Mengulas Tentang Aljabar Geometris – Secara matematis, aljabar geometris dapat didefinisikan sebagai aljabar Clifford dari ruang vektor dengan bentuk kuadrat. Kontribusi Clifford adalah untuk mendefinisikan produk baru, produk geometris, yang menyatukan aljabar Grassmann dan aljabar quaternion Hamilton menjadi satu struktur. Menambahkan dual dari produk eksterior Grassmann (“bertemu”) memungkinkan penggunaan aljabar Grassmann–Cayley, dan versi konformal yang terakhir bersama dengan aljabar Clifford konformal menghasilkan aljabar geometris konformal (CGA) yang menyediakan kerangka kerja untuk klasik geometri.

Mengulas Tentang Aljabar Geometris

transitionmathproject – Dalam praktiknya, ini dan beberapa operasi turunan memungkinkan korespondensi elemen, subruang, dan operasi aljabar dengan interpretasi geometris. Contoh aljabar geometris yang diterapkan dalam fisika termasuk aljabar ruangwaktu (dan aljabar ruang fisik yang kurang umum) dan aljabar geometri konformal. Kalkulus geometris, perpanjangan dari GA yang menggabungkan diferensiasi dan integrasi, dapat digunakan untuk merumuskan teori lain seperti analisis kompleks dan geometri diferensial, mis. dengan menggunakan aljabar Clifford bukan bentuk diferensial. Aljabar geometris telah dianjurkan, terutama oleh David Hestenes dan Chris Doran, sebagai kerangka matematika pilihan untuk fisika.

Baca Juga : Mengulas Aljabar Clifford Dalam Matematika

Para pendukung mengklaim bahwa itu memberikan deskripsi yang ringkas dan intuitif di banyak bidang termasuk mekanika klasik dan kuantum, teori elektromagnetik dan relativitas. GA juga digunakan sebagai alat komputasi dalam grafik komputer dan robotika. Produk geometris pertama kali disebutkan secara singkat oleh Hermann Grassmann, yang terutama tertarik dalam mengembangkan aljabar eksterior yang terkait erat.

Pada tahun 1878, William Kingdon Clifford memperluas karya Grassmann untuk membentuk apa yang sekarang biasanya disebut aljabar Clifford untuk menghormatinya (walaupun Clifford sendiri memilih untuk menyebutnya “aljabar geometris”). Selama beberapa dekade, aljabar geometri agak diabaikan, sangat terhalang oleh kalkulus vektor yang kemudian baru dikembangkan untuk menggambarkan elektromagnetisme. Istilah “aljabar geometris” dipopulerkan kembali pada tahun 1960 oleh Hestenes, yang menganjurkan pentingnya untuk fisika relativistik.

Sejarah aljabar geometris

Meskipun hubungan geometri dengan aljabar sudah ada setidaknya sejak Elemen Euclid pada abad ketiga SM, GA dalam pengertian yang digunakan dalam artikel ini tidak dikembangkan sampai tahun 1844, ketika GA digunakan secara sistematis untuk menggambarkan sifat geometris dan transformasi ruang. Pada tahun itu, Hermann Grassmann memperkenalkan ide aljabar geometris secara umum sebagai kalkulus tertentu (analog dengan kalkulus proposisional) yang mengkodekan semua informasi geometris ruang. Sistem aljabar Grassmann dapat diterapkan pada sejumlah jenis ruang yang berbeda, yang utama di antaranya adalah ruang Euclidean, ruang affine, dan ruang proyektif.

Mengikuti Grassmann, pada tahun 1878 William Kingdon Clifford memeriksa sistem aljabar Grassmann di samping quaternions William Rowan Hamilton di (Clifford 1878). Dari sudut pandangnya, quaternions menggambarkan transformasi tertentu (yang disebutnya rotor), sedangkan aljabar Grassmann menggambarkan sifat tertentu (atau Strecken seperti panjang, luas, dan volume). Kontribusinya adalah untuk mendefinisikan produk baru – produk geometris – pada aljabar Grassmann yang ada, yang menyadari quaternions sebagai hidup dalam aljabar itu. Namun demikian, perkembangan revolusioner abad ke-19 lainnya akan sepenuhnya menutupi aljabar geometris: analisis vektor, yang dikembangkan secara independen oleh Josiah Willard Gibbs dan Oliver Heaviside.

Analisis vektor dimotivasi oleh studi James Clerk Maxwell tentang elektromagnetisme, dan khususnya kebutuhan untuk mengekspresikan dan memanipulasi persamaan diferensial tertentu dengan nyaman. Analisis vektor memiliki daya tarik intuitif tertentu dibandingkan dengan kerasnya aljabar baru. Fisikawan dan matematikawan sama-sama siap mengadopsinya sebagai perangkat pilihan geometris mereka, terutama setelah buku teks 1901 yang berpengaruh Analisis Vektor oleh Edwin Bidwell Wilson, mengikuti kuliah Gibbs. Secara lebih rinci, ada tiga pendekatan untuk aljabar geometris: analisis quaternionic, yang diprakarsai oleh Hamilton pada tahun 1843 dan digeometrikan sebagai rotor oleh Clifford pada tahun 1878.

