Matrix, Angka Atau Simbol Yang Diatur Dalam Baris Serta Kolom – Matriks dapat digeneralisasikan dengan cara yang berbeda. Aljabar abstrak menggunakan matriks dengan entri di bidang yang lebih umum atau bahkan cincin, sedangkan aljabar linier mengkodifikasi sifat matriks dalam pengertian peta linier. Dimungkinkan untuk mempertimbangkan matriks dengan banyak kolom dan baris tak terhingga.

Matrix, Angka Atau Simbol Yang Diatur Dalam Baris Serta Kolom

transitionmathproject – Ekstensi lain adalah tensor, yang dapat dilihat sebagai larik bilangan berdimensi lebih tinggi, berlawanan dengan vektor, yang sering dapat diwujudkan sebagai barisan bilangan, sedangkan matriks adalah larik bilangan persegi panjang atau dua dimensi.

Baca Juga : Metode Eliminasi Gauss, Proses Reduksi Baris Yang Diterapkan Secara Simultan

Matriks, tunduk pada persyaratan tertentu cenderung membentuk kelompok yang dikenal sebagai kelompok matriks. Demikian pula dalam kondisi tertentu matriks membentuk cincin yang dikenal sebagai cincin matriks. Meskipun hasil kali matriks pada umumnya tidak bersifat komutatif, namun matriks tertentu membentuk bidang-bidang yang dikenal sebagai bidang matriks.

Matriks dengan entri yang lebih umum

Matriks bujur sangkar A yang sama dengan transposnya, yaitu A = AT, adalah matriks simetris. Jika sebaliknya, A sama dengan negatif transposnya, yaitu, A = AT, maka A adalah matriks simetris miring. Dalam matriks kompleks, simetri sering diganti dengan konsep matriks Hermitian, yang memenuhi A∗ = A, di mana bintang atau tanda bintang menunjukkan transpos konjugat matriks, yaitu transpos konjugat kompleks A.

Dengan teorema spektral, matriks simetris nyata dan matriks Hermitian kompleks memiliki eigenbasis. yaitu, setiap vektor dapat diekspresikan sebagai kombinasi linier dari vektor eigen. Dalam kedua kasus, semua nilai eigen adalah nyata. Teorema ini dapat digeneralisasi untuk situasi dimensi tak hingga yang terkait dengan matriks dengan banyak baris dan kolom tak hingga, lihat di bawah.

memiliki nilai positif untuk setiap vektor bukan nol x dalam Rn. Jika f (x) hanya menghasilkan nilai negatif maka A adalah pasti-negatif. jika f menghasilkan nilai negatif dan positif, maka A tidak tentu. Jika bentuk kuadrat f hanya menghasilkan nilai non-negatif (positif atau nol), matriks simetris disebut positif-semidefinit (atau jika hanya nilai non-positif, maka negatif-semidefinite); oleh karena itu matriks tersebut tepat tidak tentu jika matriks tersebut bukan positif-semidefinit maupun negatif-semidefinite.

Suatu matriks simetris adalah pasti-positif jika dan hanya jika semua nilai eigennya positif, yaitu matriks tersebut positif-semidefinit dan dapat dibalik. Tabel di sebelah kanan menunjukkan dua kemungkinan untuk matriks 2-kali-2.

Grup matriks

Grup adalah struktur matematika yang terdiri dari sekumpulan objek bersama-sama dengan operasi biner, yaitu, operasi yang menggabungkan dua objek ke objek ketiga, dengan persyaratan tertentu. Grup yang objeknya berupa matriks dan operasi grupnya adalah perkalian matriks disebut grup matriks. Karena suatu grup setiap elemen harus dapat dibalik, grup matriks yang paling umum adalah grup dari semua matriks yang dapat dibalik dengan ukuran tertentu, yang disebut grup linier umum.

Setiap properti matriks yang diawetkan di bawah produk matriks dan invers dapat digunakan untuk mendefinisikan kelompok matriks lebih lanjut. Misalnya, matriks dengan ukuran tertentu dan dengan determinan 1 membentuk subgrup dari (yaitu, grup yang lebih kecil yang terkandung di dalam) grup linier umum mereka, yang disebut grup linier khusus. Matriks ortogonal, ditentukan oleh kondisi

matriks tak terbatas

Dimungkinkan juga untuk mempertimbangkan matriks dengan banyak baris dan/atau kolom bahkan jika, sebagai objek tak terbatas, seseorang tidak dapat menuliskan matriks tersebut secara eksplisit. Yang penting adalah bahwa untuk setiap elemen dalam baris pengindeksan yang ditetapkan, dan setiap elemen dalam kolom pengindeksan yang ditetapkan, ada entri yang terdefinisi dengan baik (set indeks ini bahkan tidak perlu menjadi himpunan bagian dari bilangan asli).

Operasi dasar penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan transposisi masih dapat didefinisikan tanpa masalah. namun perkalian matriks mungkin melibatkan penjumlahan tak terhingga untuk menentukan entri yang dihasilkan, dan ini tidak didefinisikan secara umum.

Jika matriks tak hingga digunakan untuk menggambarkan peta linier, maka hanya matriks tersebut yang dapat digunakan yang semua kolomnya hanya memiliki sejumlah entri bukan nol yang terbatas, karena alasan berikut. Agar matriks A dapat menggambarkan peta linier f: V→W, basis untuk kedua ruang harus dipilih. ingat bahwa menurut definisi ini berarti bahwa setiap vektor dalam ruang dapat ditulis secara unik sebagai kombinasi linier (terhingga) dari vektor basis, sehingga ditulis sebagai vektor (kolom) v dari koefisien, hanya banyak entri vi yang bukan nol.

