Geometri Proyektif Termasuk Geometri Non-metrik Intrinsik – Geometri proyektif kurang restriktif daripada geometri Euclidean atau geometri affine. Ini adalah geometri non-metrik intrinsik, yang berarti bahwa fakta tidak tergantung pada struktur metrik apa pun. Di bawah transformasi proyektif, struktur kejadian dan hubungan konjugat harmonik proyektif dipertahankan.

Geometri Proyektif Termasuk Geometri Non-metrik Intrinsik

transitionmathproject – Rentang proyektif adalah fondasi satu dimensi. Geometri proyektif memformalkan salah satu prinsip utama seni perspektif: bahwa garis-garis paralel bertemu di tak terhingga, dan karena itu digambar seperti itu. Intinya, geometri proyektif dapat dianggap sebagai perluasan dari geometri Euclidean di mana “arah” setiap garis dimasukkan dalam garis sebagai “titik” tambahan, dan di mana “cakrawala” arah yang sesuai dengan garis coplanar dianggap sebagai “garis”. Dengan demikian, dua garis sejajar bertemu pada garis horizon karena menggabungkan arah yang sama.

Baca Juga : Mengulas Pemahaman Geometri Proyektif

Arah ideal disebut sebagai titik tak terhingga, sedangkan cakrawala ideal disebut sebagai garis tak terhingga. Pada gilirannya, semua garis ini terletak pada bidang di tak terhingga. Namun, infinity adalah konsep metrik, jadi geometri proyektif murni tidak memilih titik, garis, atau bidang apa pun dalam hal ini—mereka yang berada di infinity diperlakukan sama seperti yang lainnya.

Karena geometri Euclidean terkandung dalam geometri proyektif — dengan geometri proyektif yang memiliki fondasi yang lebih sederhana — hasil umum dalam geometri Euclidean dapat diturunkan dengan cara yang lebih transparan, di mana teorema geometri Euclidean yang terpisah tetapi serupa dapat ditangani secara kolektif dalam kerangka proyektif. geometri. Misalnya, garis paralel dan nonparalel tidak perlu diperlakukan sebagai kasus terpisah; melainkan sebuah bidang proyektif arbitrer dipilih sebagai bidang ideal dan terletak “di tak terhingga” menggunakan koordinat homogen.

Sifat tambahan yang sangat penting termasuk Teorema Desargues dan Teorema Pappus. Dalam ruang proyektif berdimensi 3 atau lebih besar terdapat konstruksi yang memungkinkan seseorang untuk membuktikan Teorema Desargues. Tetapi untuk dimensi 2, harus dipostulasikan secara terpisah.

Menggunakan Teorema Desargues, dikombinasikan dengan aksioma lainnya, dimungkinkan untuk mendefinisikan operasi dasar aritmatika, secara geometris. Operasi yang dihasilkan memenuhi aksioma bidang — kecuali bahwa komutatifitas perkalian membutuhkan teorema segi enam Pappus. Akibatnya, titik-titik setiap garis berada dalam korespondensi satu-satu dengan bidang tertentu, F, ditambah dengan elemen tambahan, , sehingga r = , = , r + = , r / 0 = , r / = 0, − r = r − = , kecuali 0 / 0, ∞ / , + , , 0 dan 0 tetap tidak terdefinisi .

Geometri proyektif juga mencakup teori lengkap bagian kerucut, subjek yang juga dikembangkan secara ekstensif dalam geometri Euclidean. Ada keuntungan untuk dapat memikirkan hiperbola dan elips yang hanya dibedakan dengan cara hiperbola melintasi garis di tak terhingga; dan bahwa parabola hanya dibedakan dengan bersinggungan dengan garis yang sama. Seluruh keluarga lingkaran dapat dianggap sebagai kerucut yang melewati dua titik tertentu pada garis tak terhingga — dengan biaya yang memerlukan koordinat kompleks.

Karena koordinat tidak “sintetis”, seseorang menggantinya dengan menetapkan garis dan dua titik di atasnya, dan mempertimbangkan sistem linier semua kerucut yang melewati titik-titik itu sebagai objek studi dasar. Metode ini terbukti sangat menarik bagi ahli geometri berbakat, dan topik ini dipelajari secara menyeluruh. Contoh dari metode ini adalah risalah multi-volume oleh H. F. Baker.

