Mengulas Lebih Dalam Tentang Teorema Perron–Frobenius – Dalam aljabar linier, teorema Perron–Frobenius, dibuktikan oleh Oskar Perron (1907) dan Georg Frobenius (1912), menyatakan bahwa matriks bujur sangkar dengan entri positif memiliki nilai eigen riil terbesar yang unik dan vektor eigen yang sesuai dapat dipilih untuk memiliki komponen positif, dan juga menegaskan pernyataan serupa untuk kelas tertentu dari matriks non-negatif.

Mengulas Lebih Dalam Tentang Teorema Perron–Frobenius

transitionmathproject – Teorema ini memiliki aplikasi penting untuk teori probabilitas (ergodisitas rantai Markov) dengan teori sistem dinamis (subshift dari tipe hingga) ekonomi teorema Okishio, ondisi Hawkins–Simon ke demografi (model distribusi usia penduduk Leslie) ke jejaring sosial (proses pembelajaran DeGroot); ke mesin pencari Internet (PageRank) dan bahkan peringkat tim sepak bola. Yang pertama membahas pengurutan pemain dalam turnamen menggunakan vektor eigen Perron–Frobenius adalah Edmund Landau.

Baca Juga : Memahami Ilmu Teorema Spektral Dalam Matematika

Pernyataan

Nilai eigen dari matriks persegi nyata A adalah bilangan kompleks yang membentuk spektrum matriks. Laju pertumbuhan eksponensial dari matriks pangkat Ak sebagai k → dikendalikan oleh nilai eigen dari A dengan nilai absolut terbesar (modulus). Teorema Perron–Frobenius menjelaskan sifat-sifat nilai eigen utama dan vektor-vektor eigen yang bersesuaian ketika A adalah matriks kuadrat real non-negatif. Hasil awal adalah karena Oskar Perron (1907) dan matriks positif yang bersangkutan. Kemudian, Georg Frobenius (1912) menemukan perluasannya ke kelas tertentu dari matriks non-negatif.

Ulasan Definisi

Seseorang dapat mengasosiasikan dengan matriks A suatu graf berarah tertentu GA. Ini memiliki tepat n simpul, di mana n adalah ukuran A, dan ada tepi dari simpul i ke simpul j tepat ketika Aij > 0. Maka matriks A tidak dapat direduksi jika dan hanya jika graf terkaitnya GA terhubung kuat. Suatu matriks dapat direduksi jika tidak dapat direduksi. Sebuah matriks A adalah primitif jika non-negatif dan pangkat ke-mnya positif untuk beberapa bilangan asli m (yaitu semua entri Am adalah positif).

Biarkan A menjadi non-negatif. Perbaiki indeks i dan tentukan periode indeks i menjadi pembagi persekutuan terbesar dari semua bilangan asli m sedemikian rupa sehingga (Am)ii > 0. Jika A tidak dapat direduksi, periode setiap indeks adalah sama dan disebut periode A. Faktanya, ketika A tak dapat direduksi, periode dapat didefinisikan sebagai pembagi persekutuan terbesar dari panjang lintasan berarah tertutup dalam GA (lihat Dapur halaman 16). Periode juga disebut indeks imprimitas (Meyer halaman 674) atau orde siklus. Jika periodenya 1, A adalah aperiodik.

Dapat dibuktikan bahwa matriks primitif sama dengan matriks non-negatif aperiodik tak tereduksi. Semua pernyataan teorema Perron-Frobenius untuk matriks positif tetap berlaku untuk matriks primitif. Pernyataan yang sama juga berlaku untuk matriks tak tereduksi non-negatif, kecuali bahwa matriks tersebut mungkin memiliki beberapa nilai eigen yang nilai absolutnya sama dengan radius spektralnya, sehingga pernyataan tersebut perlu dimodifikasi. Sebenarnya jumlah nilai eigen tersebut sama dengan periode. Hasil untuk matriks non-negatif pertama kali diperoleh oleh Frobenius pada tahun 1912.

Aplikasi

Teorema Perron-Frobenius tidak berlaku langsung untuk matriks non-negatif. Namun demikian, setiap matriks persegi yang dapat direduksi A dapat ditulis dalam bentuk blok segitiga atas (dikenal sebagai bentuk normal dari matriks yang dapat direduksi) di mana P adalah matriks permutasi dan setiap Bi adalah matriks persegi yang tidak dapat direduksi atau nol. Sekarang jika A non-negatif maka demikian juga setiap blok PAP−1, apalagi spektrum A hanyalah gabungan dari spektrum Bi.

Keterbalikan dari A juga dapat dipelajari. Invers dari PAP−1 (jika ada) harus memiliki blok diagonal berbentuk Bi−1 jadi jika Bi tidak dapat dibalik, maka PAP−1 atau A juga tidak. Sebaliknya, biarkan D menjadi matriks blok-diagonal yang sesuai dengan PAP 1, dengan kata lain PAP−1 dengan tanda bintang dinolkan. Jika setiap Bi dapat dibalik, maka D−1(PAP−1) sama dengan identitas ditambah matriks nilpoten. Tetapi matriks seperti itu selalu dapat dibalik (jika Nk = 0 invers dari 1 N adalah 1 + N + N2 + … + Nk−1) jadi PAP−1 dan A keduanya dapat dibalik.

