transitionmathproject

Modul Injektif

Penjelasan Dari Teori Modul Injektif Dan Definisinya – Dalam matematika, terutama di area aljabar abstrak yang dikenal sebagai teori modul, modul injektif adalah modul Q yang berbagi sifat tertentu yang diinginkan dengan Z-modul Q dari semua angka rasional. Secara khusus, jika Q adalah submodule dari beberapa modul lain, maka itu sudah merupakan penjumlahan langsung dari modul itu; juga, mengingat submodule modul Y, maka setiap modul homomorfisme dari submodule ini ke Q dapat diperluas ke homomorfisme dari semua Y ke Q. Konsep ini berkonsep ganda dengan modul proyektif. Modul injektif diperkenalkan di (Baer 1940) dan dibahas secara rinci dalam buku teks (Lam 1999, •3).

Penjelasan Dari Teori Modul Injektif Dan Definisinya

transitionmathproject – Modul injektif telah banyak dipelajari, dan berbagai gagasan tambahan didefinisikan dalam hal mereka: Kogenerator injektif adalah modul injektif yang dengan setia mewakili seluruh kategori modul. Resolusi injektif mengukur seberapa jauh dari injektif modul dalam hal dimensi injektif dan mewakili modul dalam kategori turunan. Lambung injektif adalah ekstensi penting maksimal, dan ternyata ekstensi injektif minimal. Melalui cincin Noetherian, setiap modul injektif secara unik merupakan jumlah langsung dari modul yang tidak terkomposisi, dan strukturnya dipahami dengan baik. Modul injektif di atas satu cincin, mungkin tidak injektif di atas yang lain, tetapi ada metode yang dipahami dengan baik untuk mengubah cincin yang menangani kasus khusus. Cincin yang merupakan modul injektif sendiri memiliki sejumlah properti yang menarik dan termasuk cincin seperti cincin kelompok kelompok terbatas di atas bidang. Modul injektif termasuk kelompok yang dapat dibagi dan dimualisasi oleh gagasan objek injektif dalam teori kategori.

Baca Juga : Membahas Modul Proyektif Yang Menjadi Vektor Dasar

Definisi

Modul kiri Q di atas ring R adalah injektif jika memenuhi satu (dan oleh karena itu semua) dari kondisi yang setara berikut: Jika Q adalah submodule dari beberapa R-modul kiri M lainnya, maka ada submodule lain K dari M sedemikian rupa sehingga M adalah jumlah langsung internal Q dan K, yaitu Q + K = M dan Q ∩ K = {0}.
Setiap urutan tepat pendek 0 →Q → M → K → 0 dari modul R kiri split.

Contoh pertama

Sepele, modul nol {0} injektif.

Mengingat bidang k, setiap k-vector space Q adalah modul k injektif. Alasan: jika Q adalah subspace V, kita dapat menemukan dasar Q dan memperluasnya ke dasar V. Vektor dasar ekstensi baru mencakup subspace K V dan V adalah jumlah langsung internal Q dan K. Perhatikan bahwa pelengkap langsung K Q tidak ditentukan secara unik oleh Q, dan demikian juga peta perluasan h dalam definisi di atas biasanya tidak unik.

Rasional Q (dengan penambahan) membentuk kelompok abelian injektif (yaitu modul Z injektif). Kelompok faktor Q / Z dan kelompok lingkaran juga injektif Z-modul. Kelompok faktor Z / nZ untuk n > 1 adalah injektif sebagai Z / nZ-modul, tetapi tidak menyuntikkan sebagai kelompok abelian.

Contoh artinia

Jika G adalah kelompok terbatas dan k bidang dengan karakteristik 0, maka satu menunjukkan dalam teori representasi kelompok bahwa setiap subrepresentasi dari yang diberikan sudah merupakan penjumlahan langsung dari yang diberikan. Diterjemahkan ke dalam bahasa modul, ini berarti bahwa semua modul di atas grup aljabar kG adalah injektif. Jika karakteristik k bukan nol, contoh berikut dapat membantu.

Jika A adalah aljabar asosiatif unital di atas field k dengan dimensi terbatas di atas k, maka Homk(−, k) adalah dualitas antara modul A kiri yang dihasilkan secara terbatas dan modul A kanan yang dihasilkan secara terbatas. Oleh karena itu, modul A kiri injektif yang dihasilkan secara terbatas justru merupakan modul dari bentuk Homk(P, k) di mana P adalah modul A kanan proyektif yang dihasilkan secara terbatas. Untuk aljabar simetris, dualitasnya sangat berperilaku baik dan modul proyektif dan modul injektif bertepatan.

