Aljabar Komutatif

Mempelajari Aljabar Komutatif Dengan Teori Geometri Aljabar – Aljabar komutatif adalah cabang aljabar yang mempelajari cincin komutatif, cita-cita mereka, dan modul di atas cincin tersebut. Baik geometri aljabar dan teori angka aljabar dibangun di atas aljabar komutatif. Contoh cincin komutatif yang menonjol termasuk cincin polinomial.

Mempelajari Aljabar Komutatif Dengan Teori Geometri Aljabar

transitionmathproject – Aljabar komutatif adalah alat teknis utama dalam studi lokal skema. Studi cincin yang belum tentu komutatif dikenal sebagai aljabar nonkomutasi; itu termasuk teori cincin, teori representasi, dan teori aljabar Banach.

Baca Juga : Pengertian Dari Aljabar Boolean Sebagai Nilai Variabel

Ikhtisar

Aljabar komutatif pada dasarnya adalah studi tentang cincin yang terjadi dalam teori angka aljabar dan geometri aljabar. Dalam teori angka aljabar, cincin bilangan bulat aljabar adalah cincin Dedekind, yang merupakan kelas penting cincin komutatif. Pertimbangan terkait aritmatika modular telah menyebabkan gagasan cincin penilaian. Pembatasan ekstensi lapangan aljabar untuk subrings telah menyebabkan gagasan ekstensi integral dan domain yang ditutup secara integral serta gagasan konsekuensi dari perpanjangan cincin penilaian.

Gagasan lokalisasi cincin (khususnya lokalisasi sehubungan dengan cita-cita utama, lokalisasi yang terdiri dari membalikkan elemen tunggal dan cincin total quotient) adalah salah satu perbedaan utama antara aljabar komutatif dan teori cincin non-komutasi. Ini mengarah ke kelas penting cincin komutasi, cincin lokal yang hanya memiliki satu ideal maksimal. Set cita-cita utama cincin komutasi secara alami dilengkapi dengan topologi, topologi Zariski. Semua gagasan ini banyak digunakan dalam geometri aljabar dan merupakan alat teknis dasar untuk definisi teori skema, generalisasi geometri aljabar yang diperkenalkan oleh Grothendieck.

Banyak gagasan lain dari aljabar komutatif adalah rekan-rekan gagasan geometris yang terjadi dalam geometri aljabar. Ini adalah kasus dimensi Krull, dekomposisi primer, cincin biasa, cincin Cohen-Macaulay, cincin Gorenstein dan banyak gagasan lainnya.

Sejarah

Subjek, yang pertama kali dikenal sebagai teori ideal, dimulai dengan karya Richard Dedekind tentang cita-cita, itu sendiri berdasarkan karya Ernst Kummer dan Leopold Kronecker sebelumnya. Kemudian, David Hilbert memperkenalkan istilah cincin untuk generalisasi cincin angka istilah sebelumnya. Hilbert memperkenalkan pendekatan yang lebih abstrak untuk menggantikan metode yang lebih konkret dan berorientasi komputasi yang beralasan dalam hal-hal seperti analisis kompleks dan teori invarian klasik.

Pada gilirannya, Hilbert sangat mempengaruhi Emmy Noether, yang menayangkan ulang banyak hasil sebelumnya dalam hal kondisi rantai naik, yang sekarang dikenal sebagai kondisi Noetherian. Tonggak penting lainnya adalah karya siswa Hilbert, Emanuel Lasker, yang memperkenalkan cita-cita utama dan membuktikan versi pertama dariorema Lasker-Noether.

Tokoh utama yang bertanggung jawab atas kelahiran aljabar komutatif sebagai subjek dewasa adalah Wolfgang Krull, yang memperkenalkan gagasan mendasar tentang lokalisasi dan penyelesaian cincin, serta cincin lokal biasa. Dia menetapkan konsep dimensi Cincin Krull, pertama untuk cincin Noetherian sebelum melanjutkan untuk memperluas teorinya untuk menutupi cincin penilaian umum dan cincin Krull. Sampai hari ini,orema ideal utama Krull secara luas dianggap sebagai satu-satunyaorema dasar terpenting dalam aljabar komutatif. Hasil ini membuka jalan untuk pengenalan aljabar komutatif ke dalam geometri aljabar, sebuah ide yang akan merevolusi subjek yang terakhir.

Sebagian besar pengembangan modern aljabar komutatif menekankan modul. Kedua cita-cita cincin R dan R-aljabar adalah kasus khusus modul-R, sehingga teori modul mencakup teori ideal dan teori ekstensi cincin. Meskipun sudah incipient dalam karya Kronecker, pendekatan modern untuk aljabar komutatif menggunakan teori modul biasanya dikreditkan ke Krull dan Noether.

