Rentang Linear

Mengenal Rentang Linear dan Kombinasi Linear Dilengkapi Dengan Contoh Soal – Dalam matematika, rentang linear (juga disebut lambung linear atau hanya rentang) dari satu set S vektor (dari ruang vektor), menunjukkan rentang (S), adalah subspace linear terkecil yang berisi set. Ini dapat dicirikan baik sebagai persimpangan semua subspace linear yang berisi S, atau sebagai kumpulan kombinasi linear elemen S. Rentang linier dari satu set vektor oleh karena itu adalah ruang vektor. Rentang dapat direalisasi ke matroid dan modul.

Mengenal Rentang Linear dan Kombinasi Linear Dilengkapi Dengan Contoh Soal

transitionmathproject – Untuk mengekspresikan bahwa ruang vektor V adalah rentang set S, yang biasanya menggunakan frasa berikut: S spans V; S menghasilkan V; V di spanned oleh S; V dihasilkan oleh S; S adalah satu set V; S adalah satu set pembangkit V.

Definisi

Mengingat ruang vektor V di atas bidang K, rentang satu set S vektor (belum tentu tak terbatas) didefinisikan sebagai persimpangan W dari semua subspace V yang berisi S. W disebut sebagai subspace yang dilengserkan oleh S, atau oleh vektor di S. Sebaliknya, S disebut set W yang membentang, dan kami mengatakan bahwa S membentang W.

Baca Juga : Kalau Kamu Suka Dengan Matematika, Harus Tau Dong Apa Itu Prinsip Kalkulus

Atau, rentang S dapat didefinisikan sebagai kumpulan semua kombinasi linear terbatas dari elemen (vektor) S, yang mengikuti dari definisi di atas.

Contoh

Ruang vektor riil R3 memiliki {(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} sebagai set spanning. Set spanning khusus ini juga merupakan dasar. Jika (−1, 0, 0) digantikan oleh (1, 0, 0), itu juga akan membentuk dasar kanonis R3. Rentang lain yang ditetapkan untuk ruang yang sama diberikan oleh {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (−1, 1⁄2, 3), (1, 1, 1)}, tetapi set ini bukan dasar, karena tergantung secara linear.

Set {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)} bukanlah set rentang R3, karena rentangnya adalah ruang semua vektor di R3 yang komponen terakhirnya adalah nol. Ruang itu juga dilengserkan oleh set {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}, sebagai (1, 1, 0) adalah kombinasi linier dari (1, 0, 0) dan (0, 1, 0). Namun, itu mencakup R2. (ketika ditafsirkan sebagai subset R3). Set kosong adalah set rentang {(0, 0, 0)}, karena set kosong adalah subset dari semua ruang vektor yang mungkin di R3, dan {(0, 0, 0)} adalah persimpangan semua spasi vektor ini.

Kumpulan fungsi xn di mana n adalah bilangan bulat non-negatif mencakup ruang polinomial.

Teorema

Theorem 1: Subspace yang dilengserkan oleh subset S non-kosong dari ruang vektor V adalah kumpulan semua kombinasi linear vektor di S.

Theorem ini sangat terkenal sehingga kadang-kadang, itu disebut sebagai definisi rentang satu set.

Theorem 2: Setiap set S dari ruang vektor V harus mengandung setidaknya sebanyak elemen sebagai seperangkat vektor independen linier dari V.

Theorem 3: Biarkan V menjadi ruang vektor dimensi terbatas. Setiap set vektor yang mencakup V dapat dikurangi menjadi dasar untuk V, dengan membuang vektor jika perlu (yaitu jika ada vektor yang tergantung secara linear dalam set). Jika aksioma pilihan bertahan, ini benar tanpa asumsi bahwa V memiliki dimensi terbatas. Ini juga menunjukkan bahwa dasar adalah set spanning minimal ketika V ber dimensi terbatas.

Rentang Linear Tertutup (analisis fungsional)

Rentang linear tertutup dari set fungsi xn pada interval , di mana n adalah bilangan bulat non-negatif, tergantung pada norma yang digunakan. Jika norma L2 digunakan, maka rentang linear tertutup adalah ruang Hilbert dari fungsi persegi yang dapat diintegrasikan pada interval. Tetapi jika norma maksimum digunakan, rentang linear tertutup akan menjadi ruang fungsi berkelanjutan pada interval. Dalam kedua kasus, rentang linear tertutup mengandung fungsi yang bukan polinomial, dan begitu juga tidak dalam rentang linear itu sendiri. Namun, kardinalitas set fungsi dalam rentang linier tertutup adalah kardinalitas kontinum, yang merupakan kardinalitas yang sama seperti untuk set polinomial.

Kombinasi Linear

Dalam matematika, kombinasi linear adalah ekspresi yang dibangun dari serangkaian istilah dengan mengalikan setiap istilah dengan konstanta dan menambahkan hasil (misalnya kombinasi linear x dan y akan menjadi ekspresi bentuk sumbu + oleh, di mana a dan b adalah konstanta). Konsep kombinasi linier adalah pusat aljabar linear dan bidang matematika terkait. Sebagian besar artikel ini berkaitan dengan kombinasi linear dalam konteks ruang vektor di atas bidang, dengan beberapa generalisasi yang diberikan di akhir artikel.

