Mengulas Pemahaman Geometri Proyektif – Geometri proyektif adalah bentuk geometri non-metrik dasar, artinya tidak didasarkan pada konsep jarak. Dalam dua dimensi itu dimulai dengan studi tentang konfigurasi titik dan garis. Bahwa memang ada beberapa minat geometris dalam pengaturan yang jarang ini pertama kali didirikan oleh Desargues dan yang lainnya dalam eksplorasi prinsip-prinsip seni perspektif. Dalam ruang dimensi yang lebih tinggi dianggap hyperplanes (yang selalu bertemu), dan subruang linier lainnya, yang menunjukkan prinsip dualitas.

Mengulas Pemahaman Geometri Proyektif

transitionmathproject – Ilustrasi paling sederhana dari dualitas adalah dalam bidang proyektif, di mana pernyataan “dua titik berbeda menentukan garis unik” (yaitu garis yang melaluinya) dan “dua garis berbeda menentukan titik unik” (yaitu titik perpotongannya) menunjukkan hal yang sama struktur sebagai proposisi. Geometri proyektif juga dapat dilihat sebagai geometri konstruksi dengan sisi lurus saja. Karena geometri proyektif tidak termasuk konstruksi kompas, tidak ada lingkaran, tidak ada sudut, tidak ada pengukuran, tidak ada paralel, dan tidak ada konsep intermediasi.

Baca Juga : Pentingnya Koordinat Cartesian Pada Matematika

Disadari bahwa teorema yang berlaku untuk geometri proyektif adalah pernyataan yang lebih sederhana. Misalnya, bagian kerucut yang berbeda semuanya setara dalam (kompleks) geometri proyektif, dan beberapa teorema tentang lingkaran dapat dianggap sebagai kasus khusus dari teorema umum ini. Selama awal abad ke-19, karya Jean-Victor Poncelet, Lazare Carnot, dan lainnya menetapkan geometri proyektif sebagai bidang matematika yang independen. Geometri proyektif, seperti geometri affine dan Euclidean, juga dapat dikembangkan dari program Erlangen dari Felix Klein. geometri proyektif dicirikan oleh invarian di bawah transformasi kelompok proyektif.

Setelah banyak bekerja pada sejumlah besar teorema dalam subjek, oleh karena itu, dasar-dasar geometri proyektif menjadi dipahami. Struktur insiden dan rasio silang adalah invarian mendasar di bawah transformasi proyektif. Geometri proyektif dapat dimodelkan dengan bidang affine (atau ruang affine) ditambah garis (hyperplane) “di tak terhingga” dan kemudian memperlakukan garis itu (atau hyperplane) sebagai “biasa”. Di sisi lain, studi aksiomatik mengungkapkan keberadaan bidang non-Desarguesian, contoh untuk menunjukkan bahwa aksioma kejadian dapat dimodelkan (dalam dua dimensi saja) oleh struktur yang tidak dapat diakses oleh penalaran melalui sistem koordinat homogen.

Dalam pengertian dasar, geometri proyektif dan geometri terurut adalah dasar karena melibatkan aksioma minimum dan keduanya dapat digunakan sebagai dasar untuk geometri affine dan Euclidean. Geometri proyektif tidak “terurut” sehingga merupakan dasar yang berbeda untuk geometri. Sifat geometris pertama yang bersifat proyektif ditemukan pada abad ke-3 oleh Pappus dari Alexandria. Filippo Brunelleschi (1404-1472) mulai menyelidiki geometri perspektif selama 1425  (lihat sejarah perspektif untuk diskusi yang lebih menyeluruh tentang karya seni rupa yang memotivasi banyak pengembangan geometri proyektif). Johannes Kepler (1571-1630) dan Gérard Desargues (1591-1661) secara independen mengembangkan konsep “titik tak terhingga”.

Desargues mengembangkan cara alternatif untuk membangun gambar perspektif dengan menggeneralisasi penggunaan titik hilang untuk memasukkan kasus ketika titik ini sangat jauh. Dia membuat geometri Euclidean, di mana garis paralel benar-benar paralel, menjadi kasus khusus dari sistem geometris yang mencakup semua. Studi Desargues tentang irisan kerucut menarik perhatian Blaise Pascal yang berusia 16 tahun dan membantunya merumuskan teorema Pascal. Karya-karya Gaspard Monge pada akhir abad ke-18 dan awal abad ke-19 penting untuk pengembangan geometri proyektif selanjutnya.

