Mengulas Aspek Aljabar Abstrak Dengan Metode Generalisasi – Artikel ini berfokus pada matriks yang entrinya adalah bilangan real atau kompleks. Namun, matriks dapat dianggap dengan jenis entri yang jauh lebih umum daripada bilangan real atau kompleks. Sebagai langkah pertama dari generalisasi, setiap bidang, yaitu, himpunan di mana operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian didefinisikan dan berperilaku baik, dapat digunakan sebagai pengganti R atau C, misalnya bilangan rasional atau bidang terbatas.

Mengulas Aspek Aljabar Abstrak Dengan Metode Generalisasi

transitionmathproject – Misalnya, teori pengkodean menggunakan matriks di atas bidang yang terbatas. Dimanapun nilai eigen dipertimbangkan, karena ini adalah akar dari polinomial, mereka mungkin hanya ada di bidang yang lebih besar daripada entri matriks. misalnya, mereka mungkin kompleks dalam kasus matriks dengan entri nyata.

Baca Juga : Matrix, Angka Atau Simbol Yang Diatur Dalam Baris Serta Kolom

Kemungkinan untuk menafsirkan ulang entri matriks sebagai elemen bidang yang lebih besar (misalnya, untuk melihat matriks nyata sebagai matriks kompleks yang entrinya semuanya nyata) kemudian memungkinkan mempertimbangkan setiap matriks persegi untuk memiliki set lengkap nilai eigen. Sebagai alternatif, seseorang dapat mempertimbangkan hanya matriks dengan entri dalam bidang tertutup aljabar, seperti C, dari awal.

Lebih umum, matriks dengan entri dalam ring R banyak digunakan dalam matematika. Cincin adalah gagasan yang lebih umum daripada bidang di mana operasi pembagian tidak perlu ada. Operasi penjumlahan dan perkalian matriks yang sama juga meluas ke pengaturan ini. Himpunan M(n, R) dari semua matriks bujur sangkar n-kali-n di atas R adalah cincin yang disebut cincin matriks, isomorfik terhadap cincin endomorfisme dari modul R kiri Rn.

Jika ring R komutatif, yaitu perkaliannya komutatif, maka M(n, R) adalah uniter noncommutative (kecuali n = 1) aljabar asosiatif terhadap R. Determinan matriks kuadrat di atas ring komutatif R masih dapat didefinisikan menggunakan rumus Leibniz. matriks seperti itu dapat dibalik jika dan hanya jika determinannya dapat dibalik di R, generalisasi situasi di atas bidang F, di mana setiap elemen tak nol dapat dibalik. Matriks di atas superring disebut supermatriks.

Matriks tidak selalu memiliki semua entri mereka di ring yang sama atau bahkan di ring manapun sama sekali. Satu kasus khusus tetapi umum adalah matriks blok, yang dapat dianggap sebagai matriks yang entrinya sendiri adalah matriks. Entri tidak perlu matriks persegi, dan dengan demikian tidak perlu menjadi anggota ring apapun. tetapi ukurannya harus memenuhi kondisi kompatibilitas tertentu.

penentu

Determinan matriks bujur sangkar A (dilambangkan det(A) atau |A|) adalah bilangan yang menyandikan sifat-sifat tertentu dari matriks. Suatu matriks dapat dibalik jika dan hanya jika determinannya bukan nol. Nilai absolutnya sama dengan luas (dalam R2) atau volume (dalam R3) dari gambar bujur sangkar (atau kubus), sedangkan tandanya sesuai dengan orientasi peta linier yang sesuai: determinannya positif jika dan hanya jika orientasi dipertahankan.

Menambahkan kelipatan baris mana pun ke baris lain, atau kelipatan kolom apa pun ke kolom lain tidak mengubah determinan. Pertukaran dua baris atau dua kolom mempengaruhi determinan dengan mengalikannya dengan 1. Dengan menggunakan operasi ini, matriks apa pun dapat ditransformasikan ke matriks segitiga bawah (atau atas), dan untuk matriks seperti itu, determinannya sama dengan produk entri pada diagonal utama. ini menyediakan metode untuk menghitung determinan matriks apa pun. Akhirnya, ekspansi Laplace mengungkapkan determinan dalam istilah minor, yaitu determinan matriks yang lebih kecil.

Perluasan ini dapat digunakan untuk definisi determinan rekursif (dengan mengambil kasus awal determinan matriks 1-kali-1, yang merupakan entri uniknya, atau bahkan determinan matriks 0-kali-0, yaitu 1) , yang dapat dilihat setara dengan rumus Leibniz. Determinan dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem linier menggunakan aturan Cramer, di mana pembagian determinan dari dua matriks persegi yang berhubungan sama dengan nilai dari masing-masing variabel sistem.

Polinomial pA dalam X tak tentu yang diberikan oleh evaluasi determinan det(XIn−A) disebut polinomial karakteristik A. Ini adalah polinomial monik derajat n. Oleh karena itu persamaan polinomial pA(λ) = 0 memiliki paling banyak n solusi yang berbeda, yaitu nilai eigen dari matriks. Mereka mungkin kompleks bahkan jika entri A adalah nyata. Menurut teorema Cayley–Hamilton, pA(A) = 0, yaitu, hasil mensubstitusi matriks itu sendiri ke dalam polinomial karakteristiknya menghasilkan matriks nol.

