Mengulas Tentang Aljabar Tensor dan Aljabar Eksterior – Dalam matematika, aljabar tensor dari ruang vektor V, dilambangkan T(V) atau T•(V), adalah aljabar tensor pada V (bertingkat apa pun) dengan perkalian menjadi produk tensor. Ini adalah aljabar bebas pada V, dalam arti dibiarkan berdampingan dengan fungsi pelupa dari aljabar ke ruang vektor: ini adalah aljabar “paling umum” yang mengandung V, dalam pengertian sifat universal yang sesuai.  Aljabar tensor penting karena banyak aljabar lain muncul sebagai aljabar hasil bagi T(V).

Mengulas Tentang Aljabar Tensor dan Aljabar Eksterior

transitionmathproject – Ini termasuk aljabar eksterior, aljabar simetris, aljabar Clifford, aljabar Weyl dan aljabar amplop universal. Aljabar tensor juga memiliki dua struktur coalgebra; satu sederhana, yang tidak membuatnya menjadi bialjabar, tetapi mengarah pada konsep cofreecoalgebra, dan yang lebih rumit, yang menghasilkan bialjabar, dan dapat diperluas dengan memberikan antipode untuk membuat struktur aljabar Hopf. Catatan: Dalam artikel ini, semua aljabar diasumsikan unital dan asosiatif. Unit secara eksplisit diperlukan untuk mendefinisikan coproduct. Di sini i adalah penyertaan kanonik V ke dalam T(V).

Baca Juga : Mengulas Lebih Dalam Tentang Ilmu Tensor Dalam Fisika 

Adapun sifat universal lainnya, aljabar tensor T(V) dapat didefinisikan sebagai aljabar unik yang memenuhi sifat ini (khususnya, itu unik hingga isomorfisme unik), tetapi definisi ini perlu membuktikan bahwa objek yang memenuhi sifat ini ada. Sifat universal di atas menyiratkan bahwa T adalah functor dari kategori ruang vektor di atas K, ke kategori K-aljabar. Ini berarti bahwa setiap peta linier antara ruang vektor K U dan W terbentang secara unik ke homomorfisme aljabar K dari T(U) ke T(W). Jika V memiliki dimensi berhingga n, cara lain untuk melihat aljabar tensor adalah sebagai “aljabar polinomial atas K dalam n variabel non-komuter”.

Jika kita mengambil vektor basis untuk V, itu menjadi variabel non-komuter (atau tak tentu) di T(V), tidak tunduk pada kendala di luar asosiatif, hukum distributif dan K-linearitas. Aljabar tensor memiliki dua struktur coalgebra yang berbeda. Satu kompatibel dengan produk tensor, dan dengan demikian dapat diperluas ke bialjabar, dan dapat diperluas lebih lanjut dengan antipode ke struktur aljabar Hopf. Struktur lainnya, meskipun lebih sederhana, tidak dapat diperluas ke bialjabar. Struktur pertama dikembangkan segera di bawah; struktur kedua diberikan di bagian cofreecoalgebra, lebih jauh ke bawah.

Ulasan Tentang aljabar eksterior

Dalam matematika, hasil kali luar atau hasil kali baji dari vektor adalah konstruksi aljabar yang digunakan dalam geometri untuk mempelajari luas, volume, dan analognya yang berdimensi lebih tinggi. Jika dilihat dengan cara ini, hasil kali luar dua vektor disebut sudu-dua. Secara lebih umum, hasil kali luar dari sejumlah k vektor dapat didefinisikan dan kadang-kadang disebut k-blade. Ia tinggal di ruang yang dikenal sebagai kekuatan eksterior ke-k. Besarnya k-blade yang dihasilkan adalah volume jajar genjang k-dimensi yang ujung-ujungnya adalah vektor yang diberikan, sama seperti besarnya perkalian tiga skalar dari vektor dalam tiga dimensi memberikan volume paralelepiped yang dihasilkan oleh vektor-vektor tersebut.

Aljabar eksterior, atau aljabar Grassmann setelah Hermann Grassmann,  adalah sistem aljabar yang produknya adalah produk eksterior. Aljabar eksterior menyediakan pengaturan aljabar untuk menjawab pertanyaan geometris. Misalnya, bilah memiliki interpretasi geometris yang konkret, dan objek di aljabar luar dapat dimanipulasi menurut seperangkat aturan yang tidak ambigu. Aljabar eksterior berisi objek yang tidak hanya k-blade, tetapi jumlah k-blade; jumlah seperti itu disebut k-vektor. K-blade, karena merupakan produk vektor sederhana, disebut elemen sederhana aljabar. Pangkat dari setiap k-vektor didefinisikan sebagai jumlah terkecil dari elemen sederhana yang merupakan penjumlahannya. Hasil kali eksterior meluas ke aljabar eksterior penuh, sehingga masuk akal untuk mengalikan dua elemen aljabar.

