transitionmathproject – Tanda sama dengan adalah landasan matematika. Tampaknya membuat pernyataan yang sepenuhnya mendasar dan tidak kontroversial: Hal-hal ini persis sama.
Dua Karya Monumental Telah Menyebabkan Banyak Matematikawan Menghindari Tanda Sama Dengan – Tetapi ada komunitas matematikawan yang berkembang yang menganggap tanda sama dengan kesalahan asli matematika. Mereka melihatnya sebagai lapisan yang menyembunyikan kompleksitas penting dalam cara kuantitas terkait kompleksitas yang dapat membuka solusi untuk sejumlah besar masalah. Mereka ingin merumuskan kembali matematika dalam bahasa kesetaraan yang lebih longgar.
Dua Karya Monumental Telah Menyebabkan Banyak Matematikawan Menghindari Tanda Sama Dengan
“Kami datang dengan gagasan kesetaraan ini,” kata Jonathan Campbell dari Duke University. “Seharusnya kesetaraan selama ini.”
Tokoh yang paling menonjol dalam komunitas ini adalah Jacob Lurie . Pada bulan Juli, Lurie, 41, meninggalkan jabatan tetapnya di Universitas Harvard untuk posisi fakultas di Institut Studi Lanjutan di Princeton, New Jersey, rumah bagi banyak matematikawan paling dihormati di dunia.
Ide-ide Lurie menyapu dalam skala yang jarang terlihat di bidang apa pun. Melalui buku-bukunya, yang mencakup ribuan halaman teknis yang padat, ia telah membangun cara yang sangat berbeda untuk memahami beberapa konsep paling penting dalam matematika dengan bergerak melampaui tanda sama dengan. “Saya hanya berpikir dia merasa ini adalah cara yang benar untuk berpikir tentang matematika,” kata Michael Hopkins , seorang ahli matematika di Harvard dan penasihat sekolah pascasarjana Lurie.
Lurie menerbitkan buku pertamanya, Higher Topos Theory , pada 2009. Volume setebal 944 halaman itu berfungsi sebagai panduan bagaimana menafsirkan bidang matematika yang sudah mapan dalam bahasa baru “kategori tak terhingga.” Pada tahun-tahun sejak itu, ide-ide Lurie telah berkembang menjadi berbagai disiplin matematika yang semakin luas. Banyak matematikawan memandangnya sebagai hal yang tak terpisahkan untuk masa depan bidang ini. “Tidak ada yang kembali setelah mereka mempelajari kategori tak terhingga,” kata John Francis dari Northwestern University.
Namun penyebaran kategori infinity juga telah mengungkapkan rasa sakit yang berkembang yang dialami bidang terhormat seperti matematika setiap kali mencoba menyerap ide baru yang besar, terutama ide yang menantang makna konsep yang paling penting. “Ada tingkat yang tepat dari konservatisme dalam komunitas matematika,” kata Clark Barwick dari University of Edinburgh. “Saya hanya tidak berpikir Anda dapat mengharapkan populasi matematikawan mana pun untuk menerima alat apa pun dari mana saja dengan sangat cepat tanpa memberi mereka alasan yang meyakinkan untuk memikirkannya.”
Meskipun banyak matematikawan telah menganut kategori tak terhingga, relatif sedikit yang membaca teks-teks Lurie yang panjang dan sangat abstrak secara keseluruhan. Akibatnya, beberapa pekerjaan yang didasarkan pada ide-idenya kurang teliti daripada yang biasa dilakukan dalam matematika.
“Saya pernah mendengar orang berkata, ‘Ada di Lurie di suatu tempat,’” kata Inna Zakharevich , ahli matematika di Cornell University. “Dan saya berkata, ‘Benarkah? Anda mereferensikan 8.000 halaman teks.’ Itu bukan referensi, itu banding ke otoritas. ”
Matematikawan masih bergulat dengan besarnya ide Lurie dan cara unik di mana mereka diperkenalkan. Mereka menyaring dan mengemas ulang presentasinya tentang kategori tak terhingga agar dapat diakses oleh lebih banyak matematikawan. Mereka melakukan, dalam arti tertentu, pekerjaan penting pemerintahan yang harus mengikuti setiap revolusi, menerjemahkan teks transformatif ke dalam hukum sehari-hari. Dengan melakukan itu, mereka sedang membangun masa depan matematika yang didirikan bukan pada kesetaraan, tetapi pada kesetaraan.