Aljabar geometris, diprakarsai oleh Grassmann pada tahun 1844. dan analisis vektor, dikembangkan dari analisis kuarteneronik pada akhir abad ke-19 oleh Gibbs dan Heaviside. Kemajuan dalam studi aljabar Clifford diam-diam maju melalui abad kedua puluh, meskipun sebagian besar karena karya aljabar abstrak seperti Hermann Weyl dan Claude Chevalley. Pendekatan geometris untuk aljabar geometris telah melihat sejumlah kebangkitan abad ke-20. Dalam matematika, Aljabar Geometris Emil Artin membahas aljabar yang terkait dengan masing-masing sejumlah geometri, termasuk geometri affine, geometri proyektif, geometri simplektik, dan geometri ortogonal.

Dalam fisika, aljabar geometris telah dihidupkan kembali sebagai cara “baru” untuk melakukan mekanika klasik dan elektromagnetisme, bersama dengan topik yang lebih maju seperti mekanika kuantum dan teori pengukur.David Hestenes menafsirkan ulang matriks Pauli dan Dirac masing-masing sebagai vektor dalam ruang dan waktu biasa, dan telah menjadi pendukung kontemporer utama untuk penggunaan aljabar geometris. Dalam grafik komputer dan robotika, aljabar geometris telah dihidupkan kembali untuk secara efisien mewakili rotasi dan transformasi lainnya. Untuk aplikasi GA dalam robotika (teori sekrup, kinematika dan dinamika menggunakan versor), visi komputer, kontrol, dan komputasi saraf (pembelajaran geometris) lihat Bayro (2010).

Sangat mudah untuk membuat bukti yang sesuai langsung dengan algoritma yang digunakan, dan al-Khwa¯rizmı¯ menyajikannya sebagai alternatif. Di sini, gaya lebih dekat dengan norma Euclidean, lebih dekat juga daripada bukti yang sesuai dengan dua jenis persamaan campuran lainnya. Asumsi sudah dekat bahwa alternatif ini ditambahkan dalam contoh kedua, mungkin setelah diskusi dengan matematikawan lebih terlibat dalam Euclid. Menurut aturan tata bahasa, “aljabar geometris”, apa pun artinya, harus mengacu pada beberapa jenis aljabar, hanya dimodifikasi atau dibatasi oleh kata sifat. Dengan demikian, ini bukan aljabar geometris tetapi hanya pembenaran prosedur aljabar tertentu dengan meminjam dari bidang yang berbeda.

Setengah abad kemudian, Tsabit ibn Qurrah menawarkan bukti baru [ed., trans. Keberuntungan 1941]. Dia tidak menyebutkan al-Khwa¯rizmı¯ sama sekali tetapi hanya mengacu pada prosedur ahl al-jabr, “orang-orang al-jabr” – mungkin para penghisab yang tekniknya telah diminta oleh al-Ma mu¯n al-Khwa¯ rizmı¯ untuk menulis tentang. Kemungkinan besar, Tsabit tidak menganggap pembenaran al-Khwa¯rizm sebagai bukti yang tepat. nya, memang, dalam gaya Euclidean yang ketat, dengan reduksi eksplisit ke Elemen II.5–6. Abu¯ Ka¯mil memang merujuk pada al-Khwa¯rizmı¯ dalam aljabarnya, dan dia menulis risalah lengkap tentang topik tersebut. tetapi bukti-buktinya sama dan secara eksplisit Euclidean [ed., trans. Rashed 2013: 354 dan passim].

Baca Juga : Filsafat, Matematika, Logika dan Komputer

Roshdi Rashed (hal. 37) berbicara tentang bukti Tha¯bit dan Abu¯ Ka¯mil sebagai « aljabar geometris » (kutipan Rashed).5 Namun, apa yang kita lihat sekali lagi bukan aljabar (“geometris”) tetapi hanya pembenaran dari prosedur tertentu yang digunakan dalam aljabar dengan meminjam dari bidang yang berbeda – kali ini geometri Euclidean yang ketat dan tidak jelas secara intuitif. Para ahli aljabar Arab kemudian tidak berbeda, dan tidak ada alasan untuk membahasnya secara terpisah. Hal yang sama dapat dikatakan tentang Liber abbaci Fibonacci, dan tentang penggunaan pembenaran geometris dari Pacioli hingga Cardano dan orang-orang sezamannya. Sedikit berbeda adalah kasus De numeris datis karya Jordanus de Nemore.

Dalam usahanya untuk menciptakan stand-in yang koheren secara teoritis untuk aljabar Arab berdasarkan aritmatika aksiomatik,6 Jordanus menciptakan analog aritmatika (dan kuasi-aljabar) dari sejumlah teorema dari Elemen II (dan banyak lagi). Jika frasa tersebut belum ditempati oleh makna yang berbeda, tidak akan sepenuhnya menyesatkan untuk membicarakan hal ini secara terbalik sebagai “geometri aljabar”, yaitu, geometri yang diterjemahkan menjadi sesuatu seperti aljabar. Bagaimanapun, ini tidak lebih dari “aljabar geometris” dari apa yang telah kita diskusikan. Juga, tentu saja, penggunaan aljabar Nuñez atau Descartes sebagai alat untuk memecahkan masalah geometris (pada tingkat yang sangat berbeda, tentunya).