Definisi

Ada beberapa ambiguitas dalam penggunaan istilah “kombinasi linear” apakah itu mengacu pada ekspresi atau nilainya. Dalam kebanyakan kasus, nilai ditekankan, seperti dalam pernyataan “set semua kombinasi linear v1,…,vn selalu membentuk subspace”. Namun, seseorang juga bisa mengatakan “dua kombinasi linier yang berbeda dapat memiliki nilai yang sama” dalam hal ini referensinya adalah ekspresi. Perbedaan halus antara penggunaan ini adalah esensi dari gagasan ketergantungan linier: keluarga F vektor secara linear independen justru jika kombinasi linier vektor di F (sebagai nilai) secara unik demikian (sebagai ekspresi). Bagaimanapun, bahkan jika dilihat sebagai ekspresi, yang penting tentang kombinasi linier adalah koefisien masing-masing vi; Modifikasi sepele seperti melangsingkan istilah atau menambahkan istilah dengan koefisien nol tidak menghasilkan kombinasi linier yang berbeda.

Dalam situasi tertentu, K dan V dapat ditentukan secara eksplisit, atau mungkin jelas dari konteks. Dalam hal ini, kita sering berbicara tentang kombinasi linier dari vektor v1,…,vn, dengan koefisien yang tidak ditentukan (kecuali bahwa mereka harus milik K). Atau, jika S adalah subset V, kita dapat berbicara tentang kombinasi linear vektor di S, di mana koefisien dan vektor tidak ditentukan, kecuali bahwa vektor harus milik set S (dan koefisien harus milik K). Akhirnya, kita dapat berbicara hanya tentang kombinasi linier, di mana tidak ada yang ditentukan (kecuali bahwa vektor harus milik V dan koefisien harus milik K); dalam hal ini seseorang mungkin mengacu pada ekspresi, karena setiap vektor di V tentu saja merupakan nilai dari beberapa kombinasi linier.

Perhatikan bahwa menurut definisi, kombinasi linear hanya melibatkan banyak vektor terbatas (kecuali seperti yang dijelaskan dalam Generalisasi di bawah). Namun, set S yang diambil vektor (jika seseorang disebutkan) masih bisa tak terbatas; setiap kombinasi linier individu hanya akan melibatkan banyak vektor. Juga, tidak ada alasan bahwa n tidak bisa nol; dalam hal ini, kami menyatakan dengan konvensi bahwa hasil dari kombinasi linear adalah vektor nol dalam V.

Kombinasi Affine, Conical, dan Cembung

Dengan membatasi koefisien yang digunakan dalam kombinasi linier, seseorang dapat menentukan konsep terkait kombinasi affine, kombinasi kerucut, dan kombinasi cembung, dan gagasan terkait dari set yang ditutup di bawah operasi ini.

Karena ini adalah operasi yang lebih terbatas, lebih banyak subset akan ditutup di bawahnya, sehingga subset affine, kerucut cembung, dan set cembung adalah generalisasi subspace vektor: subspace vektor juga merupakan subspace affine, kerucut cembung, dan set cembung, tetapi set cembung tidak perlu subspace vektor, affine, atau convex cone.

Konsep-konsep ini sering muncul ketika seseorang dapat mengambil kombinasi objek linier tertentu, tetapi tidak ada: misalnya, distribusi probabilitas ditutup di bawah kombinasi cembung (mereka membentuk set cembung), tetapi bukan kombinasi kerucut atau affine (atau linier), dan langkah-langkah positif ditutup di bawah kombinasi kerucut tetapi tidak affine atau linear – oleh karena itu satu mendefinisikan langkah-langkah yang ditandatangani sebagai penutupan linier.

Kombinasi linear dan affine dapat didefinisikan di atas bidang apa pun (atau cincin), tetapi kombinasi kerucut dan cembung membutuhkan gagasan “positif”, dan karenanya hanya dapat didefinisikan di atas bidang yang dipesan (atau cincin yang dipesan), umumnya angka riil.

Jika seseorang hanya memungkinkan perkalian skalar, bukan penambahan, seseorang memperoleh kerucut (belum tentu cembung); seseorang sering membatasi definisi untuk hanya memungkinkan perkalian oleh skalar positif.

Semua konsep ini biasanya didefinisikan sebagai subset ruang vektor sekitar (kecuali untuk ruang affine, yang juga dianggap sebagai “ruang vektor melupakan asal”), daripada direksiomatisasi secara independen.

Generalisasi

Jika V adalah ruang vektor topologis, maka mungkin ada cara untuk memahami kombinasi linier tertentu yang tak terbatas, menggunakan topologi V. Misalnya, kita mungkin dapat berbicara tentang a1v1 + a2v2 + a3v3 + ⋯, berlangsung selamanya. Kombinasi linier tak terbatas seperti itu tidak selalu masuk akal; Kami menyebutnya konvergen ketika mereka melakukannya. Memungkinkan kombinasi yang lebih linier dalam hal ini juga dapat mengarah pada konsep rentang, kemandirian linier, dan dasar yang berbeda. Artikel tentang berbagai rasa ruang vektor topologis masuk ke lebih detail tentang ini.

Baca Juga : Cara Menulis Esai Akademik yang Baik dan Benar

Jika K adalah cincin komutasi alih-alih lapangan, maka semua yang telah dikatakan di atas tentang kombinasi linear digeneralisasi ke kasus ini tanpa perubahan. Satu-satunya perbedaan adalah bahwa kita menyebut ruang seperti modul V ini bukan ruang vektor. Jika K adalah cincin nonkomutasi, maka konsepnya masih digeneralisasi, dengan satu peringatan: Karena modul di atas cincin nonkomutasi datang dalam versi kiri dan kanan, kombinasi linier kami juga dapat datang di salah satu versi ini, apa pun yang sesuai untuk modul yang diberikan. Ini hanya masalah melakukan perkalian skalar di sisi yang benar.

Twist yang lebih rumit datang ketika V adalah bimodule di atas dua cincin, KL dan KR. Dalam hal ini, kombinasi linear paling umum terlihat seperti