Mengulas Rank Atau Peringkat di Bidang Aljabar Linier – Dalam aljabar linier, pangkat matriks A adalah dimensi ruang vektor yang dihasilkan (atau direntang) oleh kolom-kolomnya. Ini sesuai dengan jumlah maksimal kolom bebas linier dari A. Ini, pada gilirannya, identik dengan dimensi ruang vektor yang direntang oleh barisnya. Rank dengan demikian merupakan ukuran dari “nondegenerateness” dari sistem persamaan linear dan transformasi linier yang dikodekan oleh A.

Mengulas Rank Atau Peringkat di Bidang Aljabar Linier

transitionmathproject – Ada beberapa definisi setara dari rank. Peringkat matriks adalah salah satu karakteristik yang paling mendasar. Rank biasanya dilambangkan dengan rank(A) atau rk(A) terkadang tanda kurung tidak ditulis, seperti pada rank A. Pada bagian ini, kita memberikan beberapa definisi rank dari suatu matriks. Banyak definisi yang mungkin. lihat Definisi alternatif untuk beberapa di antaranya. Pangkat kolom A adalah dimensi ruang kolom A, sedangkan pangkat baris A adalah dimensi ruang baris A.

Baca Juga : Bentuk Normal Jordan di Aljabar Linier Dalam Matematika

Hasil mendasar dalam aljabar linier adalah bahwa pangkat kolom dan pangkat baris selalu sama. (Dua bukti dari hasil ini diberikan dalam Bukti bahwa peringkat kolom = peringkat baris, di bawah.) Angka ini (yaitu, jumlah baris atau kolom yang bebas linier) hanya disebut peringkat A.

Suatu matriks dikatakan memiliki matriks penuh peringkat jika peringkatnya sama dengan kemungkinan terbesar untuk matriks dengan dimensi yang sama, yang lebih sedikit dari jumlah baris dan kolom. Suatu matriks dikatakan kekurangan peringkat jika tidak memiliki peringkat penuh. Kekurangan pangkat suatu matriks adalah selisih antara jumlah baris dan kolom yang lebih kecil, dan pangkat.

Bukti bahwa peringkat kolom = peringkat baris

Fakta bahwa barisan kolom dan baris dari setiap matriks adalah bentuk yang sama adalah fundamental dalam aljabar linier. Banyak bukti telah diberikan. Salah satu yang paling dasar telah digambarkan dalam Peringkat dari bentuk eselon baris. Berikut adalah varian dari bukti ini: Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa baik peringkat baris maupun peringkat kolom tidak diubah oleh operasi baris dasar.

Ketika eliminasi Gauss berlangsung dengan operasi baris elementer, bentuk eselon baris tereduksi dari suatu matriks memiliki peringkat baris dan peringkat kolom yang sama dengan matriks aslinya. Operasi kolom dasar lebih lanjut memungkinkan penempatan matriks dalam bentuk matriks identitas yang mungkin dibatasi oleh baris dan kolom nol. Sekali lagi, ini tidak mengubah peringkat baris maupun peringkat kolom. Segera bahwa barisan baris dan kolom dari matriks yang dihasilkan ini adalah jumlah entrinya yang bukan nol.

Kami menyajikan dua bukti lain dari hasil ini. Yang pertama hanya menggunakan sifat dasar kombinasi linier vektor, dan berlaku untuk bidang apa pun. Buktinya berdasarkan Wardlaw (2005). Yang kedua menggunakan ortogonalitas dan valid untuk matriks di atas bilangan real. itu didasarkan pada Mackiw (1995). Kedua bukti tersebut dapat ditemukan dalam buku karya Banerjee dan Roy (2014). Misalkan A adalah matriks m × n. Misalkan pangkat kolom dari A adalah r, dan misalkan c1, …, cr adalah sembarang basis untuk ruang kolom A.

Tempatkan ini sebagai kolom-kolom dari matriks m × r C. Setiap kolom A dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari r kolom di C. Ini berarti ada r × n matriks R sedemikian rupa sehingga A = CR. R adalah matriks yang kolom ke-i-nya dibentuk dari koefisien-koefisien yang memberikan kolom ke-i A sebagai kombinasi linier dari r kolom-kolom C. Dengan kata lain, R adalah matriks yang memuat kelipatan alas ruang kolom A (yaitu C), yang kemudian digunakan untuk membentuk A secara keseluruhan.