Definisi aljabar luar masuk akal untuk ruang bukan hanya vektor geometris, tetapi juga objek mirip vektor lainnya seperti bidang vektor atau fungsi. Secara umum, aljabar eksterior dapat didefinisikan untuk modul di atas ring komutatif, dan untuk struktur lain yang menarik dalam aljabar abstrak. Ini adalah salah satu konstruksi yang lebih umum di mana aljabar eksterior menemukan salah satu aplikasi terpentingnya, di mana ia muncul sebagai aljabar bentuk diferensial yang mendasar di area yang menggunakan geometri diferensial. Aljabar luar juga memiliki banyak sifat aljabar yang menjadikannya alat yang mudah digunakan dalam aljabar itu sendiri.

Asosiasi aljabar luar ke ruang vektor adalah jenis functor pada ruang vektor, yang berarti bahwa itu kompatibel dengan cara tertentu dengan transformasi linier ruang vektor. Aljabar eksterior adalah salah satu contoh bialjabar, artinya ruang gandanya juga memiliki produk, dan produk ganda ini kompatibel dengan produk eksterior. Aljabar ganda ini tepatnya adalah aljabar dari bentuk multilinier bolak-balik, dan pasangan antara aljabar eksterior dan dualnya diberikan oleh produk interior.

Hasil kali silang dan hasil kali rangkap tiga dalam ruang vektor Euclidean tiga dimensi masing-masing mengakui interpretasi geometris dan aljabar. Perkalian silang u × v dapat diartikan sebagai sebuah vektor yang tegak lurus terhadap u dan v dan yang besarnya sama dengan luas jajaran genjang yang ditentukan oleh kedua vektor tersebut. Ini juga dapat diartikan sebagai vektor yang terdiri dari minor dari matriks dengan kolom u dan v. Perkalian rangkap tiga dari u, v, dan w adalah skalar bertanda yang mewakili volume berorientasi geometris. Secara aljabar adalah determinan matriks dengan kolom u, v, dan w.  Produk eksterior dalam tiga dimensi memungkinkan interpretasi serupa: itu juga dapat diidentifikasi dengan garis berorientasi, area, volume, dll., Yang direntang oleh satu, dua atau lebih vektor.

Hasil kali luar menggeneralisasikan gagasan geometris ini ke semua ruang vektor dan ke sejumlah dimensi, bahkan tanpa produk skalar. Diberikan ring komutatif R dan modul-R M, kita dapat mendefinisikan aljabar luar (M) seperti di atas, sebagai hasil bagi aljabar tensor T(M). Ini akan memenuhi sifat universal analog. Banyak sifat (M) juga mengharuskan M menjadi modul proyektif. Dimana dimensi terbatas digunakan, properti selanjutnya mengharuskan M dibangkitkan dan proyektif. Generalisasi untuk situasi yang paling umum dapat ditemukan di Bourbaki (1989). Aljabar luar dari kumpulan vektor sering dipertimbangkan dalam geometri dan topologi. Tidak ada perbedaan esensial antara sifat aljabar aljabar luar dari berkas vektor berdimensi hingga dan aljabar luar dari modul proyektif yang dihasilkan hingga, dengan teorema Serre-Swan.

Baca Juga : Sejarah dan Fisafat Matematika

Aljabar eksterior yang lebih umum dapat didefinisikan untuk berkas modul. Dalam penerapan aljabar linier, hasil kali luar menyediakan cara aljabar abstrak untuk mendeskripsikan determinan dan minor dari suatu matriks. Misalnya, diketahui bahwa determinan matriks bujur sangkar sama dengan volume jajar genjang yang sisi-sisinya adalah kolom-kolom matriks (dengan orientasi tanda untuk melacak). Hal ini menunjukkan bahwa determinan dapat didefinisikan dalam hal produk eksterior dari vektor kolom.

Demikian juga, k × k minor dari suatu matriks dapat ditentukan dengan melihat hasil kali luar dari vektor-vektor kolom yang dipilih k pada suatu waktu. Ide-ide ini dapat diperluas tidak hanya ke matriks tetapi juga ke transformasi linier: determinan dari transformasi linier adalah faktor yang digunakan untuk menskalakan volume berorientasi paralelotop referensi yang diberikan. Jadi, determinan transformasi linier dapat didefinisikan dalam bentuk apa yang dilakukan transformasi terhadap daya luar atas. Tindakan transformasi pada kekuatan luar yang lebih rendah memberikan cara independen-dasar untuk berbicara tentang anak di bawah umur dari transformasi.