transitionmathproject

Pengertian Dari Aljabar Boolean Sebagai Nilai Variabel – Dalam matematika dan logika matematika, aljabar Boolean adalah cabang aljabar di mana nilai-nilai variabel adalah nilai kebenaran yang benar dan salah, biasanya ditandai masing-masing 1 dan 0. Alih-alih aljabar dasar, di mana nilai variabel adalah angka dan operasi utama adalah penambahan dan perkalian, operasi utama aljabar Boolean adalah konjungsi (dan) ditandai sebagai ∧, disjunction (atau) ditandai sebagai ∨, dan negasi (bukan) ditandai sebagai ¬. Dengan demikian ini adalah formalisme untuk menggambarkan operasi logis, dengan cara yang sama seperti aljabar dasar menggambarkan operasi numerik.

Pengertian Dari Aljabar Boolean Sebagai Nilai Variabel

transitionmathproject – Aljabar Boolean diperkenalkan oleh George Boole dalam buku pertamanya The Mathematical Analysis of Logic (1847), dan ditetapkan lebih lengkap dalam Investigasi Hukum Pemikirannya (1854). Menurut Huntington, istilah “Boolean aljabar” pertama kali disarankan oleh Sheffer pada tahun 1913, meskipun Charles Sanders Peirce memberikan judul “A Boolean Algebra with One Constant” ke bab pertama dari “Matematika Paling Sederhana” pada tahun 1880. Aljabar Boolean telah mendasar dalam pengembangan elektronik digital, dan disediakan untuk dalam semua bahasa pemrograman modern. Ini juga digunakan dalam teori dan statistik yang ditetapkan.

Baca Juga : Mengenal Rentang Linear dan Kombinasi Linear Dilengkapi Dengan Contoh Soal

Sejarah

Pendahulu aljabar Boolean adalah aljabar konsep Gottfried Wilhelm Leibniz. Aljabar konsep Leibniz secara deduktif setara dengan aljabar boolean set. Aljabar Boole mendahului perkembangan modern dalam aljabar abstrak dan logika matematika; namun dipandang terhubung dengan asal-usul kedua bidang. Dalam lingkungan abstrak, aljabar Boolean disempurnakan pada akhir abad ke-19 oleh Jevons, Schröder, Huntington dan lainnya, sampai mencapai konsepsi modern dari struktur matematika (abstrak). Misalnya, pengamatan empiris bahwa seseorang dapat memanipulasi ekspresi dalam aljabar set, dengan menerjemahkannya ke dalam ekspresi dalam aljabar Boole, dijelaskan dalam istilah modern dengan mengatakan bahwa aljabar set adalah aljabar Boolean (perhatikan artikel yang tidak terbatas). Bahkan, M. H. Stone membuktikan pada tahun 1936 bahwa setiap aljabar Boolean adalah isomorfik untuk bidang set.

Pada tahun 1930-an, saat mempelajari sirkuit switching, Claude Shannon mengamati bahwa seseorang juga dapat menerapkan aturan aljabar Boole dalam pengaturan ini, dan ia memperkenalkan beralih aljabar sebagai cara untuk menganalisis dan merancang sirkuit dengan cara aljabar dalam hal gerbang logika. Shannon sudah memiliki alat matematika abstrak, sehingga ia melemparkan aljabar switching-nya sebagai aljabar Boolean dua elemen. Dalam pengaturan rekayasa sirkuit modern, ada sedikit kebutuhan untuk mempertimbangkan aljabar Boolean lainnya, sehingga “beralih aljabar” dan “aljabar Boolean” sering digunakan secara bergantian.

Implementasi fungsi Boolean yang efisien adalah masalah mendasar dalam desain sirkuit logika kombinasi. Alat otomasi desain elektronik modern untuk sirkuit VLSI sering mengandalkan representasi fungsi Boolean yang efisien yang dikenal sebagai diagram keputusan biner (berkurang dipesan) (BDD) untuk sintesis logika dan verifikasi formal.

Dengan demikian, logika Boolean kadang-kadang digunakan untuk menunjukkan kalkulus proposisi yang dilakukan dengan cara ini. Aljabar Boolean tidak cukup untuk menangkap rumus logika menggunakan kuantifier, seperti yang berasal dari logika urutan pertama.

Meskipun pengembangan logika matematika tidak mengikuti program Boole, hubungan antara aljabar dan logikanya kemudian diletakkan di tanah yang kuat dalam pengaturan logika aljabar, yang juga mempelajari sistem aljabar dari banyak logika lainnya. Masalah menentukan apakah variabel formula Boolean (proposisi) yang diberikan dapat ditetapkan sedemikian rupa untuk membuat formula mengevaluasi ke benar disebut Boolean masalah kelayakan (SAT), dan sangat penting untuk ilmu komputer teoritis, menjadi masalah pertama yang ditunjukkan untuk NP-lengkap. Model komputasi yang terkait erat yang dikenal sebagai sirkuit Boolean berkaitan dengan kompleksitas waktu (algoritma) dengan kompleksitas sirkuit.

Hukum

Hukum aljabar Boolean adalah identitas seperti x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z antara dua istilah Boolean, di mana istilah Boolean didefinisikan sebagai ekspresi yang dibangun dari variabel dan konstanta 0 dan 1 menggunakan ∧ operasi, ∨, dan ¬. Konsep ini dapat diperluas ke istilah yang melibatkan operasi Boolean lainnya seperti ⊕, →, dan ≡, tetapi ekstensi semacam itu tidak perlu untuk tujuan di mana undang-undang diletakkan. Tujuan tersebut termasuk definisi aljabar Boolean sebagai model hukum Boolean, dan sebagai sarana untuk mendapatkan hukum baru dari yang lama seperti dalam turunan x ∨ (y ∧ z) = x ∨ (z ∧ y) dari y ∧ z = z ∧ y (seperti yang dirawat di • Axiomatizing Boolean aljabar).

