Mengulas Aljabar Clifford Dalam Matematika – Dalam matematika, aljabar Clifford adalah aljabar yang dihasilkan oleh ruang vektor dengan bentuk kuadrat, dan merupakan aljabar asosiatif unital. Sebagai K-aljabar, mereka menggeneralisasi bilangan real, bilangan kompleks, angka empat dan beberapa sistem bilangan hiperkompleks lainnya. Teori aljabar Clifford berhubungan erat dengan teori bentuk kuadrat dan transformasi ortogonal.

Mengulas Aljabar Clifford Dalam Matematika

transitionmathproject – Aljabar Clifford memiliki aplikasi penting dalam berbagai bidang termasuk geometri, fisika teoretis, dan pemrosesan gambar digital. Mereka dinamai matematikawan Inggris William Kingdon Clifford. Aljabar Clifford yang paling dikenal, aljabar Clifford ortogonal, juga disebut sebagai aljabar Clifford (semu) Riemannian, yang berbeda dari aljabar Clifford symplectic. Aljabar Clifford adalah aljabar asosiatif satuan yang berisi dan dihasilkan oleh ruang vektor V di atas bidang K, di mana V dilengkapi dengan bentuk kuadrat Q : V → K. Aljabar Clifford Cl(V, Q) adalah “aljabar bebas” ” aljabar asosiatif unital yang dihasilkan oleh V tunduk pada kondisi di mana produk di sebelah kiri adalah aljabar, dan 1 adalah identitas perkaliannya.

Baca Juga : Mengulas Tentang Aljabar Tensor dan Aljabar Eksterior

Gagasan menjadi aljabar “paling bebas” atau “paling umum” yang tunduk pada identitas ini dapat diungkapkan secara formal melalui gagasan tentang sifat universal, seperti yang dilakukan di bawah ini. Di mana V adalah ruang vektor real berdimensi-hingga dan Q tidak berdegenerasi, Cl(V, Q) dapat diidentifikasi dengan label Clp,q(R), yang menunjukkan bahwa V memiliki basis ortogonal dengan elemen p dengan ei2 = +1, q dengan ei2 = 1, dan di mana R menunjukkan bahwa ini adalah aljabar Clifford di atas real. yaitu koefisien elemen aljabar adalah bilangan real. Dasar ini dapat ditemukan dengan diagonalisasi ortogonal.

Aljabar bebas yang dihasilkan oleh V dapat ditulis sebagai aljabar tensor n≥0 V ⊗ V, yaitu, jumlah produk tensor dari n salinan V atas semua n, dan aljabar Clifford akan menjadi hasil bagi aljabar tensor ini dengan ideal dua sisi yang dihasilkan oleh elemen bentuk v v − Q(v)1 untuk semua elemen v V. Produk yang diinduksi oleh produk tensor dalam aljabar hasil bagi ditulis menggunakan penjajaran (misalnya uv ). Keterkaitannya mengikuti asosiatifitas produk tensor. Aljabar Clifford memiliki subruang V yang berbeda, yang merupakan citra dari peta yang disematkan. Subruang seperti itu secara umum tidak dapat ditentukan secara unik dengan hanya diberikan isomorfik aljabar K terhadap aljabar Clifford.

Bentuk kuadrat dan aljabar Clifford dalam karakteristik 2 membentuk kasus luar biasa. Khususnya, jika char(K) = 2 tidak benar bahwa bentuk kuadrat secara unik menentukan bentuk bilinear simetris yang memenuhi Q(v) = v, v⟩, atau bahwa setiap bentuk kuadrat memiliki basis ortogonal. Banyak pernyataan dalam artikel ini menyertakan kondisi bahwa karakteristiknya bukan 2, dan salah jika kondisi ini dihilangkan. Aljabar Clifford terkait erat dengan aljabar eksterior. Memang, jika Q = 0 maka aljabar Clifford Cl(V, Q) hanyalah aljabar luar (V). Untuk Q tak nol terdapat isomorfisme linier kanonik antara (V) dan Cl(V, Q) setiap kali medan dasar K tidak memiliki karakteristik dua. Artinya, mereka secara alami isomorfik sebagai ruang vektor, tetapi dengan perkalian yang berbeda (dalam kasus karakteristik dua, mereka masih isomorfik sebagai ruang vektor, hanya saja tidak alami).

Perkalian Clifford bersama dengan subruang yang dibedakan benar-benar lebih kaya daripada produk eksterior karena menggunakan informasi tambahan yang diberikan oleh Q. Aljabar Clifford adalah aljabar yang difilter, aljabar bertingkat yang terkait adalah aljabar eksterior. Lebih tepatnya, aljabar Clifford dapat dianggap sebagai kuantisasi (lih. kelompok kuantum) dari aljabar eksterior, dengan cara yang sama bahwa aljabar Lie adalah kuantisasi aljabar simetris. Aljabar Weyl dan Aljabar Clifford mengakui struktur lebih lanjut dari aljabar *, dan dapat disatukan sebagai suku genap dan ganjil dari superaljabar, seperti yang dibahas dalam aljabar CCR dan CAR.

Properti dan konstruksi universal

Produk cincin yang diwarisi oleh hasil bagi ini kadang-kadang disebut sebagai produk Clifford untuk membedakannya dari produk eksterior dan produk skalar. Kemudian langsung ditunjukkan bahwa Cl(V, Q) mengandung V dan memenuhi sifat universal di atas, sehingga Cl unik hingga isomorfisme unik. jadi orang berbicara tentang “aljabar Clifford Cl(V, Q). Ini juga mengikuti dari konstruksi ini bahwa i adalah injektif. Satu biasanya menjatuhkan i dan menganggap V sebagai subruang linier dari Cl(V, Q).

