Kalkulus, Studi Matematika Tentang Perubahan Terus Menerus – Kalkulus , awalnya disebut kalkulus infinitesimal atau “kalkulus dari infinitesimals “, Ini adalah studi matematika tentang perubahan terus menerus, seperti geometri adalah studi tentang bentuk, dan aljabar adalah studi umum operasi aritmatika.
Kalkulus, Studi Matematika Tentang Perubahan Terus Menerus
transitionmathproject – Ini memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral ; yang pertama menyangkut tingkat perubahan sesaat, dan kemiringan kurva, sedangkan kalkulus integral menyangkut akumulasi jumlah, dan area di bawah atau di antara kurva. Kedua cabang terkait satu sama lain dengan teorema dasar kalkulus , dan mereka memanfaatkan mendasar tentang konvergensi dari urutan yang tak terbatas dan seri terbatas untuk didefinisikan dengan baik batas.
Baca Juga : Teori Informasi Algoritma Dalam Matematika
Kalkulus tak terhingga dikembangkan secara independen pada akhir abad ke-17 oleh Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz. Saat ini, kalkulus telah digunakan secara luas dalam sains , teknik , dan ekonomi. Dalam pendidikan matematika , kalkulus menunjukkan kursus analisis matematika dasar , yang terutama dikhususkan untuk mempelajari fungsi dan batas.
Kata kalkulus (jamak calculi ) adalah kata Latin , yang aslinya berarti “kerikil kecil” (arti ini disimpan dalam pengobatan – lihat Kalkulus (pengobatan) ). Karena kerikil tersebut digunakan untuk menghitung (atau mengukur) jarak yang ditempuh oleh alat transportasi yang digunakan di Roma kuno, arti kata tersebut telah berkembang dan hari ini biasanya berarti metode perhitungan. Oleh karena itu, digunakan untuk menyebut metode perhitungan tertentu dan teori terkait, seperti: kalkulus proposisional, kalkulus Rich, kalkulus variasional, kalkulus lambda dan kalkulus proses.
Sejarah
Kalkulus modern dikembangkan di Eropa abad ke-17 oleh Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz (secara independen satu sama lain, pertama kali diterbitkan sekitar waktu yang sama) tetapi unsur-unsurnya muncul di Yunani kuno, kemudian di Cina dan Timur Tengah, dan masih lagi nanti. di Eropa abad pertengahan dan di India.
Periode kuno memperkenalkan beberapa ide yang mengarah ke kalkulus integral , tetapi tampaknya tidak mengembangkan ide-ide ini dengan cara yang ketat dan sistematis. Perhitungan volume dan luas , salah satu tujuan dari kalkulus integral, dapat ditemukan di papirus Moskow Mesir ( dinasti ke-13 , c. 1820 SM); tetapi rumusnya adalah instruksi sederhana, tanpa indikasi metode, dan beberapa di antaranya tidak memiliki komponen utama.
Sejak zaman matematika Yunani , Eudoxus ( c. 408–355 SM) menggunakan metode kelelahan , yang menggambarkan konsep limit, untuk menghitung luas dan volume, sementara Archimedes ( c. 287–212 SM) mengembangkan gagasan ini lebih lanjut , menciptakan heuristik yang menyerupai metode kalkulus integra.
Metode kelelahan kemudian ditemukan secara mandiri di Cina oleh Liu Hui pada abad ke-3 M untuk menemukan luas lingkaran. Pada abad ke-5 M, Zu Gengzhi , putra Zu Chongzhi , menetapkan metode yang kemudian disebut prinsip Cavalieri untuk menemukan volume bola .
Pertengahan
Di Timur Tengah, Hasan Ibn al-Haytham, yang dilatinkan sebagai Alhazen ( kr. 965 – kr. 1040 M) menurunkan formula untuk penjumlahan pangkat empat . Dia menggunakan hasilnya untuk melakukan apa yang sekarang disebut integrasi fungsi ini, di mana rumus untuk jumlah kuadrat integral dan pangkat empat memungkinkannya menghitung volume paraboloid.
India
Pada abad ke-14, matematikawan India memberikan metode non-ketat, menyerupai diferensiasi, berlaku untuk beberapa fungsi trigonometri. Madhava dari Sangamagrama dan Sekolah Astronomi dan Matematika Kerala dengan demikian menyatakan komponen kalkulus. Sebuah teori lengkap yang mencakup komponen-komponen ini sekarang dikenal di dunia Barat sebagai deret Taylor atau aproksimasi deret tak hingga. Namun, mereka tidak dapat “menggabungkan banyak ide yang berbeda di bawah dua tema pemersatu turunan dan integral , menunjukkan hubungan antara keduanya, dan mengubah kalkulus menjadi alat pemecahan masalah hebat yang kita miliki saat ini”.
Modern
Karya Johannes Kepler Stereometrica Doliorum membentuk dasar kalkulus integral. Kepler mengembangkan metode “jumlah jari-jari” untuk menghitung luas elips. Sebuah karya penting adalah sebuah risalah, asalnya adalah metode Kepler, yang ditulis oleh Bonaventura Cavalieri , yang berpendapat bahwa volume dan luas harus dihitung sebagai jumlah volume dan luas penampang yang sangat tipis.