Kelengkapan

Undang-undang Pelengkap 1 dan 2, bersama dengan undang-undang monoton, cukup untuk tujuan ini dan karenanya dapat diambil sebagai satu set hukum lengkap atau axiomatisasi aljabar Boolean. Setiap hukum aljabar Boolean mengikuti secara logis dari aksiom ini. Selain itu, aljabar Boolean kemudian dapat didefinisikan sebagai model aksiom ini seperti yang dirawat di • aljabar Boolean.

Untuk mengklarifikasi, dalam daftar beberapa tetapi tidak semua hukum yang sama, bisa saja ada undang-undang Boolean yang tidak mengikuti dari mereka yang ada dalam daftar, dan apalagi akan ada model undang-undang yang terdaftar yang bukan aljabar Boolean.

Aksiomaisasi ini sama sekali bukan satu-satunya, atau bahkan yang paling alami mengingat bahwa kami tidak memperhatikan apakah beberapa aksiom diikuti dari orang lain tetapi hanya memilih untuk berhenti ketika kami melihat kami memiliki hukum yang cukup, diperlakukan lebih lanjut di • Axiomatizing Boolean aljabar. Atau gagasan perantara aksioma dapat disisihkan sama sekali dengan mendefinisikan hukum Boolean secara langsung sebagai tautologi apa pun, dipahami sebagai persamaan yang memegang untuk semua nilai variabelnya di atas 0 dan 1. Semua definisi aljabar Boolean ini dapat ditunjukkan setara.

Prinsip Dualitas

Prinsip: Jika {X, R} adalah poset, maka {X, R(inverse)} juga merupakan poset.

Tidak ada yang ajaib tentang pilihan simbol untuk nilai-nilai aljabar Boolean. Kami bisa mengganti nama 0 dan 1 untuk mengatakan α dan β, dan selama kami melakukannya secara konsisten di seluruh itu masih akan menjadi aljabar Boolean, meskipun dengan beberapa perbedaan kosmetik yang jelas.

Tapi misalkan kita ganti nama masing-masing 0 dan 1 sampai 1 dan 0. Maka itu masih akan menjadi aljabar Boolean, dan apalagi beroperasi pada nilai yang sama. Namun itu tidak akan identik dengan aljabar Boolean asli kita karena sekarang kita menemukan ∨ berperilaku seperti ∧ biasa lakukan dan sebaliknya. Jadi masih ada beberapa perbedaan kosmetik untuk menunjukkan bahwa kita telah mengutak-atik notasi, terlepas dari kenyataan bahwa kita masih menggunakan 0s dan 1s.

Tetapi jika selain bertukar nama-nama nilai kami juga bertukar nama dari dua operasi biner, sekarang tidak ada jejak dari apa yang telah kami lakukan. Produk akhir benar-benar tidak dapat dibedakan dari apa yang kita mulai dengan. Kita mungkin melihat bahwa kolom untuk x ∧ y dan x ∨ y dalam tabel kebenaran telah berubah tempat, tetapi saklar itu tidak penting.

Ketika nilai dan operasi dapat dipasangkan dengan cara yang membuat semuanya penting tidak berubah ketika semua pasangan beralih secara bersamaan, kami menyebut anggota masing-masing pasangan ganda satu sama lain. Dengan demikian 0 dan 1 bermusyk dua, ∧ dan ∨ yang ganda. Prinsip Dualitas, juga disebut dualitas De Morgan, menegaskan bahwa aljabar Boolean tidak berubah ketika semua pasangan ganda dipertukarkan.

Satu perubahan yang tidak perlu kita lakukan sebagai bagian dari pertukaran ini adalah untuk melengkapi. Kami mengatakan bahwa pelengkap adalah operasi ganda diri. Operasi identitas atau tidak melakukan apa-apa x (salin input ke output) juga ganda. Contoh yang lebih rumit dari operasi ganda mandiri adalah (x ∧ y) ∨ (y ∧ z) ∨ (z ∧ x). Tidak ada operasi biner ganda mandiri yang tergantung pada kedua argumennya. Komposisi operasi ganda mandiri adalah operasi ganda mandiri. Misalnya, jika f(x, y, z) = (x ∧ y) ∨ (y ∧ z) ∨ (z ∧ x), maka f(f(x, y, z), x, t) adalah operasi ganda mandiri dari empat argumen x, y, z, t.

Baca Juga : Cara Menulis Esai Dalam Bahasa Inggris Yang Baik

Prinsip dualitas dapat dijelaskan dari perspektif teori kelompok dengan fakta bahwa ada tepat empat fungsi yang merupakan pemetaan satu-ke-satu (automorfisme) dari set polinomial Boolean kembali ke dirinya sendiri: fungsi identitas, fungsi pelengkap, fungsi ganda dan fungsi kontradual (dilengkapi dual). Keempat fungsi ini membentuk kelompok di bawah komposisi fungsi, isomorfik untuk empat kelompok Klein, bertindak pada set polinomial Boolean. Walter Gottschalk mengatakan bahwa akibatnya nama yang lebih tepat untuk fenomena itu akan menjadi prinsip (atau persegi) dari kualnalitas.