Karakterisasi universal aljabar Clifford menunjukkan bahwa konstruksi Cl(V, Q) bersifat fungsional. Yaitu, Cl dapat dianggap sebagai functor dari kategori ruang vektor dengan bentuk kuadrat (yang morfismenya adalah peta linier yang melestarikan bentuk kuadrat) ke kategori aljabar asosiatif. Properti universal menjamin bahwa peta linier antara ruang vektor (mempertahankan bentuk kuadrat) meluas secara unik ke homomorfisme aljabar antara aljabar Clifford terkait.

Properti

Diberikan ruang vektor V seseorang dapat menyusun aljabar luar (V), yang definisinya tidak bergantung pada bentuk kuadrat apa pun pada V. Ternyata jika K tidak memiliki karakteristik 2 maka terdapat isomorfisme alami antara (V) dan Cl(V, Q) dianggap sebagai ruang vektor (dan terdapat isomorfisme dalam karakteristik dua, yang mungkin tidak alami). Ini adalah isomorfisme aljabar jika dan hanya jika Q = 0. Dengan demikian, seseorang dapat menganggap aljabar Clifford Cl(V, Q) sebagai pengayaan (atau lebih tepatnya, kuantisasi, lih. Pendahuluan) aljabar eksterior pada V dengan a perkalian yang bergantung pada Q (seseorang masih dapat menentukan hasilkali luar secara bebas dari Q).

Perhatikan bahwa ini hanya berfungsi jika basis {e1, …, en} ortogonal. Satu dapat menunjukkan bahwa peta ini tidak tergantung pada pilihan basis ortogonal dan memberikan isomorfisme alami. di mana jumlah diambil alih grup simetris pada k elemen, Sk. Karena fk bolak-balik menginduksi peta linier unik k(V) → Cl(V, Q). Jumlah langsung dari peta-peta ini memberikan peta linier antara (V) dan Cl(V, Q). Peta ini dapat ditunjukkan sebagai isomorfisme linier, dan itu wajar. Cara yang lebih canggih untuk melihat hubungan tersebut adalah dengan membuat filtrasi pada Cl(V, Q). Ingatlah bahwa aljabar tensor T(V) memiliki filtrasi alami: F0 F1 F2 , di mana Fk berisi jumlah tensor dengan orde k.

Memproyeksikan ini ke aljabar Clifford memberikan filtrasi pada Cl(V, Q).secara alami isomorfik ke aljabar eksterior (V). Karena aljabar bertingkat terkait dari aljabar terfilter selalu isomorfik terhadap aljabar terfilter sebagai ruang vektor terfilter (dengan memilih komplemen Fk dalam Fk+1 untuk semua k), ini memberikan isomorfisme (walaupun bukan isomorfisme alami) dalam karakteristik apa pun, bahkan dua. Di mana superskrip dalam kurung dibaca modulo 2. Ini memberikan Cl(V, Q) struktur aljabar bergradasi Z2. Subruang Cl (V, Q) membentuk subaljabar Cl(V, Q), yang disebut subaljabar genap. Subruang Cl (V, Q) disebut bagian ganjil dari Cl(V, Q) (bukan subaljabar). Pemeringkatan Z2 ini memainkan peran penting dalam analisis dan penerapan aljabar Clifford. Automorfisme disebut involusi utama atau involusi kelas. Unsur-unsur yang murni dalam gradasi Z2 ini secara sederhana dikatakan genap atau ganjil.

Baca Juga : Logika dan Filsafat Matematika

Dalam karakteristik bukan 2, ruang vektor yang mendasari Cl(V, Q) mewarisi peringkat-N dan peringkat-Z dari isomorfisme kanonik dengan ruang vektor yang mendasari aljabar luar (V). Penting untuk dicatat, bagaimanapun, bahwa ini adalah penilaian ruang vektor saja. Artinya, perkalian Clifford tidak mengikuti gradasi N atau gradasi Z, hanya grading Z2: misalnya jika Q(v) 0, maka v Cl1(V, Q), tetapi v2 Cl0(V, Q), bukan di Cl2(V, Q). Untungnya, gradasi terkait secara alami: Z2 N/2N Z/2Z. Subaljabar genap Cl (V, Q) dari aljabar Clifford itu sendiri isomorfik terhadap aljabar Clifford. Jika V adalah jumlah langsung ortogonal dari vektor a bernorma tak nol Q(a) dan subruang U, maka Cl (V, Q) isomorfik terhadap Cl(U, Q(a)Q), di mana Q(a)Q adalah bentuk Q terbatas pada U dan dikalikan dengan Q(a) Selain automorfisme , ada dua antiautomorfisme yang memainkan peran penting dalam analisis aljabar CliffordKarena IQ ideal adalah invarian di bawah pembalikan ini , operasi ini turun ke antiautomorfisme Cl(V, Q) yang disebut operasi transpos atau pembalikan, dilambangkan dengan xt.

Transpos adalah antiautomorfisme: (xy)t = yt xt. Operasi transpos tidak menggunakan gradasi Z2 jadi kami mendefinisikan antiautomorfisme kedua dengan menyusun dan transpos. Seseorang dapat memeriksa bahwa ini tereduksi ke bentuk bilinear asli ketika dibatasi ke V. Bentuk bilinear pada semua Cl(V, Q) nondegenerate jika dan hanya jika nondegenerate pada V. Operator perkalian Clifford kiri (masing-masing kanan) dengan transpos di elemen a adalah adjoint kiri (masing-masing kanan) perkalian Clifford dengan a terhadap inner ini produk.