transitionmathproject

Modul Proyektif

Membahas Modul Proyektif Yang Menjadi Vektor Dasar – Dalam matematika, terutama dalam aljabar, kelas modul proyektif memperbesar kelas modul gratis (yaitu, modul dengan vektor dasar) di atas cincin, dengan menyimpan beberapa sifat utama modul gratis. Berbagai karakterisasi yang setara dari modul ini muncul di bawah ini.

Membahas Modul Proyektif Yang Menjadi Vektor Dasar

transitionmathproject – Setiap modul gratis adalah modul proyektif, tetapi converse gagal menahan beberapa cincin, seperti cincin Dedekind yang bukan domain ideal utama. Namun, setiap modul proyektif adalah modul gratis jika cincin adalah domain ideal utama seperti bilangan bulat, atau cincin polinomial (ini adalahorema Quillen-Suslin). Modul proyektif pertama kali diperkenalkan pada tahun 1956 dalam buku berpengaruh Homological Algebra karya Henri Cartan dan Samuel Eilenberg.

Baca Juga : Memahami Dasar Aljabar Linear Dalam Presentasi Geometri Modern

Properti pengangkat

Definisi teoritis kategori yang biasa adalah dalam hal properti pengangkatan yang membawa lebih dari modul gratis ke proyektif: modul P berproektif jika dan hanya jika untuk setiap homomorfisme modul surjective f : N ↠ M dan setiap modul homomorfisme g : P → M, ada modul homomorfisme h : P → N sedemikian rupa sehingga f h = g. (Kami tidak memerlukan homomorfisme pengangkatan h untuk menjadi unik; ini bukan properti universal.)

Summand Langsung Modul Gratis

Modul P ber proyektif jika dan hanya jika ada modul Q lain sehingga jumlah langsung P dan Q adalah modul gratis.

Ketebalan

R-module P berkonduktif jika dan hanya jika functor covariant Hom(P, -): R-Mod → Ab adalah functor yang tepat, di mana R-Mod adalah kategori modul R kiri dan Ab adalah kategori kelompok abelian. Ketika cincin R berkomunikasi, Ab secara menguntungkan digantikan oleh R-Mod dalam karakterisasi sebelumnya. Functor ini selalu dibiarkan tepat, tetapi, ketika P proyektif, itu juga tepat. Ini berarti bahwa P berkonduktif jika dan hanya jika functor ini melestarikan epimorfisme (homomorfisme surjektif), atau jika melestarikan kolimit terbatas.

Contoh dan Properti Dasar

Properti modul proyektif berikut dengan cepat diuraikan dari salah satu definisi modul proyektif di atas (setara) :

Jumlah langsung dan summand langsung modul proyektif ber proyektif.
Jika e = e2 adalah idempotent di ring R, maka Re adalah modul kiri proyektif atas R.
Modul proyektif vs. gratis

Modul gratis apa pun ber proyektif. Sebaliknya adalah benar dalam kasus-kasus berikut:

jika R adalah bidang atau bidang condong: modul apa pun gratis dalam kasus ini.
jika cincin R adalah domain ideal utama. Misalnya, ini berlaku untuk R = Z (bilangan bulat), jadi kelompok abelian berkteglikasi jika dan hanya jika itu adalah kelompok abelian gratis. Alasannya adalah bahwa setiap submodule modul gratis melalui domain ideal utama gratis.
jika cincin R adalah cincin lokal. Fakta ini adalah dasar dari intuisi “bebas lokal = proyektif”. Fakta ini mudah dibuktikan untuk modul proyektif yang dihasilkan secara terbatas. Secara umum, ini karena Kaplansky (1958); lihat teorema Kaplansky pada modul proyektif.
Secara umum, modul proyektif tidak perlu gratis:

Melalui produk langsung cincin R × S di mana R dan S adalah cincin nonzero, baik R × 0 dan 0 × S adalah modul proyektif non-gratis. Melalui domain Dedekind, cita-cita non-prinsipal selalu merupakan modul proyektif yang bukan modul gratis.
Melalui cincin matriks Mn(R), modul alami Rn ber proyektif tetapi tidak gratis. Secara umum, di atas cincin semisimple apa pun, setiap modul berkonduktif, tetapi nol ideal dan cincin itu sendiri adalah satu-satunya cita-cita bebas.
Perbedaan antara modul bebas dan proyektif adalah, dalam arti, diukur oleh kelompok K-teori aljabar K0(R), lihat di bawah ini.