Karya Desargues diabaikan sampai Michel Chasles menemukan salinan tulisan tangan selama tahun 1845. Poncelet meneliti sifat proyektif objek (yang invarian di bawah proyeksi pusat) dan, dengan mendasarkan teorinya pada kutub beton dan hubungan kutub sehubungan dengan lingkaran, membangun hubungan antara sifat metrik dan proyektif. Geometri non-Euclidean yang ditemukan segera setelah itu akhirnya didemonstrasikan memiliki model, seperti model ruang hiperbolik Klein, yang berkaitan dengan geometri proyektif.

Pada tahun 1855 A. F. Möbius menulis sebuah artikel tentang permutasi, sekarang disebut transformasi Möbius, dari lingkaran umum di bidang kompleks. Transformasi ini mewakili proyektivitas dari garis proyektif yang kompleks. Dalam studi garis dalam ruang, Julius Plücker menggunakan koordinat homogen dalam deskripsinya, dan kumpulan garis dilihat pada kuadrik Klein, salah satu kontribusi awal geometri proyektif ke bidang baru yang disebut geometri aljabar, cabang geometri analitik. dengan ide-ide proyektif.

Geometri proyektif berperan penting dalam validasi spekulasi Lobachevski dan Bolyai tentang geometri hiperbolik dengan menyediakan model untuk bidang hiperbolik: misalnya, model cakram Poincaré di mana lingkaran umum yang tegak lurus dengan lingkaran satuan sesuai dengan “garis hiperbolik” (geodesik ), dan “terjemahan” model ini dijelaskan oleh transformasi Möbius yang memetakan disk unit ke dirinya sendiri. Jarak antara titik diberikan oleh metrik Cayley-Klein, yang diketahui invarian di bawah terjemahan karena bergantung pada rasio silang, invarian proyektif kunci. Translasi dijelaskan secara beragam sebagai isometri dalam teori ruang metrik, sebagai transformasi fraksional linier secara formal, dan sebagai transformasi linier proyektif dari grup linier proyektif, dalam hal ini SU(1, 1).

Karya Poncelet, Jakob Steiner dan lain-lain tidak dimaksudkan untuk memperluas geometri analitik. Teknik seharusnya sintetik: pada dasarnya ruang proyektif seperti yang sekarang dipahami harus diperkenalkan secara aksiomatis. Akibatnya, memformulasi ulang pekerjaan awal dalam geometri proyektif sehingga memenuhi standar ketelitian saat ini bisa jadi agak sulit. Bahkan dalam kasus bidang proyektif saja, pendekatan aksiomatik dapat menghasilkan model yang tidak dapat dijelaskan melalui aljabar linier.

Baca Juga : Salahkah Teori Ruang dan Waktu Albert Einstein Selama Ini

Periode dalam geometri ini diambil alih oleh penelitian tentang kurva aljabar umum oleh Clebsch, Riemann, Max Noether dan lain-lain, yang memperluas teknik yang ada, dan kemudian oleh teori invarian. Menjelang akhir abad, sekolah geometri aljabar Italia (Enriques, Segre, Severi) pecah dari materi pelajaran tradisional ke area yang menuntut teknik yang lebih dalam. Selama bagian akhir abad ke-19, studi rinci geometri proyektif menjadi kurang modis, meskipun literatur banyak. Beberapa pekerjaan penting dilakukan dalam geometri enumeratif khususnya, oleh Schubert, yang sekarang dianggap sebagai antisipasi teori kelas Chern, yang dianggap mewakili topologi aljabar Grassmannians.

Paul Dirac mempelajari geometri proyektif dan menggunakannya sebagai dasar untuk mengembangkan konsep mekanika kuantum, meskipun hasil yang dipublikasikan selalu dalam bentuk aljabar. Lihat artikel blog yang mengacu pada artikel dan buku tentang topik ini, juga pembicaraan yang diberikan Dirac kepada khalayak umum selama tahun 1972 di Boston tentang geometri proyektif, tanpa spesifik untuk penerapannya dalam fisika. Banyak set aksioma alternatif untuk geometri proyektif telah diusulkan (lihat misalnya Coxeter 2003, Hilbert & Cohn-Vossen 1999, Greenberg 1980). Setiap geometri yang diberikan dapat disimpulkan dari serangkaian aksioma yang sesuai. Geometri proyektif dicirikan oleh aksioma “paralel elips”, bahwa setiap dua bidang selalu bertemu hanya dalam satu garis, atau di bidang, dua garis selalu bertemu hanya di satu titik. Dengan kata lain, tidak ada yang namanya garis atau bidang sejajar dalam geometri proyektif.