transitionmathproject

Batas dan Infinitesimals

Kalau Kamu Suka Dengan Matematika, Harus Tau Dong Apa Itu Prinsip Kalkulus – Kalkulus biasanya dikembangkan dengan jumlah sedikit. Secara historis, metode pertama melakukannya adalah dengan infinitesimals. Ini adalah objek seperti angka riil tetapi yang dalam arti tertentu, “sangat kecil”. Misalnya, angka tak terbatas bisa lebih besar dari 0, tetapi kurang dari angka apa pun dalam urutan 1, 1/2, 1/3, … dan dengan demikian kurang dari angka riil positif. Simbol {displaystyle dx}dx dan {displaystyle dy}dy diambil menjadi infinitesimal, dan turunan {displaystyle dy/dx}dy/dx hanyalah rasio mereka.

Kalau Kamu Suka Dengan Matematika, Harus Tau Dong Apa Itu Prinsip Kalkulus

transitionmathproject – Pendekatan tak terbatas jatuh tidak menguntungkan karena sulit untuk membuat gagasan yang tepat tak terbatas. Namun, konsep ini dihidupkan kembali pada abad ke-20 dengan pengenalan analisis non-standar dan analisis tak terbatas yang halus, yang memberikan fondasi yang kuat untuk manipulasi infinitesimals.

Pada akhir abad ke-19, infinitesimals digantikan dalam akademisi oleh epsilon, pendekatan delta untuk batas. Batas menjelaskan nilai fungsi pada input tertentu dalam hal nilainya pada input terdekat. Mereka menangkap perilaku skala kecil dalam konteks sistem angka riil. Dalam perawatan ini, kalkulus adalah kumpulan teknik untuk memanipulasi batas tertentu. Infinitesimals digantikan oleh angka yang sangat kecil, dan perilaku fungsi yang sangat kecil ditemukan dengan mengambil perilaku pembatasan untuk angka yang lebih kecil dan lebih kecil. Batas dianggap memberikan fondasi yang lebih ketat untuk kalkulus, dan untuk alasan ini mereka menjadi pendekatan standar selama abad kedua puluh.

Baca Juga : Kesamaan Dan Perbedaan Dalam Pelajaran Combinatorics

Kalkulus Diferensial

Kalkulus diferensial adalah studi definisi, sifat, dan aplikasi turunan dari sebuah fungsi. Proses menemukan turunan disebut diferensiasi. Mengingat fungsi dan titik dalam domain, turunan pada saat itu adalah cara pengkodean perilaku skala kecil fungsi di dekat titik itu. Dengan menemukan turunan dari fungsi di setiap titik di domainnya, dimungkinkan untuk menghasilkan fungsi baru, yang disebut fungsi turunan atau hanya turunan dari fungsi asli. Secara formal, turunannya adalah operator linear yang mengambil fungsi sebagai input dan menghasilkan fungsi kedua sebagai output-nya. Ini lebih abstrak daripada banyak proses yang dipelajari dalam aljabar dasar, di mana fungsi biasanya memasukkan angka dan menghasilkan angka lain. Misalnya, jika fungsi penggandaan diberikan input tiga, maka outputnya enam, dan jika fungsi squaring diberikan input tiga, maka menghasilkan sembilan. Derivatif, bagaimanapun, dapat mengambil fungsi squaring sebagai input. Ini berarti bahwa turunan mengambil semua informasi dari fungsi squaring — seperti bahwa dua dikirim ke empat, tiga dikirim ke sembilan, empat dikirim ke enam belas, dan sebagainya – dan menggunakan informasi ini untuk menghasilkan fungsi lain. Fungsi yang dihasilkan dengan menurunkan fungsi squaring ternyata fungsi penggandaan.

Garis tangen pada (x, f(x)). Turunan f′(x) dari kurva pada titik adalah kemiringan (rise over run) dari garis yang bersinggungan dengan kurva itu pada titik itu.

Dalam istilah yang lebih eksplisit, “fungsi penggandaan” dapat ditandai dengan g(x) = 2x dan “fungsi squaring” oleh f(x) = x2. “Turunan” sekarang mengambil fungsi f(x), didefinisikan oleh ekspresi “x2”, sebagai input, itu semua informasi —seperti dua dikirim ke empat, tiga dikirim ke sembilan, empat dikirim ke enam belas, dan sebagainya — dan menggunakan informasi ini untuk menghasilkan fungsi lain, fungsi g(x) = 2x, seperti yang akan berubah.

Simbol yang paling umum untuk turunan adalah tanda mirip apostrof yang disebut prima. Dengan demikian, turunan dari fungsi yang disebut f ditandai dengan f′, diucapkan “f prime”. Misalnya, jika f(x) = x2 adalah fungsi squaring, maka f′(x) = 2x adalah turunannya (fungsi penggandaan g dari atas). Notasi ini dikenal sebagai notasi Lagrange.

