Mempelajari Jaringan Langlands Yang Menghubungkan Teori Bilangan dan Geometri – Dalam matematika, program Langlands adalah web dugaan yang jauh dan berpengaruh tentang hubungan antara teori angka dan geometri. Diusulkan oleh Robert Langlands (1967, 1970), ia berusaha untuk menghubungkan kelompok Galois dalam teori angka aljabar dengan bentuk automorfik dan teori representasi kelompok aljabar atas bidang lokal dan adele.

Mempelajari Jaringan Langlands Yang Menghubungkan Teori Bilangan dan Geometri

transitionmathproject – Secara luas dipandang sebagai proyek terbesar tunggal dalam penelitian matematika modern, program Langlands telah digambarkan oleh Edward Frenkel sebagai “semacam teori matematika terpadu yang megah.”

Baca Juga : Penjelasan Pada Teori Dasar Matematika Tentang Bola Riemann Dan Hubungan Dengan Geometri

Latar belakang

Dalam konteks yang sangat luas, program ini dibangun berdasarkan ide-ide yang ada: filosofi bentuk cusp yang dirumuskan beberapa tahun sebelumnya oleh Harish-Chandra dan Gelfand (1963), pekerjaan dan pendekatan Harish-Chandra pada kelompok Kebohongan semisimple, dan dalam hal teknis formula jejak Selberg dan lainnya. Apa yang awalnya sangat baru dalam pekerjaan Langlands, selain kedalaman teknis, adalah usulan koneksi langsung ke teori angka, bersama dengan struktur organisasi yang kaya berhipotesis (yang disebut functoriality).

Misalnya, dalam karya Harish-Chandra seseorang menemukan prinsip bahwa apa yang dapat dilakukan untuk satu kelompok Kebohongan semisimple (atau reduktif), harus dilakukan untuk semua. Oleh karena itu, setelah peran beberapa kelompok Kebohongan ber dimensi rendah seperti GL(2) dalam teori bentuk modular telah diakui, dan dengan hindsight GL(1) dalam teori lapangan kelas, cara itu terbuka setidaknya untuk spekulasi tentang GL(n) untuk umum n > 2.

Ide bentuk cusp keluar dari cusps pada kurva modular tetapi juga memiliki arti yang terlihat dalam teori spektral sebagai “spektrum diskrit”, kontras dengan “spektrum berkelanjutan” dari seri Eisenstein. Ini menjadi jauh lebih teknis untuk kelompok Kebohongan yang lebih besar, karena subkelompok parabola lebih banyak.

Dalam semua pendekatan ini tidak ada kekurangan metode teknis, sering induktif di alam dan berdasarkan penguraian Levi di antara hal-hal lain, tetapi lapangan itu dan sangat menuntut. Dan di sisi bentuk modular, ada contoh seperti bentuk modular Hilbert, bentuk modular Siegel, dan seri theta.

Objek

Ada sejumlah dugaan Langlands terkait. Ada banyak kelompok yang berbeda di atas banyak bidang yang berbeda yang dapat dinyatakan, dan untuk setiap bidang ada beberapa versi yang berbeda dari dugaan. Beberapa versi dari dugaan Langlands samar-samar, atau tergantung pada objek seperti kelompok Langlands, yang keberadaannya tidak terbukti, atau pada kelompok L yang memiliki beberapa definisi yang tidak efisien. Selain itu, dugaan Langlands telah berevolusi sejak Langlands pertama kali menyatakannya pada tahun 1967.

Ada berbagai jenis objek yang dugaan Langlands dapat dinyatakan:

Representasi kelompok reduktif di atas bidang lokal (dengan subcas berbeda yang sesuai dengan bidang lokal kuno, bidang lokal p-adic, dan penyelesaian bidang fungsi)

Bentuk automorfik pada grup reduktif di atas bidang global (dengan subcas yang terkait dengan bidang angka atau bidang fungsi).

Bidang terbatas. Langlands awalnya tidak mempertimbangkan kasus ini, tetapi dugaannya memiliki analog untuk itu. Bidang yang lebih umum, seperti bidang fungsi di atas bilangan kompleks.

Timbal balik

Titik awal program dapat dilihat sebagai hukum timbal balik Emil Artin, yang mengeralisasi timbal balik kuadrat. Undang-undang timbal balik Artin berlaku untuk perpanjangan Galois dari bidang angka aljabar yang kelompok Galoisnya abelian; ini menetapkan fungsi L untuk representasi satu dimensi dari kelompok Galois ini, dan menyatakan bahwa fungsi L.

Ini identik dengan seri L Dirichlet tertentu atau seri yang lebih umum (yaitu, analog tertentu dari fungsi zeta Riemann) yang dibangun dari karakter Hecke. Korespondensi yang tepat antara berbagai jenis fungsi L ini merupakan hukum timbal balik Artin.

Untuk kelompok Galois non-abelian dan representasi dimensi yang lebih tinggi dari mereka, seseorang masih dapat mendefinisikan fungsi L dengan cara alami: Artin L-functions.

Wawasan Langlands adalah untuk menemukan generalisasi yang tepat dari Dirichlet L-functions, yang akan memungkinkan perumusan pernyataan Artin dalam pengaturan yang lebih umum ini. Hecke sebelumnya terkait Dirichlet L-functions dengan bentuk automorfik. Langlands kemudian menggenalkan ini ke representasi cuspidal automorfik, yang merupakan representasi tak tereduksi dimensi tertentu dari kelompok linear umum GL(n) di atas cincin.