Modul proyektif vs Datar

Setiap modul proyektif datar. Sebaliknya secara umum tidak benar: kelompok abelian Q adalah Z-modul yang datar, tetapi tidak proyektif.

Sebaliknya, modul datar yang terkait terbatas berkonfdiktif. Govorov (1965) dan Lazard (1969) membuktikan bahwa modul M datar jika dan hanya jika itu adalah batas langsung modul gratis yang dihasilkan secara terbatas.

Secara umum, hubungan yang tepat antara kenyal dan proyektivitas didirikan oleh Raynaud & Gruson (1971) (lihat juga Drinfeld (2006) dan Braunling, Groechenig Wolfson (2016)) yang menunjukkan bahwa modul M berkonduktif jika dan hanya jika memenuhi kondisi berikut:

  • M datar,
  • M adalah jumlah langsung dari modul yang dihasilkan secara terhitung,
  • M memenuhi kondisi tipe Mittag-Leffler tertentu.

Kategori Modul Proyektif

Submodule modul proyektif tidak perlu proyektif; cincin R yang setiap submodule modul kiri proyektif disebut kiri turun temurun.

Quotient modul proyektif juga tidak perlu proyektif, misalnya Z / n adalah quotient dari Z, tetapi tidak bebas torsi, karenanya tidak datar, dan karenanya tidak proyektif.

Kategori modul proyektif yang dihasilkan secara terbatas di atas cincin adalah kategori yang tepat. (Lihat juga aljabar K-teori).

Resolusi Proyektif

Mengingat modul, M, resolusi proyektif M adalah urutan modul yang tak terbatas

··· → Pn → ··· → P2 → P1 → P0 → M → 0,

dengan semua proyektif Pis. Setiap modul memiliki resolusi proyektif. Bahkan resolusi bebas (resolusi dengan modul gratis) ada. Urutan modul proyektif yang tepat terkadang dapat disingkat P(M) → M → 0 atau P• → M → 0. Contoh klasik dari resolusi proyektif diberikan oleh kompleks Koszul dari urutan reguler, yang merupakan resolusi bebas dari ideal yang dihasilkan oleh urutan.

Panjang resolusi terbatas adalah subskrip n sedemikian rupa sehingga Pn nonzero dan Pi = 0 untuk i lebih besar dari n. Jika M mengakui resolusi proyektif terbatas, panjang minimal di antara semua resolusi proyektif terbatas M disebut dimensi proyektif dan menunjukkan pd (M). Jika M tidak mengakui resolusi proyektif terbatas, maka secara konvensi dimensi proyektif dikatakan tidak terbatas. Sebagai contoh, pertimbangkan modul M sedemikian rupa seperti pd(M) = 0. Dalam situasi ini, ketetapan urutan 0 → P0 → M → 0 menunjukkan bahwa panah di tengah adalah isomorfisme, dan karenanya M sendiri berk proyeksitif.

Modul Proyektif di atas Cincin Komutasi

Modul Proyektif di atas Cincin Komutasi Memiliki Sifat Yang Bagus.

Lokalisasi modul proyektif adalah modul proyektif di atas cincin yang dialirkan. Modul proyektif di atas cincin lokal gratis. Dengan demikian modul proyektif bebas secara lokal (dalam arti bahwa lokalisasinya di setiap cita-cita utama bebas atas lokalisasi cincin yang sesuai).