Aspek komputasi

Perhitungan matriks dapat sering dilakukan dengan teknik yang berbeda. Banyak masalah dapat diselesaikan dengan algoritma langsung atau pendekatan iteratif. Misalnya, vektor eigen dari matriks persegi dapat diperoleh dengan mencari barisan vektor xn yang konvergen ke vektor eigen ketika n cenderung tak terhingga.

Untuk memilih algoritma yang paling tepat untuk setiap masalah tertentu, penting untuk menentukan efektivitas dan presisi dari semua algoritma yang tersedia. Domain yang mempelajari hal-hal ini disebut aljabar linier numerik. Seperti situasi numerik lainnya, dua aspek utama adalah kompleksitas algoritma dan stabilitas numeriknya.

Menentukan kompleksitas suatu algoritma berarti menemukan batas atas atau perkiraan berapa banyak operasi dasar seperti penambahan dan perkalian skalar yang diperlukan untuk melakukan beberapa algoritma, misalnya perkalian matriks. Menghitung produk matriks dari dua matriks n-oleh-n menggunakan definisi yang diberikan di atas membutuhkan perkalian n3, karena untuk setiap entri n2 produk, n perkalian diperlukan.

Algoritma Strassen mengungguli algoritma “naif” ini. hanya membutuhkan perkalian n2.807. Pendekatan yang disempurnakan juga menggabungkan fitur spesifik dari perangkat komputasi. Dalam banyak situasi praktis, informasi tambahan tentang matriks yang terlibat diketahui. Kasus penting adalah matriks jarang, yaitu matriks yang sebagian besar entrinya adalah nol. Ada algoritma khusus yang diadaptasi untuk, katakanlah, penyelesaian sistem linier Ax = b untuk matriks jarang A, seperti metode gradien konjugasi.

Sebagian besar bahasa pemrograman komputer mendukung array tetapi tidak dirancang dengan perintah bawaan untuk matriks. Sebaliknya, perpustakaan eksternal yang tersedia menyediakan operasi matriks pada array, di hampir semua bahasa pemrograman yang digunakan saat ini. Manipulasi matriks adalah salah satu aplikasi numerik paling awal dari komputer.

Dartmouth BASIC asli memiliki perintah bawaan untuk aritmatika matriks pada array dari implementasi edisi kedua pada tahun 1964. Pada awal tahun 1970-an, beberapa komputer desktop teknik seperti HP 9830 memiliki kartrid ROM untuk menambahkan perintah BASIC untuk matriks. Beberapa bahasa komputer seperti APL dirancang untuk memanipulasi matriks, dan berbagai program matematika dapat digunakan untuk membantu komputasi dengan matriks.

Penguraian

Ada beberapa metode untuk membuat matriks menjadi bentuk yang lebih mudah diakses. Mereka umumnya disebut sebagai dekomposisi matriks atau teknik faktorisasi matriks. Kepentingan dari semua teknik ini adalah bahwa mereka mempertahankan sifat-sifat tertentu dari matriks yang bersangkutan, seperti determinan, peringkat, atau invers, sehingga jumlah ini dapat dihitung setelah menerapkan transformasi, atau bahwa operasi matriks tertentu secara algoritmik lebih mudah untuk dilakukan. untuk beberapa jenis matriks.

Faktor dekomposisi LU matriks sebagai produk dari bawah (L) dan matriks segitiga atas (U). Setelah dekomposisi ini dihitung, sistem linier dapat diselesaikan dengan lebih efisien, dengan teknik sederhana yang disebut substitusi maju dan mundur. Demikian juga, invers matriks segitiga secara algoritmik lebih mudah untuk dihitung. Eliminasi Gaussian adalah algoritma yang serupa.

Ia mengubah matriks apa pun menjadi bentuk eselon baris. Kedua metode dilanjutkan dengan mengalikan matriks dengan matriks dasar yang sesuai, yang sesuai dengan permutasi baris atau kolom dan menambahkan kelipatan dari satu baris ke baris lain. Dekomposisi nilai singular menyatakan setiap matriks A sebagai produk UDV∗, di mana U dan V adalah matriks kesatuan dan D adalah matriks diagonal.

Baca Juga : Misteri Inti Fisika yang Hanya Dapat Dipecahkan oleh Matematika

Dekomposisi eigen atau diagonalisasi menyatakan A sebagai produk VDV−1, di mana D adalah matriks diagonal dan V adalah matriks invertible yang sesuai. Jika A dapat ditulis dalam bentuk ini, maka A disebut dapat didiagonalisasi. Lebih umum, dan berlaku untuk semua matriks, dekomposisi Jordan mengubah matriks menjadi bentuk normal Jordan, yaitu matriks yang entri-entrinya yang bukan nol adalah nilai eigen 1 hingga n dari A, ditempatkan pada diagonal utama dan mungkin entri-entrinya sama dengan satu secara langsung di atas diagonal utama, seperti yang ditunjukkan di sebelah kanan.

Mengingat komposisi eigen, pangkat ke-n dari A (yaitu, perkalian matriks berulang n kali lipat) dapat dihitung melalui dan pangkat matriks diagonal dapat dihitung dengan mengambil pangkat yang sesuai dari entri diagonal, yang jauh lebih mudah daripada melakukan eksponensial untuk A sebagai gantinya. Ini dapat digunakan untuk menghitung matriks eksponensial eA, suatu kebutuhan yang sering muncul dalam menyelesaikan persamaan diferensial linier, logaritma matriks dan akar kuadrat dari matriks.. Untuk menghindari situasi numerik yang buruk, algoritma lebih lanjut seperti dekomposisi Schur dapat digunakan.