Oleh karena itu, banyak sifat spektral A dapat disimpulkan dengan menerapkan teorema pada Bi yang tak tereduksi. Misalnya, akar Perron adalah maksimum dari (Bi). Meskipun masih akan ada vektor eigen dengan komponen non-negatif, sangat mungkin bahwa tidak satu pun dari ini akan menjadi positif.

Matriks stokastik baris (kolom) adalah matriks persegi yang setiap barisnya (kolom) terdiri dari bilangan real tak negatif yang jumlahnya satu. Teorema tidak dapat diterapkan secara langsung ke matriks tersebut karena mereka tidak perlu direduksi. Jika A adalah stokastik baris maka vektor kolom dengan setiap entri 1 adalah vektor eigen yang sesuai dengan nilai eigen 1, yang juga (A) dengan pernyataan di atas. Ini mungkin bukan satu-satunya nilai eigen pada lingkaran satuan: dan ruang eigen yang terkait bisa multi-dimensi. Jika A adalah stokastik baris dan tak tereduksi maka proyeksi Perron juga stokastik baris dan semua barisnya sama.

Teorema ini memiliki kegunaan khusus dalam teori graf aljabar. “Grafik dasar” dari matriks n-kuadrat nonnegatif adalah graf dengan simpul bernomor 1, …, n dan busur ij jika dan hanya jika Aij 0. Jika graf yang mendasari matriks tersebut terhubung kuat, maka matriks tidak dapat direduksi, dan dengan demikian teorema berlaku. Secara khusus, matriks ketetanggaan dari graf terhubung kuat tidak dapat direduksi.

Teorema ini memiliki interpretasi alami dalam teori rantai Markov hingga (di mana itu adalah ekuivalen matriks-teoretis dari konvergensi rantai Markov terbatas yang tidak dapat direduksi ke distribusi stasionernya, dirumuskan dalam matriks transisi rantai. lihat, untuk contoh, artikel tentang subshift tipe hingga). Lebih umum, dapat diperluas ke kasus operator kompak non-negatif, yang, dalam banyak hal, menyerupai matriks berdimensi hingga.

Ini biasanya dipelajari dalam fisika, dengan nama operator transfer, atau kadang-kadang operator Ruelle–Perron–Frobenius (setelah David Ruelle). Dalam hal ini, nilai eigen terdepan sesuai dengan kesetimbangan termodinamika dari sistem dinamis, dan nilai eigen yang lebih rendah sesuai dengan mode peluruhan sistem yang tidak dalam kesetimbangan. Dengan demikian, teori ini menawarkan cara untuk menemukan panah waktu dalam apa yang sebaliknya akan tampak reversibel, proses dinamis deterministik, bila diperiksa dari sudut pandang topologi titik-set.

Metode pembuktian

Benang merah dalam banyak pembuktian adalah teorema titik tetap Brouwer. Metode populer lainnya adalah metode Wielandt (1950). Dia menggunakan rumus Collatz–Wielandt yang dijelaskan di atas untuk memperluas dan memperjelas karya Frobenius. Bukti lain didasarkan pada teori spektral dari mana bagian dari argumen dipinjam. Jika A adalah matriks positif (atau lebih primitif), maka terdapat nilai eigen positif nyata r (Nilai eigen Perron–Frobenius atau akar Perron) , yang benar-benar lebih besar dalam nilai absolut daripada semua nilai eigen lainnya, maka r adalah jari-jari spektral A.

Baca Juga : Penjelasan Secara Mendalam Tentang Mekanika Kuantum

Pernyataan ini tidak berlaku untuk matriks tak-negatif umum yang tidak dapat direduksi, yang memiliki nilai eigen dengan nilai eigen absolut yang sama dengan r, di mana h adalah periode A. Biarkan A menjadi matriks positif, asumsikan bahwa jari-jari spektralnya (A) = 1 (jika tidak pertimbangkan A/ρ(A)). Oleh karena itu, terdapat nilai eigen pada lingkaran satuan, dan semua nilai eigen lainnya kurang atau sama dengan 1 dalam nilai absolut. Misalkan nilai eigen lain 1 juga jatuh pada lingkaran satuan. Maka terdapat bilangan bulat positif m sehingga Am adalah matriks positif dan bagian real dari m adalah negatif. Biarkan menjadi setengah entri diagonal terkecil dari Am dan atur T = Am I yang merupakan matriks positif lainnya.

Selain itu, jika Ax = x maka Amx = mx maka m adalah nilai eigen dari T. Karena pemilihan m titik ini terletak di luar unit disk akibatnya (T) > 1. Sebaliknya, semua entri dalam T positif dan kurang dari atau sama dengan yang ada di Am sehingga dengan rumus Gelfand (T) (Am) (A)m = 1. Kontradiksi ini berarti bahwa =1 dan tidak ada nilai eigen lain pada lingkaran satuan. Benar-benar argumen yang sama dapat diterapkan pada kasus matriks primitif. kita hanya perlu menyebutkan lemma sederhana berikut, yang menjelaskan sifat-sifat matriks primitif.