transitionmathproject

Aljabar linear

Memahami Dasar Aljabar Linear Dalam Presentasi Geometri Modern – Aljabar linear adalah pusat dari hampir semua bidang matematika. Misalnya, aljabar linear sangat mendasar dalam presentasi geometri modern, termasuk untuk mendefinisikan objek dasar seperti garis, pesawat, dan rotasi. Juga, analisis fungsional, cabang analisis matematika, dapat dipandang sebagai pada dasarnya penerapan aljabar linear ke ruang fungsi.

Memahami Dasar Aljabar Linear Dalam Presentasi Geometri Modern

transitionmathproject – Aljabar linear juga digunakan di sebagian besar ilmu pengetahuan dan bidang teknik, karena memungkinkan pemodelan banyak fenomena alam, dan komputasi secara efisien dengan model tersebut. Untuk sistem nonlinear, yang tidak dapat dimodelkan dengan aljabar linier, sering digunakan untuk menangani perkiraan urutan pertama, menggunakan fakta bahwa diferensial fungsi multivariat pada satu titik adalah peta linear yang terbaik memperkirakan fungsi di dekat titik itu.

Baca Juga : Mempelajari Aljabar Komutatif Dengan Teori Geometri Aljabar

Histor

Prosedur untuk memecahkan persamaan linier simultan yang sekarang disebut eliminasi Gaussian muncul dalam teks matematika Cina kuno Bab Delapan: Array Persegi Panjang Dari Sembilan Bab tentang Seni Matematika. Penggunaannya diilustrasikan dalam delapan belas masalah, dengan dua hingga lima persamaan.

Sistem persamaan linear muncul di Eropa dengan diperkenalkan pada tahun 1637 oleh Rene Descartes koordinat dalam geometri. Bahkan, dalam geometri baru ini, sekarang disebut geometri Cartesian, garis dan pesawat diwakili oleh persamaan linear, dan menghitung persimpangan mereka berjumlah untuk memecahkan sistem persamaan linier.

Metode sistematis pertama untuk memecahkan sistem linier yang digunakan penentu, pertama kali dipertimbangkan oleh Leibniz pada tahun 1693. Pada tahun 1750, Gabriel Cramer menggunakannya untuk memberikan solusi eksplisit dari sistem linier, yang sekarang disebut pemerintahan Cramer. Kemudian, Gauss lebih lanjut menggambarkan metode eliminasi, yang awalnya terdaftar sebagai kemajuan dalam geodesi.

Pada tahun 1844 Hermann Grassmann menerbitkan “Teori Ekstensi” yang mencakup topik baru dasar dari apa yang saat ini disebut aljabar linear. Pada tahun 1848, James Joseph Sylvester memperkenalkan istilah matriks, yaitu bahasa Latin untuk rahim.

Arthur Cayley memperkenalkan perkalian matriks dan matriks terbalik pada tahun 1856, memungkinkan kelompok linier umum. Mekanisme representasi grup menjadi tersedia untuk menggambarkan angka yang kompleks dan hiperkomleks. Yang krusial, Cayley menggunakan satu huruf untuk menunjukkan matriks, sehingga memperlakukan matriks sebagai objek agregat. Dia juga menyadari hubungan antara matriks dan penentu, dan menulis “Akan ada banyak hal untuk dikatakan tentang teori matriks ini yang seharusnya, menurut saya, mendahului teori penentu”. Benjamin Peirce menerbitkan Linear Associative Algebra (1872), dan putranya Charles Sanders Peirce memperpanjang pekerjaan itu kemudian.

Telegraf membutuhkan sistem penjelasan, dan publikasi 1873 dari A Treatise on Electricity and Magnetism melembagakan teori kekuatan lapangan dan membutuhkan geometri diferensial untuk ekspresi. Aljabar linear adalah geometri diferensial datar dan berfungsi di ruang singgung untuk berlipat ganda. Simetri elektromagnetik ruang angkasa diekspresikan oleh transformasi Lorentz, dan sebagian besar sejarah aljabar linier adalah sejarah transformasi Lorentz.

Definisi modern dan lebih tepat pertama dari ruang vektor diperkenalkan oleh Peano pada tahun 1888 pada tahun 1900, teori transformasi linier ruang vektor dimensi terbatas telah muncul. Aljabar linear mengambil bentuk modern pada paruh pertama abad kedua puluh, ketika banyak ide dan metode abad sebelumnya direalisasi sebagai aljabar abstrak. Pengembangan komputer menyebabkan peningkatan penelitian dalam algoritma efisien untuk eliminasi gaussian dan dekomposisi matriks, dan aljabar linear menjadi alat penting untuk pemodelan dan simulasi.

Ruang vektor

Hingga abad ke-19, aljabar linier diperkenalkan melalui sistem persamaan dan matriks linier. Dalam matematika modern, presentasi melalui ruang vektor umumnya lebih disukai, karena lebih sintetis, lebih umum (tidak terbatas pada kasus dimensi terbatas), dan secara konseptual lebih sederhana, meskipun lebih abstrak.

