Mengulas Tentang Fondasi Matematika – Fondasi matematika adalah studi tentang filosofi dan logika dan/atau dasar algoritmik matematika , atau, dalam arti yang lebih luas, penyelidikan matematis tentang apa yang mendasari teori filosofis mengenai sifat matematika. Dalam pengertian terakhir ini, perbedaan antara dasar matematika dan filsafat matematika ternyata cukup kabur.

Mengulas Tentang Fondasi Matematika

transitionmathproject – Dasar matematika dapat dipahami sebagai studi tentang konsep matematika dasar (kumpulan, fungsi, bangun geometris, bilangan, dll.) dan bagaimana mereka membentuk hierarki struktur dan konsep yang lebih kompleks, terutama struktur penting yang membentukbahasa matematika (rumus, teori dan modelnya yang memberi arti pada rumus, definisi, pembuktian, algoritma, dll.) juga disebut konsep metamatematika , dengan memperhatikan aspek filosofis dan kesatuan matematika. Pencarian dasar-dasar matematika adalah pertanyaan sentral dari filosofi matematika; sifat abstrak objek matematika menghadirkan tantangan filosofis khusus.

Baca Juga : Mengenal Definisi dan Sejarah Notasi matematika

Secara keseluruhan, landasan matematika tidak bertujuan untuk menganut dasar-dasar setiap pembahasan matematika. Secara umum, dasar suatu bidang studi mengacu pada analisis yang kurang lebih sistematis dari konsep-konsep yang paling dasar atau fundamental, kesatuan konseptual dan urutan alami atau hierarki konsep, yang dapat membantu menghubungkannya dengan bagian manusia lainnya. pengetahuan. Perkembangan, kemunculan , dan klarifikasi yayasan dapat datang terlambat dalam sejarah suatu bidang, dan mungkin tidak dilihat oleh semua orang sebagai bagian yang paling menarik.

Matematika selalu memainkan peran khusus dalam pemikiran ilmiah, melayani sejak zaman kuno sebagai model kebenaran dan ketelitian untuk penyelidikan rasional, dan memberikan alat atau bahkan dasar untuk ilmu-ilmu lain (terutama fisika). Banyak perkembangan matematika menuju abstraksi yang lebih tinggi di abad ke-19 membawa tantangan dan paradoks baru, mendesak untuk pemeriksaan yang lebih dalam dan lebih sistematis tentang sifat dan kriteria kebenaran matematika , serta penyatuan berbagai cabang matematika menjadi satu kesatuan yang koheren.

Awal pencarian untuk sistematis dasar matematika dilakukan pada akhir abad ke19 serta membentuk matematika baru yaitu logika matematika , yang kemudian memiliki hubungan kuat dengan ilmu komputer teoretis . Ia melewati serangkaian krisis dengan hasil paradoks, sampai penemuan stabil selama abad ke-20 sebagai tubuh besar dan koheren pengetahuan matematika dengan beberapa aspek atau komponen ( teori himpunan , teori model , teori bukti)., dll.), yang sifat detailnya dan kemungkinan variannya masih merupakan bidang penelitian aktif. Tingkat kecanggihan teknisnya yang tinggi mengilhami banyak filosof untuk menduga bahwa ia dapat dijadikan sebagai model atau pola dasar bagi ilmu-ilmu lain.

Konteks sejarah

Sementara praktik matematika sebelumnya telah berkembang di peradaban lain, minat khusus pada aspek teoretis dan mendasarnya terlihat jelas dalam karya orang Yunani Kuno. Filsuf Yunani awal memperdebatkan mana yang lebih mendasar, aritmatika atau geometri. Zeno dari Elea (490 – c. 430 SM) menghasilkan empat paradoks yang tampaknya menunjukkan ketidakmungkinan perubahan. The sekolah Pythagoras matematika awalnya bersikeras bahwa hanya bilangan dan rasional ada.

Penemuan irasionalitas dari √ 2 , rasio diagonal persegi ke samping (sekitar abad ke-5 SM), adalah kejutan untuk mereka yang mereka enggan diterima. Perbedaan antara rasional dan real akhirnya diselesaikan oleh Eudoxus dari Cnidus (408–355 SM), seorang murid Plato., yang mengurangi perbandingan dua rasio irasional menjadi perbandingan kelipatan besaran yang terlibat. Metodenya mengantisipasi pemotongan Dedekind dalam definisi modern bilangan real oleh Richard Dedekind (1831–1916).

Dalam Posterior Analytics , Aristoteles (384–322 SM) menetapkan metode aksiomatik untuk mengatur bidang pengetahuan secara logis melalui konsep primitif, aksioma, postulat, definisi, dan teorema. Aristoteles mengambil sebagian besar contoh untuk ini dari aritmatika dan dari geometri.