Langlands melampirkan fungsi L automorfik ke representasi automorfik ini, dan menyatakan bahwa setiap fungsi Artin L yang timbul dari representasi dimensi terbatas dari kelompok Galois dari bidang angka sama dengan yang timbul dari representasi cuspidal automorfik. Ini dikenal sebagai “dugaan timbal baliknya”.

Secara kasar, dugaan timbal balik memberikan korespondensi antara representasi automorfik dari kelompok reduktif dan homomorfisme dari kelompok Langlands ke kelompok L. Ada banyak variasi ini, sebagian karena definisi kelompok Langlands dan L-group tidak tetap.

Di atas bidang lokal ini diharapkan untuk memberikan parameterisasi L-paket representasi tereduksi yang dapat diterima dari kelompok reduktif di atas bidang lokal. Misalnya, melalui angka riil, korespondensi ini adalah klasifikasi Langlands dari representasi kelompok reduktif nyata. Di atas bidang global, itu harus memberikan parameterisasi bentuk automorfik.

Functoriality

Dugaan functoriality menyatakan bahwa homomorfisme yang cocok dari kelompok-L diharapkan memberikan korespondensi antara bentuk automorfik (dalam kasus global) atau representasi (dalam kasus lokal). Secara kasar, dugaan timbal balik Langlands adalah kasus khusus dugaan functoriality ketika salah satu kelompok reduktif sepele.

Funktorialitas umum

Langlands menaungi gagasan functoriality: alih-alih menggunakan grup linear umum GL(n), kelompok reduktif terhubung lainnya dapat digunakan. Selain itu, mengingat kelompok G seperti itu, Langlands membangun kelompok ganda Langlands LG, dan kemudian, untuk setiap representasi cuspidal automorfik G dan setiap representasi dimensi terbatas dari LG, ia mendefinisikan fungsi L.

Salah satu dugaannya menyatakan bahwa fungsi-L ini memuaskan persamaan fungsional tertentu yang mengeralisasi fungsi L lainnya yang diketahui.

Dia kemudian melanjutkan untuk merumuskan “Prinsip Functoriality” yang sangat umum. Mengingat dua kelompok reduktif dan morfisme (berperilaku baik) antara kelompok L yang sesuai, dugaan ini berkaitan dengan representasi automorfik mereka dengan cara yang kompatibel dengan fungsi L mereka.

Dugaan functoriality ini menyiratkan semua dugaan lain yang disajikan sejauh ini. Ini adalah sifat konstruksi representasi yang diinduksi — apa dalam teori bentuk automorfik yang lebih tradisional telah disebut ‘mengangkat’, yang dikenal dalam kasus-kasus khusus, dan begitu juga kovarians (sedangkan representasi terbatas adalah kontravarian). Upaya untuk menentukan konstruksi langsung hanya menghasilkan beberapa hasil bersyarat.Semua dugaan ini dapat dirumuskan untuk bidang yang lebih umum

Dugaan geometris

Program Geometris Langlands, yang disarankan oleh Gérard Laumon mengikuti ide-ide Vladimir Drinfeld, muncul dari reformulasi geometris dari program Langlands biasa yang berusaha menghubungkan lebih dari sekadar representasi yang tidak tereduksi. Dalam kasus sederhana, ini berkaitan dengan representasi l-adic dari kelompok dasar étale dari kurva aljabar ke objek kategori turunan l-adic sheaves pada tumpukan moduli bundel vektor di atas kurva.

Status

Dugaan Langlands untuk GL(1, K) mengikuti dari (dan pada dasarnya setara dengan) teori lapangan kelas. Langlands membuktikan dugaan Langlands untuk kelompok-kelompok di atas ladang lokal kuno dengan memberikan klasifikasi Langlands dari representasi mereka yang tereduksi. Klasifikasi Lusztig tentang representasi teredukasi dari kelompok-kelompok jenis Kebohongan di atas bidang terbatas dapat dianggap sebagai analog dari dugaan Langlands untuk bidang terbatas.

Baca Juga : Sejarah Teori Coding, Coding Kriptografi

Pada tahun 1998, Laurent Lafforgue membuktikanorema Lafforgue memverifikasi dugaan Langlands untuk kelompok linier umum GL(n, K) untuk bidang fungsi K. Pekerjaan ini berlanjut penyelidikan sebelumnya oleh Drinfeld, yang membuktikan kasus GL(2, K) pada 1980-an.

Pada tahun 2018, Vincent Lafforgue mendirikan korespondensi Global Langlands (arah dari bentuk automorfik ke representasi Galois) untuk kelompok reduktif yang terhubung melalui bidang fungsi global.

Dugaan-dugaan lokal Langlands

Philip Kutzko (1980) membuktikan dugaan langlands lokal untuk kelompok linier umum GL(2, K) di atas bidang lokal. Gérard Laumon, Michael Rapoport, dan Ulrich Stuhler (1993) membuktikan dugaan Langlands lokal untuk kelompok linier umum GL(n, K) untuk bidang lokal karakteristik positif K. Bukti mereka menggunakan argumen global. Richard Taylor dan Michael Harris (2001) membuktikan dugaan Langlands setempat untuk kelompok linier umum GL(n, K) untuk karakteristik 0 bidang lokal K. Guy Henniart (2000) memberikan bukti lain. Kedua bukti menggunakan argumen global. Peter Scholze (2013) memberikan bukti lain.