Sekarang, setiap baris A diberikan oleh kombinasi linier dari r baris R. Oleh karena itu, baris R membentuk himpunan rentang dari ruang baris A dan, dengan lemma pertukaran Steinitz, peringkat baris A tidak dapat melebihi R. Hal ini membuktikan bahwa rank baris A lebih kecil atau sama dengan rank kolom A. Hasil ini dapat diterapkan pada matriks apapun, jadi terapkan hasilnya pada transpose A. Karena rank baris dari transpose A adalah peringkat kolom A dan peringkat kolom transpos A adalah peringkat baris A, ini menetapkan ketidaksetaraan terbalik dan kami memperoleh kesetaraan peringkat baris dan peringkat kolom A. (Juga lihat Faktorisasi peringkat.)

Misalkan A adalah matriks m×n dengan entri dalam bilangan real yang peringkat barisnya adalah r. Oleh karena itu, dimensi ruang baris A adalah r. Misalkan x1, x2, …, xr adalah basis dari ruang baris A. Kita menyatakan bahwa vektor-vektor Ax1, Ax2, Axr bebas linier. Untuk mengetahui alasannya, pertimbangkan hubungan homogen linier yang melibatkan vektor-vektor ini dengan koefisien skalar c1, c2, …, cr: di mana v = c1x1 + c2x2 + + crxr.

Kami membuat dua pengamatan: (a) v adalah kombinasi linier dari vektor-vektor dalam ruang baris A, yang menyiratkan bahwa v termasuk dalam ruang baris A, dan (b) karena Av = 0, vektor v ortogonal untuk setiap vektor baris A dan, karenanya, ortogonal terhadap setiap vektor dalam ruang baris A. Fakta (a) dan (b) bersama-sama menyiratkan bahwa v ortogonal terhadap dirinya sendiri, yang membuktikan bahwa v = 0 atau, menurut definisi v.

Tetapi ingat bahwa xi dipilih sebagai basis dari ruang baris A sehingga bebas linier. Ini menyiratkan bahwa c1 = c2 = = cr = 0. Dengan demikian, Ax1, Ax2, …, Axr bebas linier. Sekarang, setiap Axi jelas merupakan sebuah vektor dalam ruang kolom A. Jadi, Ax1, Ax2, …, Axr adalah himpunan r vektor bebas linier dalam ruang kolom A dan, karenanya, dimensi ruang kolom A (yaitu, peringkat kolom A) setidaknya harus sebesar r. Ini membuktikan bahwa pangkat baris A tidak lebih besar dari pangkat kolom A. Sekarang terapkan hasil ini pada transpos A untuk mendapatkan pertidaksamaan terbalik dan simpulkan seperti pada bukti sebelumnya.

Definisi alternatif

Dalam semua definisi di bagian ini, matriks A dianggap sebagai matriks m × n di atas bidang sembarang F. Seperti dalam kasus karakterisasi “dimensi gambar”, ini dapat digeneralisasikan ke definisi peringkat peta linier apa pun: pangkat peta linier f : V → W adalah dimensi minimal k dari ruang antara X sehingga f dapat ditulis sebagai komposisi peta V → X dan peta X → W.

Sayangnya, ini definisi tidak menyarankan cara yang efisien untuk menghitung peringkat (yang lebih baik menggunakan salah satu definisi alternatif). Lihat faktorisasi peringkat untuk detailnya. Rangking A adalah orde terbesar dari semua minor tak nol dalam A. (Orde minor adalah panjang sisi dari submatriks kuadrat yang merupakan determinannya.)

Seperti karakterisasi peringkat dekomposisi, hal ini berlaku tidak memberikan cara yang efisien untuk menghitung peringkat, tetapi berguna secara teoritis: satu minor tidak nol menyaksikan batas bawah (yaitu urutannya) untuk peringkat matriks, yang dapat berguna (misalnya) untuk membuktikan bahwa tertentu operasi tidak menurunkan pangkat matriks.

Sebuah p-minor yang tidak lenyap (p × p submatriks dengan determinan bukan-nol) menunjukkan bahwa baris dan kolom dari submatriks tersebut bebas linier, dan dengan demikian baris dan kolom dari matriks penuh tersebut bebas linier (dalam matriks penuh) , sehingga peringkat baris dan kolom setidaknya sama besar dengan peringkat determinan. namun, kebalikannya kurang lugas.

Kesetaraan pangkat determinan dan pangkat kolom merupakan penguatan dari pernyataan bahwa jika bentang dari n vektor berdimensi p, maka p dari vektor-vektor tersebut merentang ruang (secara ekuivalen, seseorang dapat memilih himpunan rentang yang merupakan himpunan bagian dari vektor-vektor tersebut ): ekivalensi menyiratkan bahwa subset dari baris dan subset dari kolom secara bersamaan mendefinisikan submatriks yang dapat dibalik (setara, jika rentang n vektor memiliki dimensi p, maka p dari vektor-vektor ini merentang ruang dan ada set p koordinat di mana mereka bebas linier).