Sekarang kolom-kolom A menggambarkan gambar-gambar dengan f dari vektor-vektor basis individual V dalam basis W, yang hanya bermakna jika kolom-kolom ini hanya memiliki banyak entri bukan nol berhingga. Namun, tidak ada batasan pada baris A: dalam produk A·v hanya ada banyak koefisien tak nol dari v yang terlibat, jadi setiap entrinya, bahkan jika diberikan sebagai jumlah produk tak terbatas, hanya melibatkan terbatas banyak istilah bukan nol dan karena itu didefinisikan dengan baik.

Selain itu, ini sama dengan membentuk kombinasi linier dari kolom A yang secara efektif hanya melibatkan banyak dari mereka, di mana hasilnya hanya memiliki banyak entri bukan nol karena masing-masing kolom tersebut melakukannya. Produk dari dua matriks dari jenis yang diberikan didefinisikan dengan baik (asalkan indeks kolom dan indeks baris set cocok), adalah dari jenis yang sama, dan sesuai dengan komposisi peta linier.

Jika R adalah ring bernorma, maka kondisi keterbatasan baris atau kolom dapat direlaksasi. Dengan norma yang berlaku, deret yang benar-benar konvergen dapat digunakan sebagai pengganti jumlah terhingga. Misalnya, matriks yang jumlah kolomnya merupakan barisan yang benar-benar konvergen membentuk ring. Secara analog, matriks yang jumlah barisnya merupakan deret yang benar-benar konvergen juga membentuk ring.

Matriks tak hingga juga dapat digunakan untuk menggambarkan operator pada ruang Hilbert, di mana pertanyaan konvergensi dan kontinuitas muncul, yang lagi-lagi menghasilkan kendala tertentu yang harus diterapkan. Namun, sudut pandang eksplisit dari matriks cenderung mengaburkan masalah, dan alat analisis fungsional yang abstrak dan lebih kuat dapat digunakan sebagai gantinya.

Aplikasi

Ada banyak aplikasi matriks, baik dalam matematika maupun ilmu-ilmu lainnya. Beberapa dari mereka hanya mengambil keuntungan dari representasi kompak dari satu set angka dalam matriks. Misalnya, dalam teori permainan dan ekonomi, matriks imbalan mengkodekan imbalan untuk dua pemain, bergantung pada yang mana dari serangkaian alternatif (terbatas) yang dipilih pemain.

Penambangan teks dan kompilasi tesaurus otomatis menggunakan matriks istilah dokumen seperti tf-idf untuk melacak frekuensi kata-kata tertentu dalam beberapa dokumen. Di mana penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks dan matriks saling bersesuaian. Misalnya, matriks rotasi 2-kali-2 mewakili perkalian dengan beberapa bilangan kompleks dari nilai absolut 1, seperti di atas. Interpretasi serupa dimungkinkan untuk quaternions dan aljabar Clifford secara umum.

Teknik enkripsi awal seperti Hill cipher juga menggunakan matriks. Namun, karena sifat matriks yang linier, kode-kode ini relatif mudah dipecahkan. Grafik komputer menggunakan matriks baik untuk mewakili objek dan untuk menghitung transformasi objek menggunakan matriks rotasi affine untuk menyelesaikan tugas-tugas seperti memproyeksikan objek tiga dimensi ke layar dua dimensi, sesuai dengan pengamatan kamera teoretis. Matriks di atas cincin polinomial penting dalam studi teori kontrol.

Kimia memanfaatkan matriks dalam berbagai cara, terutama sejak penggunaan teori kuantum untuk membahas ikatan molekul dan spektroskopi. Contohnya adalah matriks tumpang tindih dan matriks Fock yang digunakan dalam menyelesaikan persamaan Roothaan untuk mendapatkan orbital molekul metode Hartree–Fock.

Teori grafik

Matriks ketetanggaan dari graf berhingga adalah gagasan dasar teori graf. Ini mencatat simpul mana dari grafik yang dihubungkan oleh tepi. Matriks yang hanya berisi dua nilai yang berbeda (1 dan 0 artinya misalnya “ya” dan “tidak”, masing-masing) disebut matriks logis. Matriks jarak (atau biaya) berisi informasi tentang jarak tepi.

Konsep-konsep ini dapat diterapkan ke situs web yang terhubung oleh hyperlink atau kota yang dihubungkan oleh jalan raya dll., dalam hal ini (kecuali jaringan koneksi sangat padat) matriksnya cenderung jarang, yaitu, berisi beberapa entri bukan nol. Oleh karena itu, algoritma matriks yang dirancang khusus dapat digunakan dalam teori jaringan.

Baca Juga : Pengertian Singularitas Gravitasi

Persamaan diferensial parsial dapat diklasifikasikan dengan mempertimbangkan matriks koefisien dari operator diferensial orde tertinggi dari persamaan. Untuk persamaan diferensial parsial eliptik, matriks ini pasti positif, yang memiliki pengaruh yang menentukan pada himpunan solusi yang mungkin dari persamaan tersebut.

Metode elemen hingga adalah metode numerik yang penting untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial, diterapkan secara luas dalam mensimulasikan sistem fisik yang kompleks. Ini mencoba untuk mendekati solusi untuk beberapa persamaan dengan fungsi linier sepotong-sepotong, di mana potongan-potongan dipilih mengenai grid yang cukup halus, yang pada gilirannya dapat disusun kembali sebagai persamaan matriks.