 ) dan H ( 2 ) . Kemudian, saya tunjukkan bahwa dasar teori himpunan matematika dapat berguna juga untuk filosofi praktik matematika, karena aksioma tertentu dari teori himpunan dapat dianggap sebagai penjelasan dari fenomena matematika. Di bagian terakhir artikel saya, saya mengusulkan perbedaan yang lebih umum antara dua jenis fondasi yang berbeda: praktis dan teoretis, dengan menggambar beberapa contoh dari sejarah fondasi matematika.
Aspek luar biasa dari pekerjaan matematika adalah kemungkinan untuk menciptakan interaksi yang berguna antara area yang tampaknya berbeda. Aspek ini, yang dapat kita sebut kesatuan matematika, merupakan aspek khas dari matematika modern. Alat dan gagasan yang terungkap berkat sudut pandang global ini begitu kuat sehingga memungkinkan untuk mengatasi peringatan Aristotelian tentang genus yang berbeda,misalnya antara geometri dan aritmatika.
Selain itu, kelahiran logika matematika modern dan kebutuhan untuk menyatukan perkembangan matematika yang sangat luas dan berbeda adalah di antara alasan yang memungkinkan dan mendorong program dasar awal abad terakhir. Namun demikian, sejarah menggagalkan upaya mendasar ini. Tidak hanya kontradiksi yang ditemukan, tetapi juga ketegangan yang mendalam dan tak terpecahkan antara sintaksis dan semantik: dua cabang penyelidikan matematika yang sangat baru. Kita dapat mengatakan bahwa semua program dasar tidak berhasil dalam arti mereka dikandung.
Namun pertanyaan dasar masih terbuka dan ada masalah matematika yang memiliki cita rasa dasar. Situasi ini membutuhkan penjelasan tentang apa itu yayasan dan bagaimana mungkin untuk mengusulkannya saat ini. Kami berpendapat bahwa di antara banyak alasan yang mendorong adanya landasan matematika, ada tujuan yang sama pada setiap landasan, yaitu membentuk bidang matematika. Dengan ini kami maksudkan bahwa setiap jenis dasar, jika tidak mendefinisikan, setidaknya membedakan antara pekerjaan matematika dan non-matematis dan, dalam beberapa cara, mencirikan praktik matematika, sebagai jenis tertentu dan mematuhi beberapa aturan khusus. Dalam pengertian inilah kita dapat menemukan perhatian untuk kesatuan matematika juga dalam konteks dasar dan kami percaya bahwa ini adalah aspek umum dari semua dasar matematika yang berbeda.
Dalam artikel ini kami mengusulkan untuk melihat teori himpunan tidak hanya sebagai dasar matematika dalam pengertian tradisional, tetapi sebagai dasar untuk praktik matematika. Untuk tujuan ini, kami membedakan antara landasan teori himpunan standar, ontologis, yang bertujuan untuk menemukan himpunan pengganti teoretis untuk setiap objek matematika, dan yang praktis yang mencoba menjelaskan fenomena matematika, memberikan kondisi yang diperlukan dan cukup untuk pembuktian proposisi matematika. Kami akan menyajikan beberapa contoh penggunaan metode teoretis himpunan ini, dalam konteks matematika arus utama, dalam hal pembuktian independensi, hasil ekukonsistensi. Kami juga akan membahas beberapa hasil terbaru yang menunjukkan bagaimana mungkin untuk menyelesaikan struktur Tangan H(ℵ2).
Selain itu, di bagian tengah artikel ini kami akan mengklaim bahwa landasan praktis matematika dapat dianggap relevan tidak hanya untuk praktik mengerjakan matematika, tetapi juga dari perspektif filosofis yang sebenarnya, menunjukkan pentingnya dalam konteks filosofi matematika. praktek. Tugas terakhir ini akan dilakukan dengan mempertimbangkan peran penjelas dari beberapa aksioma teoretis yang ditetapkan dan membahas akun Kitcher tentang materi penjelasan ilmiah. Pada akhirnya, kami akan mengusulkan perbedaan yang lebih umum antara dua jenis dasar yang berbeda: yang praktis dan yang teoretis, menggambar beberapa contoh dari sejarah dasar matematika.