Metode ini mencapai titik puncaknya dengan Euclid ‘s Elements (300 SM), sebuah risalah tentang matematika yang terstruktur dengan standar ketelitian yang sangat tinggi: Euclid membenarkan setiap proposisi dengan demonstrasi dalam bentuk rantai silogisme (walaupun mereka tidak selalu sesuai secara ketat). untuk template Aristotelian). Logika silogistik Aristoteles, bersama dengan metode aksiomatik yang dicontohkan oleh EuclidElemen , diakui sebagai pencapaian ilmiah Yunani kuno.

Platonisme sebagai filosofi matematika tradisional

Mulai dari akhir abad ke-19, pandangan Platonis tentang matematika menjadi umum di kalangan praktisi matematika. Konsep atau, seperti Platonis akan memilikinya, objek matematika yang abstrak dan jauh dari pengalaman persepsi sehari-hari: angka geometris dipahami sebagai idealities harus dibedakan dari gambar yang efektif dan bentuk benda, dan nomor tidak bingung dengan penghitungan beton objek. Keberadaan dan sifatnya menghadirkan tantangan filosofis khusus: Bagaimana objek matematika berbeda dari representasi konkretnya? Apakah mereka berada dalam representasi mereka, atau dalam pikiran kita, atau di tempat lain? Bagaimana kita bisa mengenal mereka?

Para filsuf Yunani kuno menanggapi pertanyaan semacam itu dengan sangat serius. Memang, banyak diskusi filosofis umum mereka dilakukan dengan referensi luas ke geometri dan aritmatika. Plato (424/423 SM – 348/347 SM) bersikeras bahwa objek matematika, seperti Ide (bentuk atau esensi) platonis lainnya , harus abstrak sempurna dan memiliki jenis keberadaan non-materi yang terpisah, di dunia objek matematika yang independen. dari manusia. Dia percaya bahwa kebenaran tentang benda-benda ini juga ada secara independen dari pikiran manusia, tetapi ditemukan oleh manusia. Dalam Meno , guru Plato, Socrates menegaskan bahwa adalah mungkin untuk mengetahui kebenaran ini dengan proses yang mirip dengan pengambilan memori.

Di atas pintu gerbang ke akademi Plato muncul sebuah prasasti terkenal: “Jangan biarkan siapa pun yang tidak tahu geometri masuk ke sini”. Dengan cara ini Plato menunjukkan pendapatnya yang tinggi tentang geometri. Dia menganggap geometri sebagai “penting pertama dalam pelatihan para filsuf”, karena karakter abstraknya. Filosofi realisme matematika Platonis ini dimiliki oleh banyak matematikawan. Dapat dikatakan bahwa Platonisme entah bagaimana datang sebagai asumsi yang diperlukan yang mendasari pekerjaan matematika apa pun.

Dalam pandangan ini, hukum alam dan hukum matematika memiliki status yang sama, dan efektivitasnya tidak lagi masuk akal. Bukan aksioma kita, tetapi dunia objek matematika yang sangat nyata membentuk fondasinya. Aristoteles membedah dan menolak pandangan ini dalam Metafisikanya . Pertanyaan-pertanyaan ini memberikan banyak bahan bakar untuk analisis dan debat filosofis.

Abad Pertengahan dan Renaisans

Selama lebih dari 2.000 tahun, Elemen Euclid berdiri sebagai dasar yang sangat kokoh untuk matematika, karena metodologi eksplorasi rasionalnya membimbing matematikawan, filsuf, dan ilmuwan hingga abad ke-19. Abad Pertengahan melihat perselisihan atas status ontologis universal (Ide Platonis): Realisme menegaskan keberadaan mereka secara independen dari persepsi; konseptualisme menegaskan keberadaan mereka di dalam pikiran saja; nominalisme juga menyangkal, hanya melihat universal sebagai nama kumpulan objek individu (mengikuti spekulasi yang lebih tua bahwa mereka adalah kata-kata, ” logoi “).

René Descartes menerbitkan La Géométrie (1637), bertujuan untuk mereduksi geometri menjadi aljabar melalui sistem koordinat, memberikan aljabar peran yang lebih mendasar (sementara orang Yunani menanamkan aritmatika ke dalam geometri dengan mengidentifikasi bilangan bulat dengan titik-titik yang berjarak sama pada sebuah garis). Buku Descartes menjadi terkenal setelah 1649 dan membuka jalan menuju kalkulus yang sangat kecil.

Isaac Newton (1642-1727) di Inggris dan Leibniz (1646-1716) di Jerman secara independen mengembangkan kalkulus sangat kecil berdasarkan metode heuristik yang sangat efisien, tetapi sangat kekurangan pembenaran yang ketat. Leibniz bahkan secara eksplisit menggambarkan infinitesimals sebagai angka kecil yang sebenarnya (mendekati nol). Leibniz juga mengerjakan logika formal tetapi sebagian besar tulisannya tetap tidak diterbitkan sampai tahun 1903.

Filsuf Protestan George Berkeley (1685–1753), dalam kampanyenya melawan implikasi religius dari mekanika Newton, menulis sebuah pamflet tentang kurangnya pembenaran rasional dari kalkulus sangat kecil: “Mereka bukanlah kuantitas yang terbatas, atau kuantitas yang sangat kecil, juga belum apa-apa. Bolehkah kita tidak menyebut mereka hantu dari kuantitas yang telah pergi?”