Cincin Noetherian

Gagasan cincin Noetherian sangat penting dalam teori cincin komutatif dan nonkomutasi, karena peran yang dimainkannya dalam menyederhanakan struktur cincin yang ideal. Misalnya, cincin bilangan bulat dan cincin polinomial di atas lapangan adalah cincin Noetherian, dan akibatnya,orema seperti theorema Lasker-Noether, temama persimpangan Krull, dan dasarorema Hilbert memegang untuk mereka. Selain itu, jika cincin adalah Noetherian, maka ia memenuhi kondisi rantai menurun pada cita-cita prima. Properti ini menunjukkan teori dimensi yang mendalam untuk cincin Noetherian yang dimulai dengan gagasan dimensi Krull.

Penguraian Primer

Q cincin yang ideal dikatakan utama jika Q tepat dan setiap kali xy ∈ Q, baik x ∈ Q atau yn ∈ Q untuk beberapa bilangan bulat positif n. Dalam Z, cita-cita utama justru merupakan cita-cita bentuk (pe) di mana p prima dan e adalah bilangan bulat positif. Dengan demikian, penguraian primer (n) sesuai dengan mewakili (n) sebagai persimpangan terbatas banyak cita-cita utama.

Penyelesaian

Penyelesaian adalah salah satu dari beberapa functor terkait pada cincin dan modul yang menghasilkan cincin dan modul topologis lengkap. Penyelesaian mirip dengan lokalisasi, dan bersama-sama mereka adalah salah satu alat paling dasar dalam menganalisis cincin komutatif. Cincin komutatif lengkap memiliki struktur yang lebih sederhana daripada yang umum dan lemma Hensel berlaku untuk mereka.

Topologi Zariski pada cita-cita Prima

di mana A adalah cincin komutasi tetap dan saya adalah ideal. Ini didefinisikan dalam analogi dengan topologi Zariski klasik, di mana set tertutup di ruang affine adalah yang didefinisikan oleh persamaan polinomial . Untuk melihat koneksi dengan gambar klasik, perhatikan bahwa untuk setiap set S polinomial (di atas bidang tertutup aljabar), itu mengikuti dari Nullstellensatz Hilbert bahwa titik-titik V (dalam arti lama) adalah persis tuples (a1, …, an) sedemikian rupa sehingga (x1 – a1, …, xn – an) mengandung S; selain itu, ini adalah cita-cita maksimal dan oleh Nullstellensatz “lemah”, ideal dari setiap cincin koordinat affine maksimal jika dan hanya jika bentuk ini. Dengan demikian, V(S) “sama dengan” cita-cita maksimal yang mengandung inovasi S. Grothendieck dalam mendefinisikan Spec adalah untuk menggantikan cita-cita maksimal dengan semua cita-cita utama; dalam formulasi ini adalah wajar untuk hanya mengeralisasi pengamatan ini untuk definisi set tertutup dalam spektrum cincin.

Koneksi Dengan Geometri Aljabar

Aljabar komutatif (dalam bentuk cincin polinomial dan quotients mereka, digunakan dalam definisi varietas aljabar) selalu menjadi bagian dari geometri aljabar. Namun, pada akhir 1950-an, varietas aljabar dikurangi menjadi konsep skema Alexander Grothendieck. Objek lokal mereka adalah skema affine atau spektra utama, yang merupakan ruang berdering lokal, yang membentuk kategori yang antiequivalent (ganda) untuk kategori cincin kesatuan komutatif, memperluas dualitas antara kategori varietas aljabar affine di atas lapangan k, dan kategori terbatas dihasilkan berkurang k-aljabar. Gluing berada di sepanjang topologi Zariski; seseorang dapat merekatkan dalam kategori ruang berdering lokal, tetapi juga, menggunakan penyematan Yoneda, dalam kategori presheave yang lebih abstrak dari set atas kategori skema affine.

Baca Juga : Inilah 7 Prinsip Menulis Esai Pekerjaan dan Pendidikan

Topologi Zariski dalam arti set-teoretik kemudian digantikan oleh topologi Zariski dalam arti topologi Grothendieck. Grothendieck memperkenalkan topologi Grothendieck dalam pikiran yang lebih eksotis tetapi secara geometris lebih halus dan lebih sensitif daripada topologi Zariski kasar, yaitu topologi étale, dan dua topologi Grothendieck datar: fppf dan fpqc. Saat ini beberapa contoh lain telah menjadi menonjol, termasuk topologi Nisnevich. Sheaves dapat lebih digeneralisasi ke tumpukan dalam arti Grothendieck, biasanya dengan beberapa kondisi representabilitas tambahan, yang mengarah ke tumpukan Artin dan, bahkan lebih halus, tumpukan Deligne-Mumford, keduanya sering disebut tumpukan aljabar.