Jika input fungsi mewakili perubahan sehubungan dengan waktu. Misalnya, jika f adalah fungsi yang membutuhkan waktu sebagai input dan memberikan posisi bola pada saat itu sebagai output, turunan f adalah bagaimana posisi berubah pada waktunya, yaitu kecepatan bola.

Derivatif memberikan arti yang tepat untuk gagasan perubahan output sehubungan dengan perubahan input. Untuk menjadi konkret, biarkan f menjadi fungsi, dan perbaiki titik a dalam domain f. (a, f(a)) adalah titik pada grafik fungsi. Jika h adalah angka yang mendekati nol, maka + h adalah angka yang dekat dengan a. Oleh karena itu, (a + h, f(a + h)) dekat dengan (a, f(a)).

Ekspresi ini disebut quotient perbedaan. Garis melalui dua titik pada kurva disebut garis secant, jadi m adalah kemiringan garis sekan antara (a, f(a)) dan (a + h, f(a + h)). Garis sekan hanya perkiraan perilaku fungsi pada titik a karena tidak memperhitungkan apa yang terjadi antara a dan a + jam. Tidak mungkin untuk menemukan perilaku pada saat pengaturan h ke nol karena ini akan membutuhkan membagi dengan nol, yang tidak terdefinisi.

Notasi Leibniz

Dalam pendekatan berdasarkan batas, simbol Dy/Dx ditafsirkan bukan sebagai quotient dari dua angka tetapi sebagai singkatan dari batas yang dihitung di atas. Leibniz, bagaimanapun, memang bermaksud untuk mewakili quotient dari dua angka kecil tak terbatas, dy menjadi perubahan kecil tak terbatas di y yang disebabkan oleh dx perubahan kecil tak terbatas yang diterapkan pada x. Kita juga bisa memikirkan D/Dx sebagai operator diferensiasi, yang mengambil fungsi sebagai input dan memberikan fungsi lain, turunannya, sebagai output.

Turunan f′(x) dari kurva pada titik adalah kemiringan garis yang bersinggungan dengan kurva itu pada titik itu. Kemiringan ini ditentukan dengan mempertimbangkan nilai pembatas lereng garis sekan. Di sini fungsi yang terlibat (digambar dalam warna merah) adalah f(x) = x3 − x. Garis singgung (berwarna hijau) yang melewati titik (−3/2, −15/8) memiliki kemiringan 23/4. Perhatikan bahwa skala vertikal dan horizontal dalam gambar ini berbeda.

Kalkulus Integral

(Penggunaan huruf kecil dan atas ini untuk fungsi dan integralnya yang tidak terbatas adalah umum dalam kalkulus.) Input integral yang pasti merupakan fungsi dan menghasilkan angka, yang memberikan jumlah area aljabar antara grafik input dan sumbu x. Definisi teknis dari integral yang pasti melibatkan batas jumlah area persegi panjang, yang disebut Riemann sum.

Misalnya, bepergian stabil 50 mph selama 3 jam menghasilkan jarak total 150 mil. Dalam diagram di sebelah kiri, ketika kecepatan dan waktu konstan diuraikan, kedua nilai ini membentuk persegi panjang dengan tinggi sama dengan kecepatan dan lebar sama dengan waktu yang berlalu. Oleh karena itu, produk kecepatan dan waktu juga menghitung area persegi panjang di bawah kurva kecepatan (konstan).

Meorema Dasar

Theorema dasar kalkulus menyatakan bahwa diferensiasi dan integrasi adalah operasi terbalik. Lebih tepatnya, ini berkaitan dengan nilai-nilai antiderivatif dengan integral yang pasti. Karena biasanya lebih mudah untuk menghitung antiderivatif daripada menerapkan definisi integral yang pasti,orema dasar kalkulus memberikan cara praktis komputasi integral yang pasti. Ini juga dapat diartikan sebagai pernyataan yang tepat tentang fakta bahwa diferensiasi adalah inversi integrasi.

Baca Juga : Inilah Beberapa Cara Praktis Menulis Esai Tanpa Ribet

Realisasi ini, yang dibuat oleh Newton dan Leibniz, yang berdasarkan hasil mereka pada pekerjaan sebelumnya oleh Isaac Barrow, adalah kunci untuk menjamurnya hasil analitik setelah pekerjaan mereka diketahui. Teorema dasar menyediakan metode aljabar untuk menghitung banyak integral yang pasti — tanpa melakukan proses batas — dengan menemukan rumus untuk antiderivatif. Ini juga merupakan solusi prototipe dari persamaan diferensial. Persamaan diferensial menghubungkan fungsi yang tidak diketahui dengan turunannya, dan ada di mana-mana dalam ilmu pengetahuan.