Mengenal Lebih Dalam Tentang Sistem Koefisien Persamaan Linear Matematika – Koefisien persamaan adalah bilangan real atau kompleks dan solusinya dicari dalam himpunan bilangan yang sama, tetapi teori dan algoritma berlaku untuk koefisien dan solusi dalam bidang apa pun. Untuk solusi dalam domain integral seperti ring bilangan bulat, atau dalam struktur aljabar lainnya, teori lain telah dikembangkan, lihat Persamaan linier di atas ring.

Mengenal Lebih Dalam Tentang Sistem Koefisien Persamaan Linear Matematika

transitionmathproject – Pemrograman linier bilangan bulat adalah kumpulan metode untuk menemukan solusi bilangan bulat “terbaik” (bila ada banyak). Teori dasar Grobner menyediakan algoritma ketika koefisien dan yang tidak diketahui adalah polinomial. Juga geometri tropis adalah contoh aljabar linier dalam struktur yang lebih eksotis.

Baca Juga : Proyektif Dalam Representasi, Transformasi Linier yang Dapat Dibalik

Bentuk umum

Hal ini memungkinkan semua bahasa dan teori ruang vektor (atau lebih umum, modul) untuk dibawa. Sebagai contoh, kumpulan semua kemungkinan kombinasi linier dari vektor-vektor di ruas kiri disebut rentangnya, dan persamaan memiliki solusi hanya ketika vektor ruas kanan berada dalam rentang tersebut.

Jika setiap vektor dalam rentang tersebut memiliki tepat satu ekspresi sebagai kombinasi linier dari vektor kiri yang diberikan, maka solusi apa pun adalah unik.

Bagaimanapun, rentang memiliki basis vektor bebas linier yang menjamin tepat satu ekspresi. dan jumlah vektor dalam basis tersebut (dimensinya) tidak boleh lebih besar dari m atau n, tetapi bisa lebih kecil. Ini penting karena jika kita memiliki m vektor independen, solusi dijamin terlepas dari sisi kanan, dan sebaliknya tidak dijamin.

Interpretasi geometris

Untuk sistem yang melibatkan dua variabel (x dan y), setiap persamaan linier menentukan garis pada bidang xy. Karena solusi sistem linier harus memenuhi semua persamaan, himpunan solusi adalah perpotongan garis-garis ini, dan karenanya merupakan garis, titik tunggal, atau himpunan kosong.

Jadi himpunan penyelesaian dapat berupa bidang, garis, titik tunggal, atau himpunan kosong. Misalnya, karena tiga bidang paralel tidak memiliki titik yang sama, himpunan solusi persamaannya kosong. himpunan solusi persamaan tiga bidang yang berpotongan di suatu titik adalah titik tunggal.

Jika tiga bidang melewati dua titik, persamaan mereka memiliki setidaknya dua solusi umum. sebenarnya himpunan solusi tidak terbatas dan terdiri dari semua garis yang melalui titik-titik ini. Untuk n variabel, setiap persamaan linier menentukan hyperplane dalam ruang n-dimensi. Himpunan solusi adalah perpotongan dari hyperplane ini, dan datar, yang mungkin memiliki dimensi lebih rendah dari n.

Perilaku umum

Sistem pertama memiliki banyak solusi tak terhingga, yaitu semua titik pada garis biru. Sistem kedua memiliki solusi tunggal yang unik, yaitu perpotongan dua garis. Sistem ketiga tidak memiliki solusi, karena tiga garis tidak memiliki titik yang sama.

Harus diingat bahwa gambar di atas hanya menunjukkan kasus yang paling umum (kasus umum). Sistem dengan dua persamaan dan dua yang tidak diketahui mungkin tidak memiliki solusi (jika kedua garis sejajar), atau sistem dengan tiga persamaan dan dua yang tidak diketahui dapat diselesaikan (jika ketiga garis berpotongan di satu titik).

Persamaan sistem linier adalah independen jika tidak ada persamaan yang dapat diturunkan secara aljabar dari yang lain. Ketika persamaan independen, setiap persamaan berisi informasi baru tentang variabel, dan menghapus salah satu persamaan meningkatkan ukuran himpunan solusi. Untuk persamaan linier, independensi logis sama dengan independensi linier.

Konsistensi

Dalam matematika dan khususnya dalam aljabar, sistem persamaan linier atau nonlinier disebut konsisten jika setidaknya ada satu set nilai untuk yang tidak diketahui yang memenuhi setiap persamaan dalam sistem yaitu, ketika disubstitusikan ke setiap persamaan, mereka membuat setiap persamaan berlaku sebagai identitas. Sebaliknya, sistem persamaan linier atau nonlinier disebut tidak konsisten jika tidak ada himpunan nilai untuk yang tidak diketahui yang memenuhi semua persamaan.