Menara Kesetaraan Tak Terbatas
Kesetaraan matematis mungkin tampaknya menjadi ide yang paling tidak kontroversial. Dua manik ditambah satu manik sama dengan tiga manik. Apa lagi yang bisa dikatakan tentang itu? Tetapi ide yang paling sederhana bisa menjadi yang paling berbahaya.
Baca Juga : Menelusuri Kehilangan Pembelajaran Matematika Siswa Selama Penutupan Sekolah Dalam Praktik
Sejak akhir abad ke-19, dasar matematika dibangun dari kumpulan benda-benda yang disebut himpunan. Teori himpunan menetapkan aturan, atau aksioma, untuk membangun dan memanipulasi himpunan ini. Salah satu aksioma ini, misalnya, mengatakan bahwa Anda dapat menambahkan himpunan dengan dua elemen ke himpunan dengan satu elemen untuk menghasilkan himpunan baru dengan tiga elemen: 2 + 1 = 3.
Pada tingkat formal, cara untuk menunjukkan bahwa dua besaran sama adalah dengan memasangkannya: Cocokkan satu manik di sisi kanan tanda sama dengan satu manik di sisi kiri. Amati bahwa setelah semua pemasangan selesai, tidak ada manik-manik yang tersisa.
Teori himpunan mengakui bahwa dua himpunan dengan tiga objek masing-masing berpasangan secara tepat, tetapi tidak mudah memahami semua cara berbeda untuk melakukan pasangan. Anda dapat memasangkan manik pertama di sebelah kanan dengan yang pertama di sebelah kiri, atau yang pertama di sebelah kanan dengan yang kedua di sebelah kiri, dan seterusnya (ada enam kemungkinan pasangan semuanya).
Mengatakan bahwa dua tambah satu sama dengan tiga dan membiarkannya begitu saja berarti mengabaikan semua cara berbeda di mana mereka sama. “Masalahnya, ada banyak cara untuk berpasangan,” kata Campbell. “Kami telah melupakan mereka ketika kami mengatakan sama.”
Di sinilah kesetaraan merayap masuk. Sementara kesetaraan adalah hubungan yang ketat baik dua hal itu sama atau tidak — kesetaraan datang dalam bentuk yang berbeda.
Ketika Anda dapat secara tepat mencocokkan setiap elemen dari satu set dengan elemen di set lainnya, itu adalah bentuk ekuivalensi yang kuat. Tetapi dalam bidang matematika yang disebut teori homotopi, misalnya, dua bentuk (atau ruang geometris) adalah setara jika Anda dapat meregangkan atau memadatkan satu ke yang lain tanpa memotong atau merobeknya.
Dari perspektif teori homotopi, piringan datar dan satu titik di ruang angkasa adalah setara — Anda dapat mengompres piringan sampai ke titik. Namun tidak mungkin untuk memasangkan titik di disk dengan titik di titik. Lagi pula, ada jumlah titik yang tak terbatas dalam disk, sedangkan titiknya hanya satu titik.
Sejak pertengahan abad ke-20, matematikawan telah mencoba mengembangkan alternatif untuk teori himpunan di mana akan lebih alami untuk melakukan matematika dalam hal kesetaraan. Pada tahun 1945, matematikawan Samuel Eilenberg dan Saunders Mac Lane memperkenalkan objek fundamental baru yang memiliki kesetaraan di dalamnya. Mereka menyebutnya kategori.
Kategori dapat diisi dengan apa saja yang Anda inginkan. Anda dapat memiliki kategori mamalia, yang akan mengumpulkan semua makhluk berbulu, berdarah panas, dan menyusui di dunia. Atau Anda dapat membuat kategori objek matematika: himpunan, ruang geometris, atau sistem bilangan.