Untuk menjelaskan konsep kesatuan ini, kita dapat melihat bagaimana hal itu diwujudkan dalam konteks dasar matematika yang paling umum: teori himpunan. Karakter teori himpunan ini selalu ditekankan oleh banyak orang. Kami menawarkan hanya satu kutipan untuk banyak, oleh Penelope Maddy:
Untuk semua itu, landasan teori himpunan masih memainkan peran pemersatu yang kuat: struktur samar dibuat lebih tepat, teorema lama diberikan bukti baru dan disatukan dengan teorema lain yang sebelumnya tampak sangat berbeda, hipotesis serupa ditelusuri pada dasar bidang matematika yang berbeda, pertanyaan eksistensi diberikan makna eksplisit, dugaan yang tidak dapat dibuktikan dapat diidentifikasi, hipotesis baru dapat menyelesaikan pertanyaan lama yang terbuka, dan seterusnya. Bahwa teori himpunan memainkan peran ini sangat penting bagi matematika modern, bahwa ia mampu memainkan peran ini mungkin merupakan hasil paling luar biasa dari pencarian fondasi. [Maddy 1997, 34-35]
Namun, alih-alih menggambarkan landasan teori himpunan yang hampir ‘standar’ yang mengikuti setiap entitas matematika yang dimaksudkan sebagai himpunan, kami mengusulkan untuk melihat teori himpunan sebagai sarana untuk memberikan landasan bagi praktik matematika. Memang, karakter universalitas bahasa teoretis himpunan yaitu, kemungkinan untuk memformalkan setiap bagian matematika di dalam teori himpunan dan untuk menemukan pengganti teori himpunan untuk objek matematika apa pun tidak memiliki apriorimakna ontologis apapun.
Teori himpunan tidak dimaksudkan di sini hanya sebagai ZFC, seperti yang sering terjadi ketika teori himpunan dipanggil untuk memperdebatkan landasan standar, tetapi sebagai metode umum yang menggunakan prinsip-prinsip teoretis himpunan untuk menganalisis praktik matematika. Sebagai bagian dari metode ini, kami juga menyertakan matematika terbalik dan semua asumsi teoretis himpunan yang berguna, kadang-kadang disebut aksioma, yang memperluas ZFC. Jelaslah istilah “teori” di sini adalah penyalahgunaan bahasa dari sudut pandang logis, karena, kita tidak memikirkan rangkaian kalimat yang konsisten, atau teori intuitif dengan interpretasi yang dimaksudkan. Apa yang kita pikirkan adalah metode umum yang digunakan secara luas dan terkadang diam-diam dalam praktik matematika.
Ada dua aspek dari sudut pandang teoretis himpunan ini yang kami usulkan untuk memodelkan fondasi matematika yang sesuai. Mereka menjelaskan di mana teori himpunan pengertian memenuhi persyaratan kesatuan matematika. Ide-ide ini dapat ditelusuri kembali ke karya-karya dasar Hilbert. Mereka mengikuti evolusi pemikiran Hilbert tentang isu-isu mendasar, milik dua periode yang berbeda, juga jauh secara kronologis. Oleh karena itu mereka tidak mencirikan sudut pandangnya tentang hal ini.
Yang pertama berkaitan dengan periode dasar Geometri Hilbert. Dalam benaknya, pertanyaan mengapa suatu teorema itu benar sama dengan masalah menjelaskan kemungkinan utama suatu pembuktian. Saya memahami di bawah eksplorasi aksiomatis dari kebenaran matematika [atau teorema] penyelidikan yang tidak bertujuan untuk menemukan teorema baru atau lebih umum yang terhubung dengan kebenaran ini, tetapi untuk menentukan posisi teorema ini dalam sistem kebenaran yang diketahui sedemikian rupa sedemikian rupa sehingga dapat dikatakan dengan jelas syarat-syarat mana yang perlu dan cukup untuk memberikan landasan kebenaran ini. [Hilbert 1902—1903, 50, miring saya]
Tentu saja, terlepas dari gagasan Hilbert, sejarah kemudian menunjukkan bahwa metamatematika dapat memunculkan hasil matematis yang benar-benar baru dan merupakan metode yang ampuh tidak hanya untuk menentukan sifat umum dari setting aksiomatik dari teori formal. Yang penting ditekankan di sini adalah bahwa sikap ini merupakan upaya untuk memberikan jawaban atas kemungkinan ‘mengapa pertanyaan’ yang dapat muncul dalam wacana matematika. Memang inilah yang diharapkan Hilbert untuk dilakukan dalam fondasi geometrinya. Dalam sebuah surat kepada Frege, tertanggal 29 Desember 1899 Hilbert menulis:
Saya ingin memungkinkan untuk memahami dan menjawab pertanyaan seperti mengapa jumlah sudut dalam segitiga sama dengan dua sudut siku-siku dan bagaimana fakta ini dihubungkan dengan aksioma paralel. [Prege 1980, 38—39, miring milikku]. Gagasan kedua yang ingin kami pulihkan dari Hilbert adalah keyakinan bahwa aksiomatisasi matematika yang baik harus menjadi katalog prinsip-prinsip yang kami gunakan dalam praktik matematika kami.
Ide mendasar dari teori pembuktian saya tidak lain adalah untuk menggambarkan aktivitas pemahaman kita, untuk membuat protokol aturan yang dengannya pemikiran kita benar-benar berjalan. [Hilbert 1927, 475], dalam [Van Heijenoort 1967]. Dalam program Hilbert, keyakinan ini terkait dengan harapan bahwa beberapa aksioma aritmatika dan logika mampu mengkarakterisasi setiap bagian matematika. Karena ini terbukti tidak mungkin, kami menerima saran ini agar kompatibel dengan daftar terbuka. Memang ide katalog prinsip ini dapat secara apriori melibatkan juga prinsip-prinsip yang tidak sesuai. Kami tidak mencari teorema kategorisitas yang memungkinkan untuk mendefinisikan tentang apa teori itu, tetapi sebuah teori yang dapat menjelaskan pekerjaan matematika kami, menunjukkan keseragaman metode dan argumennya, untuk menjelaskan kesatuannya.
