transitionmathproject

Kesamaan Dan Perbedaan Dalam Pelajaran Combinatorics – Menurut Leon Mirsky, “combinatorics adalah berbagai studi terkait yang memiliki kesamaan dan namun menyimpang secara luas dalam tujuan mereka, metode mereka, dan tingkat koherensi yang telah mereka capai.” Salah satu cara untuk mendefinisikan combinatorics adalah, dengan menggambarkan subdivisinya dengan masalah dan teknik mereka. Ini adalah pendekatan yang digunakan. Namun, ada juga murni alasan historis untuk memasukkan. Meskipun terutama berkaitan dengan sistem terbatas, beberapa pertanyaan dan teknik gabungan dapat diperluas ke pengaturan yang tak terbatas (khususnya, dapat dihitung) tetapi diskrit.

Kesamaan Dan Perbedaan Dalam Pelajaran Combinatorics

transitionmathproject – Banyak pertanyaan combinatorial secara historis bisa menjadi bahan pertimbangan sendiri, walaupun akan ada timbul beberapa pertanyaan lain akan tetapi hal ini bisa menjadi acuan tersendiri. Namun, pada abad kedua puluh kemudian, metode teoritis yang kuat dan umum dikembangkan, membuat gabungan menjadi cabang matematika independen dengan haknya sendiri. Salah satu bagian tertua dan paling mudah diakses dari combinatorics adalah teori grafik, yang dengan sendirinya memiliki banyak koneksi alami ke area lain. Combinatorics sering digunakan dalam ilmu komputer untuk mendapatkan rumus dan perkiraan dalam analisis algoritma.

Baca Juga : Sejarah Dan Asal Dari Pengetahuan Matematika Kalkulus

Sejarah

Konsep gabungan dasar dan hasil enumeratif muncul di seluruh dunia kuno. Pada abad ke-6 SM, dokter India kuno Sushruta menegaskan di Sushruta Samhita bahwa 63 kombinasi dapat dibuat dari 6 selera yang berbeda, diambil satu per satu, dua sekaligus, dll., sehingga menghitung semua 26 − 1 kemungkinan. Sejarawan Yunani Plutarch membahas argumen antara Chrysippus (abad ke-3 SM) dan Hipparchus (abad ke-2 SM) dari masalah enumeratif yang agak halus, yang kemudian terbukti terkait dengan angka Schröder-Hipparchus. Sebelumnya, dalam Ostomachion, Archimedes (abad ke-3 SM) mungkin telah mempertimbangkan jumlah konfigurasi teka-teki ubin, sementara kepentingan gabungan mungkin hadir dalam karya-karya yang hilang oleh Apollonius.

Pada Abad Pertengahan, gabungan terus dipelajari, sebagian besar di luar peradaban Eropa. Matematikawan India Mahāvīra (sekitar 850) menyediakan formula untuk jumlah permutasi dan kombinasi, dan rumus ini mungkin telah akrab bagi matematikawan India pada awal abad ke-6 Masehi. Filsuf dan astronom Rabbi Abraham bin Ezra (s. 1140) mendirikan simetri koefisien binomial, sementara formula tertutup diperoleh kemudian oleh ahli talmud dan matematikawan Levi ben Gerson (lebih dikenal sebagai Gersonides), pada tahun 1321. Segitiga aritmatika—diagram grafis yang menunjukkan hubungan di antara koefisien binomial—disajikan oleh ahli matematika dalam perjanjian yang berasal dari abad ke-10, dan akhirnya akan dikenal sebagai segitiga Pascal. Kemudian, di Abad Pertengahan Inggris, campanologi memberikan contoh tentang apa yang sekarang dikenal sebagai siklus Hamilton dalam grafik Cayley tertentu tentang permutasi.

Selama Renaissance, bersama dengan sisa matematika dan ilmu pengetahuan, combinatorics menikmati kelahiran kembali. Karya Pascal, Newton, Jacob Bernoulli dan Euler menjadi dasar di bidang yang muncul. Di zaman modern, karya-karya J.J. Sylvester (akhir abad ke-19) dan Percy MacMahon (awal abad ke-20) membantu meletakkan fondasi untuk gabungan enumeratif dan aljabar. Teori grafik juga menikmati ledakan minat pada saat yang sama, terutama sehubungan dengan empat masalah warna.