Ada banyak geometri proyektif, yang dapat dibagi menjadi diskrit dan kontinu: geometri diskrit terdiri dari sekumpulan titik, yang jumlahnya mungkin atau mungkin tidak berhingga, sedangkan geometri kontinu memiliki banyak titik tanpa batas di antaranya. Satu-satunya geometri proyektif dimensi 0 adalah satu titik. Geometri proyektif dimensi 1 terdiri dari satu garis yang mengandung setidaknya 3 titik. Konstruksi geometris dari operasi aritmatika tidak dapat dilakukan dalam kedua kasus ini. Untuk dimensi 2, terdapat struktur yang kaya karena tidak adanya Teorema Desargues.

Istilah “geometri proyeksi” kadang-kadang digunakan untuk menunjukkan geometri abstrak umum yang mendasarinya, dan kadang-kadang untuk menunjukkan geometri tertentu yang menarik, seperti geometri metrik ruang datar yang kami analisis melalui penggunaan koordinat homogen, dan di mana Euclidean geometri dapat disematkan (karenanya namanya, bidang Euclidean yang Diperluas).

Sifat dasar yang membedakan semua geometri proyeksi adalah sifat kejadian elips bahwa setiap dua garis berbeda L dan M pada bidang proyeksi berpotongan tepat pada satu titik P. Kasus khusus dalam geometri analitik garis paralel dimasukkan dalam bentuk yang lebih halus dari a garis di tak terhingga di mana P terletak. Garis di tak terhingga dengan demikian garis seperti yang lain dalam teori: itu sama sekali tidak istimewa atau dibedakan. (Dalam semangat program Erlangen selanjutnya, seseorang dapat menunjukkan cara grup transformasi dapat memindahkan garis apa pun ke garis tanpa batas).

Sifat paralel dari geometri eliptik adalah ide kunci yang mengarah pada prinsip dualitas proyektif, mungkin sifat terpenting yang dimiliki oleh semua geometri proyektif. Pada tahun 1825, Joseph Gergonne mencatat prinsip dualitas yang mencirikan geometri bidang proyektif: diberikan teorema atau definisi apa pun dari geometri itu, menggantikan titik untuk garis, terletak pada untuk melewati, collinear untuk konkuren, persimpangan untuk bergabung, atau sebaliknya, menghasilkan yang lain teorema atau definisi yang valid, “ganda” yang pertama.

Demikian pula dalam 3 dimensi, hubungan dualitas berlaku antara titik dan bidang, memungkinkan teorema apa pun untuk ditransformasikan dengan menukar titik dan bidang, dikandung oleh dan berisi. Lebih umum, untuk ruang proyektif berdimensi N, terdapat dualitas antara subruang berdimensi R dan berdimensi N−R−1. Untuk N = 2, ini mengkhususkan diri pada bentuk dualitas yang paling umum dikenal—yaitu antara titik dan garis. Prinsip dualitas juga ditemukan secara independen oleh Jean-Victor Poncelet.

Baca Juga : Teori Relativitas Einstein Tentang Kosmos

Untuk menetapkan dualitas hanya memerlukan penetapan teorema yang merupakan versi ganda dari aksioma untuk dimensi yang bersangkutan. Jadi, untuk ruang 3 dimensi, perlu ditunjukkan bahwa (1*) setiap titik terletak pada 3 bidang berbeda, (2*) setiap dua bidang berpotongan pada garis unik dan versi ganda (3*) sebagai berikut: jika perpotongan bidang P dan Q sebidang dengan perpotongan bidang R dan S, maka perpotongan bidang P dan R, Q dan S juga demikian (dengan asumsi bidang P dan S berbeda dari Q dan R).

Dalam praktiknya, prinsip dualitas memungkinkan kita untuk mengatur korespondensi ganda antara dua konstruksi geometris. Yang paling terkenal adalah polaritas atau timbal balik dari dua sosok dalam kurva kerucut (dalam 2 dimensi) atau permukaan kuadrat (dalam 3 dimensi). Contoh umum ditemukan dalam kebalikan dari polihedron simetris dalam bola konsentris untuk mendapatkan polihedron ganda. Contoh lain adalah teorema Brianchon, dual dari teorema Pascal yang telah disebutkan, dan salah satu buktinya hanya terdiri dari penerapan prinsip dualitas pada Pascal.