Kami berpikir bahwa kedua ide ini juga dapat menjelaskan penjelasan fakta matematika, menguraikan kondisi utama pembuktiannya dan menunjukkan alasan untuk menerima kebenarannya. 3 Karena kita berurusan dengan konteks demonstratif, apa yang sering penting untuk mengatasi kesulitan argumen adalah aspek kombinatorial dari bukti, yang mengungkapkan bahan utama untuk solusi masalah. Inilah alasan mengapa banyak prinsip teoretis himpunan memiliki karakter kombinatorial, tetapi ini tidak menghalangi kita untuk mencantumkannya dalam katalog, selama prinsip-prinsip tersebut berkontribusi untuk menjelaskan kesatuan matematika—yaitu, prinsip-prinsip tersebut tidak ad hoc .dan mereka memiliki banyak dan aplikasi yang berbeda. Apa yang relevan dalam menunjukkan bahwa beberapa prinsip diperlukan dan/atau cukup adalah perannya dalam struktur argumentatif suatu teorema. Terkadang prinsip-prinsip ini berjalan seiring dengan pemahaman yang lebih umum tentang keseluruhan bidang.
Gagasan umum di balik konsepsi teori himpunan ini adalah bahwa ini adalah metode yang dapat diterapkan ke semua cabang matematika lainnya. Memang ini adalah bagaimana hal itu dikandung, setidaknya oleh Zermelo, pada tahun tiga puluhan. Sistem aksioma kami adalah non-kategoris, yang, dalam hal ini, bukanlah kerugian, tetapi keuntungan. Karena signifikansi yang sangat besar dan penerapan teori himpunan yang tidak terbatas justru bertumpu pada fakta ini. [Zermelo 2010, 427]
SEBUAH Alasan konseptual yang baik untuk berargumentasi mendukung teori himpunan sebagai landasan terbuka terletak pada fakta bahwa-seperti matematika, seperti yang akan kita bahas di bagian berikutnya-materi pokok teori himpunan tidak cukup jelas untuk segera mengkarakterisasi model dan mengisolasi aksiomanya. Ini adalah salah satu perhatian utama dalam penelitian kontemporer dalam teori himpunan, tetapi yang penting untuk ditekankan adalah perbedaan antara peran dasar teori himpunan dan penelitian yang mencoba untuk memilih satu model yang benar untuk ZFC, dari sekian banyak yang dapat kita lakukan memahami.
Ini bukan tugas yang mudah, karena jika kita memiliki intuisi yang baik, misalnya dalam kasus garis nyata, aspek patologis apa yang ingin kita hindari, seperti paradoks Banach—Tarski dan konsekuensi non-measurability dari beberapa set real, ini jauh lebih sulit segera setelah kita melanjutkan dalam hierarki transfinite. Jauh dari kelemahan, batas kabur inilah yang memungkinkan teori himpunan menjelaskan kesatuan matematika. Namun, aspek ketidakjelasan ini, umum untuk teori himpunan dan matematika, telah dikritik dan selalu menjadi bahan diskusi, dalam konteks dasar, di mana, tepatnya, untuk menarik garis pemisah antara matematika dan non-matematika.
Ada orang seperti Feferman dan Weaver yang ingin menempatkan mistar gawang jauh lebih rendah dari level ZFC. dalam konteks dasar, di mana, tepatnya, untuk menarik garis pemisah antara matematika dan non matematika. Ada orang seperti Feferman dan Weaver yang ingin menempatkan mistar gawang jauh lebih rendah dari level ZFC. dalam konteks dasar, di mana, tepatnya, untuk menarik garis pemisah antara matematika dan non matematika. Ada orang seperti Feferman dan Weaver yang ingin menempatkan mistar gawang jauh lebih rendah dari level ZFC.
Namun jika kita mencoba menjelaskan kesatuan matematika, dan oleh karena itu kita bekerja pada tingkat dasar, kita tidak dapat mengabaikan teori himpunan dengan mudah. Memang baik kita mendiskreditkan penelitian modern dalam teori himpunan sebagai matematika, atau kita harus mengusulkan kerangka kerja yang cukup luas, di mana dimungkinkan untuk menempatkannya. Dalam sebuah slogan: ada lebih banyak hal dalam penelitian matematika dan praktik matematika daripada yang diimpikan di ZFC. Apa yang kami usulkan di sini adalah untuk mempertimbangkan metode yang ditawarkan oleh teori himpunan sebagai kerangka kerja untuk matematika, yang sebagian tentu saja adalah teori himpunan.