Pada paruh kedua abad ke-20, para combinatorik menikmati pertumbuhan yang cepat, yang menyebabkan pembentukan puluhan jurnal dan konferensi baru dalam subjek. Sebagian, pertumbuhannya didorong oleh koneksi dan aplikasi baru ke bidang lain, mulai dari aljabar hingga probabilitas, dari analisis fungsional hingga teori angka, dll. Koneksi ini menumpahkan batas-batas antara combinatorik dan bagian matematika dan ilmu komputer teoritis, tetapi pada saat yang sama menyebabkan fragmentasi parsial lapangan.

Bidang matematika combinatorics dipelajari untuk berbagai derajat di berbagai masyarakat kuno. Studinya di Eropa berawal dari karya Leonardo Fibonacci pada abad ke-13 Masebek, yang memperkenalkan ide-ide Arab dan India ke benua tersebut. Ini terus dipelajari di era modern.

Penggunaan teknik combinatorial yang tercatat paling awal berasal dari masalah 79 papirus Rhind, yang berasal dari abad ke-16 SM. Masalahnya menyangkut seri geometris tertentu, dan memiliki kesamaan dengan masalah Fibonacci menghitung jumlah komposisi 1 dan 2 yang menjumlahkan ke total tertentu.

Di Yunani, Plutarch menulis bahwa Xenocrates of Chalcedon (396–314 SM) menemukan jumlah suku kata yang berbeda mungkin dalam bahasa Yunani. Ini akan menjadi upaya pertama pada catatan untuk memecahkan masalah yang sulit dalam permutasi dan kombinasi. Klaim itu, bagaimanapun, tidak masuk akal: ini adalah salah satu dari sedikit penyebutan combinatorik di Yunani, dan jumlah yang mereka temukan, 1,002 × 10 12, tampaknya terlalu bulat untuk menjadi lebih dari tebakan.

Kemudian, argumen antara Chrysippus (abad ke-3 SM) dan Hipparchus (abad ke-2 SM) dari masalah enumeratif yang agak halus, yang kemudian terbukti terkait dengan angka Schröder-Hipparchus, disebutkan. Ada juga bukti bahwa dalam Ostomachion, Archimedes (abad ke-3 SM) mempertimbangkan konfigurasi teka-teki ubin, sementara beberapa kepentingan gabungan mungkin telah hadir dalam karya Apollonius yang hilang.

Di India, Sutra Bhagavati memiliki penyebutan pertama tentang masalah gabungan; masalahnya ditanya berapa banyak kemungkinan kombinasi selera yang mungkin dari memilih selera dalam satu, dua, tiga, dll dari pilihan enam selera yang berbeda (manis, menyengat, astringen, asam, garam, dan pahit). Bhagavati juga merupakan teks pertama yang menyebutkan fungsi pilih. Pada abad kedua SM, Pingala memasukkan masalah enumerasi dalam Sutra Chanda (juga Chandahsutra) yang menanyakan berapa banyak cara meter suku kata enam dapat dibuat dari catatan pendek dan panjang. Pingala menemukan jumlah meter yang memiliki catatan panjang n dan catatan pendek k; ini setara dengan menemukan koefisien binomial.

Gagasan-gagasan tentang Bhagavati dimumbralkan oleh matematikawan India Mahavira pada tahun 850 AD, dan karya Pingala tentang prosody diperluas oleh Bhāskara II dan Hemacandra pada tahun 1100 AD. Bhaskara adalah orang pertama yang dikenal untuk menemukan fungsi pilihan umum, meskipun Brahmagupta mungkin telah dikenal sebelumnya. Hemacandra bertanya berapa meter yang ada dengan panjang tertentu jika catatan panjang dianggap dua kali lebih lama dari catatan singkat, yang setara dengan menemukan angka Fibonacci.

Buku ramalan kuno Cina I Ching menggambarkan heksagram sebagai permutasi dengan pengulangan enam baris di mana setiap baris dapat menjadi salah satu dari dua negara bagian: padat atau putus-putus. Dalam menggambarkan heksagram dengan cara ini mereka menentukan bahwa ada kemungkinan heksagram. Seorang biksu Cina juga mungkin telah menghitung jumlah konfigurasi untuk game yang mirip dengan Go sekitar 700 AD. Meskipun Cina memiliki kemajuan yang relatif sedikit dalam gabungan enumeratif, sekitar 100 AD mereka memecahkan Lo Shu Square yang merupakan masalah desain gabungan dari alun-alun sihir normal urutan tiga. Kotak ajaib tetap menjadi minat Cina, dan mereka mulai generalisasi 3kali 3 persegi asli mereka antara 900 dan 1300 Masepoli. Cina berkorespondensi dengan Timur Tengah tentang masalah ini pada abad ke-13. Timur Tengah juga belajar tentang koefisien binomial dari pekerjaan India dan menemukan koneksi ke ekspansi polinomial. Pekerjaan umat Hindu mempengaruhi orang Arab seperti yang terlihat dalam pekerjaan al-Khalil bin Ahmad yang menganggap kemungkinan pengaturan surat untuk membentuk suku kata. Perhitungannya menunjukkan pemahaman tentang permutasi dan kombinasi. Dalam sebuah petikan dari karya matematikawan Arab Umar al-Khayyami yang berasal dari sekitar tahun 1100, dikuatkan bahwa umat Hindu memiliki pengetahuan tentang koefisien binomial, tetapi juga bahwa metode mereka mencapai timur tengah.