Kategori adalah kumpulan dengan metadata tambahan: deskripsi tentang semua cara dua objek terkait satu sama lain, yang mencakup deskripsi semua cara dua objek setara. Anda juga dapat menganggap kategori sebagai objek geometris di mana setiap elemen dalam kategori diwakili oleh sebuah titik.
Bayangkan, misalnya, permukaan bola dunia. Setiap titik pada permukaan ini dapat mewakili jenis segitiga yang berbeda. Jalur antara titik-titik tersebut akan mengungkapkan hubungan kesetaraan antara objek. Dalam perspektif teori kategori, Anda lupa tentang cara eksplisit di mana salah satu objek dijelaskan dan fokus pada bagaimana sebuah objek terletak di antara semua objek lain dari jenisnya.
“Ada banyak hal yang kita anggap sebagai sesuatu padahal sebenarnya itu adalah hubungan antar benda,” kata Zakharevich. “Ungkapan ‘suamiku’, kami menganggapnya sebagai objek, tetapi Anda juga dapat menganggapnya sebagai hubungan dengan saya. Ada bagian tertentu dari dirinya yang ditentukan oleh hubungannya dengan saya.”
Versi kategori Eilenberg dan Mac Lane sangat cocok untuk melacak bentuk ekuivalensi yang kuat. Tetapi pada paruh kedua abad ke-20, matematikawan semakin mulai melakukan matematika dalam hal gagasan kesetaraan yang lebih lemah seperti homotopi.
“Seiring matematika menjadi lebih halus, tidak dapat dihindari bahwa kita memiliki perkembangan menuju gagasan kesamaan yang lebih halus ini,” kata Emily Riehl , seorang ahli matematika di Universitas Johns Hopkins. Dalam gagasan kesetaraan yang lebih halus ini, jumlah informasi tentang bagaimana dua objek terkait meningkat secara dramatis. Kategori dasar Eilenberg dan Mac Lane tidak dirancang untuk menanganinya.
Untuk melihat bagaimana jumlah informasi meningkat, pertama-tama ingat bola kita yang mewakili banyak segitiga. Dua segitiga adalah homotopy ekuivalen jika Anda dapat meregangkan atau mengubah bentuk satu menjadi yang lain. Dua titik di permukaan adalah homotopy ekuivalen jika ada jalur yang menghubungkan satu dengan yang lain. Dengan mempelajari jalur homotopi antara titik-titik di permukaan, Anda benar-benar mempelajari berbagai cara di mana segitiga yang diwakili oleh titik-titik itu terkait.
Tetapi tidak cukup untuk mengatakan bahwa dua titik dihubungkan oleh banyak jalur yang sama. Anda perlu memikirkan kesetaraan di antara semua jalur itu juga. Jadi, selain menanyakan apakah dua titik ekuivalen, Anda sekarang menanyakan apakah dua jalur yang dimulai dan diakhiri pada pasangan titik yang sama adalah ekuivalen apakah ada jalur di antara jalur tersebut. Jalur antara jalur ini mengambil bentuk disk yang batasnya adalah dua jalur.
Anda dapat terus berjalan dari sana. Dua cakram setara jika ada jalur di antara keduanya — dan jalur itu akan berbentuk objek tiga dimensi. Objek tiga dimensi itu sendiri mungkin dihubungkan oleh jalur empat dimensi (jalur antara dua objek selalu memiliki satu dimensi lebih banyak daripada objek itu sendiri).
Pada akhirnya, Anda akan membangun menara kesetaraan yang tak terbatas antara kesetaraan. Dengan mempertimbangkan seluruh bangunan, Anda menghasilkan perspektif penuh pada objek apa pun yang telah Anda pilih untuk direpresentasikan sebagai titik pada bola itu.
“Ini hanya sebuah bola, tetapi ternyata, untuk memahami bentuk bola, Anda harus pergi ke tak terhingga dalam arti tertentu,” kata David Ben-Zvi dari University of Texas, Austin.