Ide-idenya mirip dengan Archimedes dalam The Method , tetapi risalah ini diyakini telah hilang pada abad ke-13, dan baru ditemukan kembali pada awal abad ke-20, dan karenanya tidak diketahui oleh Cavalieri. Karya Cavalieri tidak dihormati karena metodenya dapat menyebabkan hasil yang salah, dan jumlah yang sangat kecil yang dia perkenalkan pada awalnya tidak dapat dipercaya.
Studi formal kalkulus menyatukan infinitesimal Cavalieri dengan kalkulus perbedaan hingga yang dikembangkan di Eropa pada waktu yang hampir bersamaan. Pierre de Fermat , mengklaim bahwa ia meminjam dari Diophantus , memperkenalkan konsep adequality , yang mewakili kesetaraan hingga istilah kesalahan yang sangat kecil. Kombinasi ini dicapai oleh John Wallis , Isaac Barrow , dan James Gregory , dua yang terakhir membuktikan teorema dasar kedua kalkulus sekitar tahun 1670.
aturan produk dan rantai aturan, pengertian derivatif yang lebih tinggi dan seri Taylor, dan dari analisis fungsi digunakan oleh Isaac Newton dalam notasi istimewa yang ia diterapkan untuk memecahkan masalah matematika fisika. Dalam karya-karyanya, Newton merumuskan kembali ide-idenya agar sesuai dengan idiom matematika saat itu, menggantikan perhitungan dengan infinitesimals dengan argumen geometris yang setara yang dianggap tidak dapat dicela.
Dia menggunakan metode kalkulus untuk memecahkan masalah gerakan planet, bentuk permukaan fluida yang berputar, kegembungan bumi, gerakan berat yang meluncur pada cycloid , dan banyak masalah lain yang dibahas dalam karyanya Principia Mathematica ( 1687). Dalam karya lain, ia mengembangkan ekspansi deret untuk fungsi, termasuk pangkat pecahan dan irasional, dan jelas bahwa ia memahami prinsip deret Taylor . Dia tidak mempublikasikan semua temuan ini, dan saat ini metode yang sangat kecil masih dianggap buruk.
Ide-ide ini disusun menjadi kalkulus sebenarnya dari infinitesimals oleh Gottfried Wilhelm Leibniz , yang awalnya dituduh plagiarisme oleh Newton. Dia sekarang dianggap sebagai penemu independen dan kontributor kalkulus. Kontribusinya adalah untuk menyediakan seperangkat aturan yang jelas untuk bekerja dengan jumlah yang sangat kecil, memungkinkan perhitungan turunan kedua dan lebih tinggi, dan menyediakan aturan produk dan aturan rantai , dalam bentuk diferensial dan integralnya. Tidak seperti Newton, Leibniz menaruh banyak perhatian pada formalisme, sering menghabiskan waktu berhari-hari untuk menentukan simbol yang sesuai untuk konsep.
Hari ini, Leibniz dan Newton biasanya sama-sama diberi pujian karena menemukan dan mengembangkan kalkulus secara independen. Newton adalah orang pertama yang menerapkan kalkulus pada fisika umum dan Leibniz mengembangkan banyak notasi yang digunakan dalam kalkulus saat ini. Wawasan dasar yang diberikan Newton dan Leibniz adalah hukum diferensiasi dan integrasi, turunan kedua dan lebih tinggi, dan gagasan deret polinomial aproksimasi. Pada zaman Newton, teorema dasar kalkulus telah diketahui.
Ketika Newton dan Leibniz pertama kali mempublikasikan hasil mereka, ada kontroversi besar mengenai matematikawan mana (dan karena itu negara mana) yang pantas mendapat pujian. Newton memperoleh hasilnya terlebih dahulu (kemudian diterbitkan dalam Method of Fluxions ), tetapi Leibniz menerbitkan ” Nova Methodus pro Maximis et Minimis ” terlebih dahulu. Newton mengklaim Leibniz mencuri ide dari catatannya yang tidak diterbitkan, yang telah dibagikan Newton dengan beberapa anggota Royal Society.
Baca Juga : Teori Homologi Dalam Matematika
Kontroversi ini membagi matematikawan berbahasa Inggris dari matematikawan Eropa kontinental selama bertahun-tahun, hingga merugikan matematika Inggris. Pemeriksaan cermat terhadap makalah Leibniz dan Newton menunjukkan bahwa mereka sampai pada hasil mereka secara independen, dengan Leibniz memulai pertama dengan integrasi dan Newton dengan diferensiasi. Leibniz, bagaimanapun, yang memberi nama disiplin baru itu. Newton menyebut kalkulusnya sebagai ” ilmu fluksi “.
Sejak zaman Leibniz dan Newton, banyak matematikawan telah berkontribusi pada pengembangan kalkulus yang berkelanjutan. Salah satu karya pertama dan terlengkap pada kedua infinitesimal dan integral kalkulus ditulis pada 1748 oleh Maria Gaetana Agnesi.