Abū Bakr bin Muḥammad bin al Ḥusayn Al-Karaji (c.953-1029) menulis tentang teorema binomial dan segitiga Pascal. Dalam karya yang sekarang hilang yang hanya diketahui dari kutipan berikutnya oleh al-Samaw’al, Al-Karaji memperkenalkan gagasan argumen dengan induksi matematika.

Filsuf dan astronom Rabbi Abraham bin Ezra (sekitar 1140) menghitung permutasi dengan pengulangan dalam vokalisasi Nama Ilahi. Dia juga mendirikan simetri koefisien binomial, sementara formula tertutup diperoleh kemudian oleh talmudist dan matematikawan Levi ben Gerson (lebih dikenal sebagai Gersonides), pada tahun 1321. Segitiga aritmatika — diagram grafis yang menunjukkan hubungan di antara koefisien binomial – disajikan oleh ahli matematika dalam perjanjian yang berasal dari abad ke-10, dan akhirnya akan dikenal sebagai segitiga Pascal. Kemudian, di Abad Pertengahan Inggris, campanologi memberikan contoh tentang apa yang sekarang dikenal sebagai siklus Hamilton dalam grafik Cayley tertentu tentang permutasi.

Gabungan datang ke Eropa pada abad ke-13 melalui matematikawan Leonardo Fibonacci dan Jordanus de Nemore. Liber Abaci dari Fibonacci memperkenalkan banyak ide Arab dan India ke Eropa, termasuk dari nomor Fibonacci. Jordanus adalah orang pertama yang mengatur koefisien binomial dalam segitiga, seperti yang dia lakukan dalam proposisi 70 de Arithmetica. Ini juga dilakukan di Timur Tengah pada tahun 1265, dan Cina sekitar tahun 1300. Saat ini, segitiga ini dikenal sebagai segitiga Pascal.

Kontribusi Pascal terhadap segitiga yang menyandang namanya berasal dari karyanya pada bukti formal tentang hal itu, dan koneksi yang dibuatnya antara segitiga dan probabilitas Pascal. Dari surat yang dikirim Leibniz kepada Daniel Bernoulli kita belajar bahwa Leibniz secara resmi mempelajari teori matematika partisi pada abad ke-17, meskipun tidak ada karya formal yang diterbitkan. Bersama dengan Leibniz, Pascal menerbitkan De Arte Combinatoria pada tahun 1666 yang dicetak ulang kemudian Pascal dan Leibniz dianggap sebagai pendiri gabungan modern.

Baik Pascal dan Leibniz memahami bahwa ekspansi binomial setara dengan fungsi pilihan. Gagasan bahwa aljabar dan gabungan yang sesuai diperluas oleh De Moivre, yang menemukan perluasan multinomial. De Moivre juga menemukan formula untuk derangement menggunakan prinsip prinsip pengecualian inklusi, metode yang berbeda dari Nikolaus Bernoulli, yang telah menemukannya sebelumnya. De Moivre juga berhasil memperkirakan koefisien binomial dan faktorial, dan menemukan bentuk tertutup untuk angka Fibonacci dengan menciptakan fungsi pembangkit.

Baca Juga : Mengenal Wizard Unzip

Pada abad ke-18, Euler bekerja pada masalah combinatorics, dan beberapa masalah probabilitas yang terkait dengan combinatorics. Masalah yang dikerjakan Euler termasuk tur Knights, alun-alun Graeco-Latin, nomor Eulerian, dan lainnya. Untuk memecahkan masalah Seven Bridges of Königsberg ia menemukan teori grafik, yang juga mengarah pada pembentukan topologi. Akhirnya, ia memecah tanah dengan partisi dengan menggunakan fungsi pembangkit.