Sebaliknya berlaku untuk modul yang dihasilkan secara terbatas di atas cincin Noetherian: modul yang dihasilkan secara terbatas di atas cincin noetherian komutasitif secara lokal gratis jika dan hanya jika itu proyektif.

Namun, ada contoh modul yang dihasilkan secara terbatas di atas cincin non-Noetherian yang bebas secara lokal dan tidak proyektif. Misalnya, cincin Boolean memiliki semua isomorfik lokalisasinya ke F2, bidang dua elemen, sehingga modul apa pun di atas cincin Boolean gratis secara lokal, tetapi ada beberapa modul non-proyektif di atas cincin Boolean. Salah satu contohnya adalah R / I di mana R adalah produk langsung dari banyak salinan F2 dan saya adalah jumlah langsung dari banyak salinan F2 di dalam R. R-modul R / I secara lokal gratis karena R adalah Boolean (dan secara terbatas dihasilkan sebagai R-modul juga, dengan set spanning ukuran 1), tetapi R / I tidak proyektif karena saya bukan ideal utama. (Jika modul R/I quotient, untuk cincin komutasikatif R dan ideal I, adalah modul R proyektif maka saya adalah prinsipal.)

Peringkat

Biarkan P menjadi modul proyektif yang dihasilkan secara terbatas di atas cincin komutasitif R dan X menjadi spektrum R. Ini adalah fungsi konstan lokal pada X. Secara khusus, jika X terhubung (yaitu jika R tidak memiliki idempotent lain dari 0 dan 1), maka P memiliki peringkat konstan.

Bundel Vektor dan Modul Bebas Lokal

Motivasi dasar teori adalah bahwa modul proyektif (setidaknya lebih dari cincin komutasitif tertentu) adalah analog dari bundel vektor. Ini dapat dibuat tepat untuk cincin fungsi bernilai nyata berkelanjutan pada ruang Hausdorff yang ringkas, serta untuk cincin fungsi halus pada manifold halus (lihatorema Serre-Swan yang mengatakan modul proyektif yang dihasilkan secara terbatas di atas ruang fungsi halus pada manifold ringkas adalah ruang bagian halus dari bundel vektor halus).

Bundel vektor gratis secara lokal. Jika ada beberapa gagasan tentang “lokalisasi” yang dapat dibawa ke modul, seperti lokalisasi cincin yang biasa, seseorang dapat menentukan modul bebas lokal, dan modul proyektif maka biasanya bertepatan dengan modul bebas lokal.

Baca Juga : Bagaimana Menulis Esai Terbaik Untuk Memberi Kesan

Modul Proyektif di Atas Cincin Polinomial

Theorema Quillen-Suslin, yang memecahkan masalah Serre, adalah hasil mendalam lainnya: jika K adalah bidang, atau lebih umum domain ideal utama, dan R = K[X1,…,Xn] adalah cincin polinomial di atas K, maka setiap modul proyektif melalui R gratis. Masalah ini pertama kali diangkat oleh Serre dengan K bidang (dan modul yang dihasilkan secara terbatas). Bass menyelesaikannya untuk modul yang tidak dihasilkan secara terbatas dan Quillen dan Suslin secara independen dan bersamaan mengobati kasus modul yang dihasilkan secara terbatas.

Karena setiap modul proyektif melalui domain ideal utama gratis, orang mungkin mengajukan pertanyaan ini: jika R adalah cincin komutasitif sedemikian rupa sehingga setiap modul R proyektif (yang dihasilkan secara terbatas) gratis, maka apakah setiap modul R[X]-modul proyektif (yang dihasilkan secara terbatas) gratis? Jawabannya adalah tidak ada counterexample terjadi dengan R sama dengan cincin lokal kurva y2 = x3 di asal. Dengan demikianorema Quillen-Suslin tidak pernah bisa dibuktikan dengan induksi sederhana pada jumlah variabel.