Dalam dekade terakhir abad ke-20, banyak matematikawan bekerja pada teori “kategori tak terhingga” – sesuatu yang akan melacak menara tak terbatas kesetaraan antara kesetaraan. Beberapa membuat kemajuan substansial. Hanya satu yang berhasil sampai ke sana.
Menulis Ulang Matematika
Makalah pertama Jacob Lurie tentang teori kategori tak terhingga tidak menguntungkan. Pada tanggal 5 Juni 2003, pria berusia 25 tahun itu memposting dokumen setebal 60 halaman berjudul “ On Infinity Topoi ” ke situs pracetak ilmiah arxiv.org. Di sana, ia mulai membuat sketsa aturan yang dengannya matematikawan dapat bekerja dengan kategori tak terhingga.
Makalah pertama ini tidak diterima dengan baik secara universal. Segera setelah membacanya, Peter May , seorang ahli matematika di University of Chicago, mengirim email kepada penasihat Lurie, Michael Hopkins, untuk mengatakan bahwa makalah Lurie memiliki beberapa ide yang menarik, tetapi itu terasa awal dan membutuhkan lebih banyak ketelitian.
“Saya menjelaskan reservasi kami kepada Mike, dan Mike menyampaikan pesan itu kepada Jacob,” kata May.
Apakah Lurie menganggap email May sebagai tantangan atau apakah dia sudah memikirkan langkah selanjutnya selama ini tidak jelas. (Lurie menolak beberapa permintaan untuk diwawancarai untuk cerita ini.) Yang jelas, setelah menerima kritik, Lurie memasuki periode produktivitas bertahun-tahun yang telah menjadi legendaris.
“Saya tidak berada di dalam otak Jacob, saya tidak bisa mengatakan dengan tepat apa yang dia pikirkan saat itu,” kata May. “Tapi tentu saja ada perbedaan besar antara draf yang kami reaksikan dan versi final, yang semuanya berada pada bidang matematika yang lebih tinggi.”
Pada tahun 2006 Lurie merilis draf Teori Topos Tinggi di arxiv.org. Dalam karya raksasa ini, ia menciptakan mesin yang diperlukan untuk menggantikan teori himpunan dengan dasar matematika baru, yang didasarkan pada kategori tak terhingga. “Dia menciptakan ribuan halaman dari mesin dasar yang sekarang kita semua gunakan,” kata Charles Rezk , ahli matematika di University of Illinois, Urbana-Champaign, yang melakukan pekerjaan awal yang penting pada kategori tak terhingga. “Saya tidak bisa membayangkan menghasilkan Teori Topos Tinggi , yang dia hasilkan dalam dua atau tiga tahun, dalam seumur hidup.”
Kemudian pada tahun 2011, Lurie menindaklanjutinya dengan pekerjaan yang lebih panjang lagi. Di dalamnya, ia menemukan kembali aljabar.
Aljabar menyediakan seperangkat aturan formal yang indah untuk memanipulasi persamaan. Matematikawan menggunakan aturan ini sepanjang waktu untuk membuktikan teorema baru. Tetapi aljabar melakukan senamnya di atas batang-batang tetap dengan tanda sama. Jika Anda menghapus batang tersebut dan menggantinya dengan konsep ekuivalensi yang lebih tipis, beberapa operasi menjadi jauh lebih sulit.
Ambil salah satu aturan pertama yang dipelajari anak-anak aljabar di sekolah: sifat asosiatif, yang menyatakan bahwa jumlah atau hasil kali tiga bilangan atau lebih tidak bergantung pada bagaimana bilangan itu dikelompokkan: 2 × (3 × 4) = (2 × 3) × 4.
Membuktikan bahwa properti asosiatif berlaku untuk daftar tiga angka atau lebih mudah dilakukan saat Anda bekerja dengan kesetaraan. Ini rumit ketika Anda bekerja dengan gagasan kesetaraan yang kuat. Ketika Anda beralih ke gagasan kesetaraan yang lebih halus, dengan menara jalur tak terbatas di antara jalur, bahkan aturan sederhana seperti properti asosiatif berubah menjadi semak belukar.