Analisis nyata

Cauchy (1789-1857) memulai proyek merumuskan dan membuktikan teorema kalkulus sangat kecil dengan cara yang ketat, menolak prinsip heuristik dari generalitas aljabar dieksploitasi oleh penulis sebelumnya. Dalam karyanya tahun 1821, Cours d’Analyse, dia mendefinisikan jumlah kecil yang tak terhingga dalam kaitannya dengan urutan menurun yang konvergen ke 0, yang kemudian dia gunakan untuk mendefinisikan kontinuitas. Tapi dia tidak meresmikan gagasannya tentang konvergensi.

Definisi limit dan fungsi kontinu (,) modern pertama kali dikembangkan oleh Bolzano pada tahun 1817, tetapi tetap relatif tidak diketahui. Ini memberikan dasar yang kuat dari kalkulus sangat kecil berdasarkan himpunan bilangan real, bisa dibilang menyelesaikan paradoks Zeno dan argumen Berkeley.

Matematikawan seperti Karl Weierstrass (1815–1897) menemukan fungsi patologis seperti fungsi kontinu yang tidak terdiferensiasi di mana pun . Konsepsi sebelumnya dari fungsi sebagai aturan untuk perhitungan, atau grafik halus, tidak lagi memadai. Weierstrass mulai menganjurkan aritmetisasi analisis , untuk mengaksiomakan analisis menggunakan sifat-sifat bilangan asli.

Pada tahun 1858, Dedekind mengusulkan definisi bilangan real sebagai pemotongan bilangan rasional. Pengurangan bilangan real dan fungsi kontinu dalam hal bilangan rasional, dan dengan demikian bilangan asli, kemudian diintegrasikan oleh Cantor dalam teori himpunannya, dan diaksiomakan dalam bentuk aritmatika orde kedua oleh Hilbert dan Bernays.

Teori grup

Untuk pertama kalinya, batas-batas matematika dieksplorasi. Niels Henrik Abel (1802–1829), seorang Norwegia, dan variste Galois , (1811–1832) seorang Prancis, menyelidiki solusi berbagai persamaan polinomial, dan membuktikan bahwa tidak ada solusi aljabar umum untuk persamaan derajat yang lebih besar dari empat ( Abel – teorema Ruffini ). Dengan konsep ini, Pierre Wantzel (1837) membuktikan bahwa penggaris dan kompas saja tidak dapat membagi tiga sudut sembarang atau menggandakan kubus .

Pada tahun 1882, bangunan Lindemann di atas karya Hermite menunjukkan bahwa garis lurus dan kuadratur kompas dari lingkaran(pembangunan yang sama persegi di daerah untuk lingkaran diberikan) juga tidak mungkin dengan membuktikan bahwa π adalah nomor transendental . Matematikawan telah berusaha untuk memecahkan semua masalah ini dengan sia-sia sejak zaman Yunani kuno.

Karya Abel dan Galois membuka jalan bagi perkembangan teori grup (yang nantinya akan digunakan untuk mempelajari simetri dalam fisika dan bidang lainnya), dan aljabar abstrak . Konsep ruang vektor muncul dari konsep koordinat barycentric oleh Möbius pada tahun 1827, hingga definisi modern dari ruang vektor dan peta linier oleh Peano pada tahun 1888. Geometri tidak lagi terbatas pada tiga dimensi. Konsep-konsep ini tidak menggeneralisasi angka tetapi menggabungkan gagasan fungsi dan himpunan yang belum diformalkan, melepaskan diri dari objek matematika yang sudah dikenal.

Baca Juga : 4 Fakta Aneh Tentang Matematika

Geometri non-Euclidean

Setelah banyak usaha yang gagal untuk menurunkan postulat paralel dari aksioma lain, studi tentang geometri hiperbolik hipotetis oleh Johann Heinrich Lambert (1728-1777) membawanya untuk memperkenalkan fungsi hiperbolik dan menghitung luas segitiga hiperbolik (di mana jumlah dari sudutnya kurang dari 180°). Kemudian matematikawan Rusia Nikolai Lobachevsky (1792–1856) menetapkan pada tahun 1826 (dan diterbitkan pada tahun 1829) koherensi geometri ini (dengan demikian kemandirian postulat paralel ), secara paralel dengan matematikawan Hongaria János Bolyai (1802–1860) pada tahun 1832 , dan dengan Gauss.

Kemudian pada abad ke-19, matematikawan Jerman Bernhard Riemann mengembangkan geometri Elliptik , geometri non-Euclidean lain di mana tidak ada paralel yang dapat ditemukan dan jumlah sudut dalam segitiga lebih dari 180°. Itu terbukti konsisten dengan mendefinisikan titik berarti sepasang titik antipodal pada bola tetap dan garis berarti lingkaran besar pada bola. Pada saat itu, metode utama untuk membuktikan konsistensi dari sekumpulan aksioma adalah dengan menyediakan model untuk aksioma tersebut .