Jika suatu sistem persamaan tidak konsisten, maka dimungkinkan untuk memanipulasi dan menggabungkan persamaan sedemikian rupa untuk memperoleh informasi yang kontradiktif, seperti 2 = 1, atau x3 + y3 = 5 dan x3 + y3 = 6 (yang berarti 5 = 6).

Kedua jenis sistem persamaan, konsisten dan tidak konsisten, dapat berupa overdetermined (memiliki lebih banyak persamaan daripada yang tidak diketahui), underdetermined (memiliki persamaan lebih sedikit daripada yang tidak diketahui), atau ditentukan secara tepat.

Suatu sistem linier tidak konsisten jika tidak memiliki solusi, dan sebaliknya dikatakan konsisten. Ketika sistem tidak konsisten, adalah mungkin untuk menurunkan kontradiksi dari persamaan, yang selalu dapat ditulis ulang sebagai pernyataan 0 = 1.

Ada kemungkinan tiga persamaan linier menjadi tidak konsisten, meskipun ada dua persamaan yang konsisten bersama-sama. Misalnya persamaan tidak konsisten menjumlahkan dua persamaan pertama menghasilkan 3x + 2y = 2, yang dapat dikurangkan dari persamaan ketiga untuk menghasilkan 0 = 1. Setiap dua persamaan ini memiliki solusi yang sama. Fenomena yang sama dapat terjadi untuk sejumlah persamaan.

Sistem persamaan yang ruas kirinya bebas linier selalu konsisten. Dengan kata lain, menurut teorema Rouché-Capelli, sistem persamaan apa pun (tertentu atau sebaliknya) tidak konsisten jika peringkat peringkat matriks koefisien.

Peringkat sistem persamaan (yaitu peringkat matriks yang diperbesar) tidak pernah lebih tinggi dari + 1, yang berarti bahwa sistem dengan sejumlah persamaan selalu dapat direduksi menjadi sistem yang memiliki jumlah persamaan bebas yang paling banyak sama dengan + 1.

Persamaan derajatnya

Dua sistem linier yang menggunakan himpunan variabel yang sama adalah ekuivalen jika setiap persamaan pada sistem kedua dapat diturunkan secara aljabar dari persamaan pada sistem pertama, dan sebaliknya.

Dua sistem ekuivalen jika keduanya tidak konsisten atau setiap persamaan dari masing-masing sistem merupakan kombinasi linier dari persamaan yang lain. Oleh karena itu, dua sistem linier adalah ekuivalen jika dan hanya jika mereka memiliki himpunan solusi yang sama.

Metode lain

Sementara sistem tiga atau empat persamaan dapat dengan mudah diselesaikan dengan tangan (lihat Cracovian), komputer sering digunakan untuk sistem yang lebih besar. Algoritma standar untuk menyelesaikan sistem persamaan linier didasarkan pada eliminasi Gauss dengan beberapa modifikasi.

Pertama, penting untuk menghindari pembagian dengan angka kecil, yang dapat menyebabkan hasil yang tidak akurat. Ini dapat dilakukan dengan menyusun ulang persamaan jika perlu, sebuah proses yang dikenal sebagai pivoting.

Kedua, algoritma tidak secara tepat melakukan eliminasi Gaussian, tetapi menghitung dekomposisi LU dari matriks A. Ini sebagian besar merupakan alat organisasi, tetapi jauh lebih cepat jika seseorang harus menyelesaikan beberapa sistem dengan matriks A yang sama tetapi vektor yang berbeda b.

Baca Juga : Penjelasan Secara Mendalam Tentang Mekanika Kuantum

Jika matriks A memiliki beberapa struktur khusus, ini dapat dimanfaatkan untuk mendapatkan algoritma yang lebih cepat atau lebih akurat. Misalnya, sistem dengan matriks definit positif simetris dapat diselesaikan dua kali lebih cepat dengan dekomposisi Cholesky. Rekursi Levinson adalah metode cepat untuk matriks Toeplitz. Metode khusus juga ada untuk matriks dengan banyak elemen nol (disebut matriks jarang), yang sering muncul dalam aplikasi.

Pendekatan yang sama sekali berbeda sering diambil untuk sistem yang sangat besar, yang jika tidak, akan memakan terlalu banyak waktu atau memori. Idenya adalah untuk memulai dengan pendekatan awal untuk solusi (yang tidak harus akurat sama sekali), dan mengubah pendekatan ini dalam beberapa langkah untuk membawanya lebih dekat ke solusi yang benar. Setelah aproksimasi cukup akurat, ini dianggap sebagai solusi untuk sistem. Ini mengarah ke kelas metode iteratif. Untuk beberapa matriks jarang, pengenalan keacakan meningkatkan kecepatan metode iteratif.