Mengulas Lebih Dalam Tentang Geometri kompleks – Dalam ilmu matematika, geometri kompleks merupakan studi tentang struktur dan konstruksi geometris yang muncul dari, atau dijelaskan oleh, bilangan kompleks . Secara khusus, geometri kompleks berkaitan dengan studi ruang seperti manifold kompleks dan aljabar kompleks , fungsi variabel kompleks , dan konstruksi holomorfik seperti bundel vektor holomorfik dan berkas koheren.

Mengulas Lebih Dalam Tentang Geometri kompleks

transitionmathproject – Penerapan metode transendental pada geometri aljabar termasuk dalam kategori ini, bersama dengan aspek geometris yang lebih banyak dari analisis kompleks. Geometri kompleks berada di persimpangan geometri aljabar, geometri diferensial , dan analisis kompleks, dan menggunakan alat dari ketiga area. Karena perpaduan teknik dan ide dari berbagai bidang, masalah dalam geometri kompleks seringkali lebih mudah dikerjakan atau konkret daripada pada umumnya.

Baca Juga : Matematika Pada Zaman Mesopotamia Kuno

Misalnya, klasifikasi manifold kompleks dan varietas aljabar kompleks melalui program model minimal dan konstruksi ruang modulus membedakan bidang dari geometri diferensial, di mana klasifikasi manifold halus yang mungkin adalah masalah yang jauh lebih sulit. Selain itu, struktur ekstra geometri kompleks memungkinkan, terutama dalam pengaturan yang ringkas , untukhasil analitik global yang akan dibuktikan dengan sukses besar, termasuk bukti Shing-Tung Yau tentang dugaan Calabi , korespondensi Hitchin–Kobayashi , korespondensi Hodge nonabelian , dan hasil keberadaan untuk metrik Kähler–Einstein dan kelengkungan skalar konstan metrik Kähler .

Geometri kompleks memiliki aplikasi yang signifikan untuk fisika teoretis, di mana sangat penting dalam memahami teori medan konformal , teori string , dan simetri cermin . Ini sering menjadi sumber contoh di bidang matematika lainnya, termasuk dalam teori representasi di mana varietas bendera umum dapat dipelajari menggunakan geometri kompleks yang mengarah ke teorema Borel-Weil-Bott , atau dalam geometri symplectic , di mana manifold Kähler adalah symplectic, di Riemannian geometri di mana lipatan kompleks memberikan contoh struktur metrik eksotis seperti lipatan Calabi–Yau danmanifold hyperkähler , dan dalam teori gauge , di mana bundel vektor holomorfik sering mengakui solusi untuk persamaan diferensial penting yang muncul dari fisika seperti persamaan Yang–Mills .

Geometri kompleks juga berpengaruh dalam geometri aljabar murni, di mana hasil analitik dalam pengaturan kompleks seperti teori Hodge dari manifold Kähler menginspirasi pemahaman tentang struktur Hodge untuk varietas dan skema serta teori Hodge p-adik , teori deformasi untuk manifold kompleks menginspirasi pemahaman tentang teori deformasi skema, dan hasil tentangcohomology dari manifold kompleks terinspirasi perumusan dugaan Weil dan Grothendieck ‘s dugaan standar.

Di sisi lain, hasil dan teknik dari banyak bidang ini sering memberi umpan balik ke geometri kompleks, dan misalnya perkembangan dalam matematika teori string dan simetri cermin telah mengungkapkan banyak tentang sifat manifold Calabi-Yau , yang diprediksi oleh ahli teori string. memiliki struktur fibrasi Lagrangian melalui dugaan SYZ , dan pengembangan teori Gromov-Witten tentang lipatan symplectic telah menyebabkan kemajuan dalam geometri enumeratif varietas kompleks.

Ide

Umumnya, geometri kompleks juga berkaitang dengan objek dan ruang geometris yang dimodelkan, dalam beberapa hal, pada bidang kompleks . Fitur bidang kompleks dan analisis kompleks dari variabel tunggal, seperti gagasan intrinsik tentang orientabilitas (yaitu, mampu secara konsisten memutar 90 derajat berlawanan arah jarum jam di setiap titik dalam bidang kompleks), dan kekakuan fungsi holomorfik (yaitu , keberadaan turunan kompleks tunggal menyiratkan diferensiasi kompleks untuk semua ordo) terlihat terwujud dalam semua bentuk studi geometri kompleks. Sebagai contoh, setiap manifold kompleks dapat diorientasikan secara kanonik, dan suatu bentuk teorema Liouvillememegang manifold kompleks kompak atau varietas aljabar kompleks proyektif .

Geometri kompleks berbeda rasanya dengan apa yang mungkin disebut geometri nyata , studi tentang ruang yang didasarkan pada sifat geometris dan analitik dari garis bilangan real . Misalnya, sedangkan manifold halus mengakui partisi kesatuan , koleksi fungsi mulus yang dapat secara identik sama dengan satu pada beberapa himpunan terbuka , dan identik nol di tempat lain, manifold kompleks tidak mengakui koleksi fungsi holomorfik seperti itu. Memang, ini adalah manifestasi dari teorema identitas , hasil khas dalam analisis kompleks dari variabel tunggal. Dalam beberapa hal, kebaruan geometri kompleks dapat ditelusuri kembali ke pengamatan mendasar ini.

Memang benar bahwa setiap manifold kompleks khususnya manifold halus nyata. Ini karena bidang kompleks {C} adalah, setelah melupakan struktur kompleksnya, isomorfik ke bidang nyata. Namun, geometri kompleks biasanya tidak dilihat sebagai sub-bidang tertentu dari geometri diferensial , studi tentang lipatan halus. Secara khusus, Serre ‘s GAGA Teorema mengatakan bahwa setiap proyektif berbagai analitik sebenarnya merupakan berbagai aljabar , dan studi data holomorphic pada berbagai analitik setara dengan studi aljabar data.

Baca Juga : Filsafat dan Sejarah Matematika

Kesetaraan ini menunjukkan bahwa geometri kompleks dalam beberapa hal lebih dekat ke geometri aljabar daripada geometri diferensial . Contoh lain dari hal ini yang menghubungkan kembali ke sifat bidang kompleks adalah bahwa, dalam analisis kompleks dari satu variabel, singularitas fungsi meromorfik dapat dideskripsikan dengan mudah. Sebaliknya, kemungkinan perilaku tunggal dari fungsi bernilai riil kontinu jauh lebih sulit untuk dikarakterisasi. Akibatnya, seseorang dapat dengan mudah mempelajari ruang singular dalam geometri kompleks, seperti varietas analitik kompleks tunggal atau varietas aljabar kompleks tunggal, sedangkan dalam geometri diferensial studi ruang singular sering dihindari.

Dalam praktiknya, geometri kompleks berada di persimpangan geometri diferensial, geometri aljabar, dan analisis dalam beberapa variabel kompleks , dan geometri kompleks menggunakan alat dari ketiga bidang untuk mempelajari ruang kompleks. Arah khas minat dalam geometri kompleks melibatkan klasifikasi ruang kompleks, studi objek holomorfik yang melekat padanya (seperti bundel vektor holomorfik dan berkas koheren ), dan hubungan intim antara objek geometris kompleks dan bidang matematika dan fisika lainnya.