Ruang vektor di atas bidang F (seringkali bidang bilangan riil) adalah set V yang dilengkapi dengan dua operasi biner yang memuaskan aksiom berikut. Elemen V disebut vektor, dan elemen F disebut skalar. Operasi pertama, penambahan vektor, mengambil dua vektor v dan w dan output vektor ketiga v + w. Operasi kedua, perkalian skalar, mengambil skalar dan vektor v dan output av vektor baru. Aksiom yang harus dispelapiskan oleh penambahan dan perkalian skalar adalah sebagai berikut. (Dalam daftar di bawah ini, u, v dan w adalah elemen sewenang-wenang V, dan a dan b adalah skalar sewenang-wenang di bidang F.)

Hubungan dengan geometri

Ada hubungan yang kuat antara aljabar linier dan geometri, yang dimulai dengan pengenalan oleh René Descartes, pada tahun 1637, dari koordinat Cartesian. Dalam geometri baru ini (pada saat itu), sekarang disebut geometri Cartesian, poin diwakili oleh koordinat Cartesian, yang merupakan urutan dari tiga angka riil (dalam kasus ruang tiga dimensi yang biasa). Objek dasar geometri, yang merupakan garis dan pesawat diwakili oleh persamaan linear. Dengan demikian, persimpangan garis dan pesawat komputasi berjumlah untuk memecahkan sistem persamaan linier. Ini adalah salah satu motivasi utama untuk mengembangkan aljabar linier.

Sebagian besar transformasi geometris, seperti terjemahan, rotasi, pantulan, gerakan kaku, isopmetri, dan proyeksi mengubah garis menjadi garis. Ini mengikuti bahwa mereka dapat didefinisikan, ditentukan dan dipelajari dalam hal peta linier. Ini juga merupakan kasus homografi dan transformasi Möbius, ketika dianggap sebagai transformasi ruang proyektif.

Hingga akhir abad ke-19, ruang geometris didefinisikan oleh aksiom yang berkaitan dengan titik, garis, dan pesawat (geometri sintetis). Sekitar tanggal ini, tampaknya seseorang juga dapat mendefinisikan ruang geometris dengan konstruksi yang melibatkan ruang vektor (lihat, misalnya, Ruang proyektif dan ruang Affine). Telah ditunjukkan bahwa dua pendekatan pada dasarnya setara. Dalam geometri klasik, ruang vektor yang terlibat adalah ruang vektor di atas real, tetapi konstruksi dapat diperluas ke ruang vektor di bidang apa pun, memungkinkan mempertimbangkan geometri di atas bidang sewenang-wenang, termasuk bidang terbatas. Saat ini, sebagian besar buku teks, memperkenalkan ruang geometris dari aljabar linear, dan geometri sering disajikan, pada tingkat dasar, sebagai subfield aljabar linear.

Geometri ruang sekitar

Pemodelan ruang sekitar didasarkan pada geometri. Ilmu yang berkaitan dengan ruang ini menggunakan geometri secara luas. Ini adalah kasus dengan mekanika dan robotika, untuk menggambarkan dinamika tubuh yang kaku; geodesi untuk menggambarkan bentuk Bumi; perspektivitas, visi komputer, dan grafik komputer, untuk menggambarkan hubungan antara adegan dan representasi pesawatnya; dan banyak domain ilmiah lainnya.

Dalam semua aplikasi ini, geometri sintetis sering digunakan untuk deskripsi umum dan pendekatan kualitatif, tetapi untuk mempelajari situasi eksplisit, seseorang harus menghitung dengan koordinat. Ini membutuhkan penggunaan berat aljabar linear.

Analisis fungsional

Ruang fungsi studi analisis fungsional. Ini adalah ruang vektor dengan struktur tambahan, seperti ruang Hilbert. Aljabar linear dengan demikian merupakan bagian mendasar dari analisis fungsional dan aplikasinya, yang mencakup, khususnya, mekanika kuantum (fungsi gelombang).

Studi sistem yang kompleks

Sebagian besar fenomena fisik dimodelkan oleh persamaan diferensial parsial. Untuk mengatasinya, seseorang biasanya membusuk ruang di mana solusi dicari ke dalam sel-sel kecil yang saling berinteraksi. Untuk sistem linear interaksi ini melibatkan fungsi linear. Untuk sistem nonlinear, interaksi ini seringkali disalahti oleh fungsi linear. Dalam kedua kasus, matriks yang sangat besar umumnya terlibat. Prakiraan cuaca adalah contoh khas, di mana seluruh atmosfer Bumi dibagi dalam sel-sel, katakanlah, lebar 100 km dan tinggi 100 m.

Baca Juga : Tips Menulis Esai Ilustratif Untuk Mendapatkan Nilai A+

Komputasi ilmiah

Hampir semua komputasi ilmiah melibatkan aljabar linear. Akibatnya, algoritma aljabar linear telah sangat dioptimalkan. BLAS dan LAPACK adalah implementasi yang paling terkenal. Untuk meningkatkan efisiensi, beberapa dari mereka mengkonfigurasi algoritma secara otomatis, pada waktu proses, untuk mengadaptasinya dengan kekhususan komputer (ukuran cache, jumlah inti yang tersedia, …). Beberapa prosesor, biasanya unit pemrosesan grafis (GPU), dirancang dengan struktur matriks, untuk mengoptimalkan operasi aljabar linear.