Untuk cincin Artinian apa pun, sama seperti cincin komutasi, ada korespondensi 1-1 antara cita-cita utama dan modul injektif yang tidak terkomposisi. Korespondensi dalam hal ini mungkin bahkan lebih sederhana: cita-cita utama adalah pemusnahan modul sederhana yang unik, dan modul injektif yang tidak terkomposisi yang sesuai adalah lambung injektifnya. Untuk aljabar dimensi terbatas di atas ladang, lambung injektif ini adalah modul yang dihasilkan secara terbatas (Lam 1999, •3G, •3J).

Submodule, quotients, produk, dan jumlah

Setiap produk dari modul injektif (bahkan sangat banyak) adalah injektif; sebaliknya, jika produk langsung modul adalah injektif, maka setiap modul adalah injektif (Lam 1999, p. 61). Setiap jumlah langsung dari banyak modul injektif terbatas adalah injektif. Secara umum, submodule, modul faktor, atau jumlah langsung modul injektif yang tak terbatas tidak perlu disuntikkan. Setiap submodule dari setiap modul injektif adalah injektif jika dan hanya jika cincin adalah semisimple Artinian (Golan & Kepala 1991, hal. setiap modul faktor dari setiap modul injektif adalah injektif jika dan hanya jika cincin turun-temurun, (Lam 1999, Th. 3.22); setiap jumlah langsung modul injektif yang tak terbatas adalah injektif jika dan hanya jika cincin adalah Noetherian, (Lam 1999, Th 3.46).

Kriteria Baer

Dalam makalah asli Baer, ia membuktikan hasil yang berguna, biasanya dikenal sebagai Kriteria Baer, untuk memeriksa apakah modul disuntikkan: R-modul kiri Q adalah injektif jika dan hanya jika ada homomorfisme g : Saya → Q didefinisikan pada I R ideal kiri dapat diperluas ke semua R.

Dengan menggunakan kriteria ini, seseorang dapat menunjukkan bahwa Q adalah kelompok abelian injektif (yaitu modul injektif di atas Z). Lebih umum, kelompok abelian menyuntikkan jika dan hanya jika itu dapat dibagi. Lebih umum lagi: modul di atas domain ideal utama adalah injektif jika dan hanya jika dapat dibagi (kasus ruang vektor adalah contoh dariorema ini, karena setiap bidang adalah domain ideal utama dan setiap ruang vektor dapat dibagi). Melalui domain integral umum, kami masih memiliki satu implikasi: setiap modul injektif melalui domain integral dapat dibagi.

Kriteria Baer telah disempurnakan dalam banyak hal (Golan & Head 1991, p. 119), termasuk hasil dari (Smith 1981) dan (Vamos 1983) bahwa untuk cincin Noetherian komutasiatif, cukup untuk mempertimbangkan hanya cita-cita utama I. Ganda kriteria Baer, yang akan memberikan tes untuk proyektivitas, adalah palsu secara umum. Misalnya, Z-module Q memenuhi dua kriteria Baer tetapi tidak proyektif.

Kogenerator injektif

Mungkin modul injektif yang paling penting adalah kelompok abelian Q / Z. Ini adalah kogenerator injektif dalam kategori kelompok abelian, yang berarti bahwa itu injektif dan modul lain terkandung dalam produk besar yang cocok dari salinan Q / Z. Jadi khususnya, setiap kelompok abelian adalah subkelompok dari injektif. Hal ini cukup signifikan bahwa ini juga berlaku atas cincin apa pun: setiap modul adalah submodule dari injektif, atau “kategori modul R kiri memiliki cukup suntikan.” Untuk membuktikan hal ini, seseorang menggunakan sifat aneh dari kelompok abelian Q / Z untuk membangun kogenerator injektif dalam kategori modul R kiri.

Untuk R-module M kiri, yang disebut “modul karakter” M+ = HomZ (M, Q/Z) adalah modul R kanan yang menunjukkan dualitas yang menarik, bukan antara modul injektif dan modul proyektif, tetapi antara modul injektif dan modul datar (Enochs & Jenda 2001, pp. 78–80). Untuk setiap cincin R, modul R kiri datar jika dan hanya jika modul karakternya injektif. Jika R dibiarkan noetherian, maka R-module kiri adalah injektif jika dan hanya jika modul karakternya datar.

Lambung injektif

Lambung injektif modul adalah modul injektif terkecil yang berisi yang diberikan dan dijelaskan dalam (Eckmann & Shopf 1953). Seseorang dapat menggunakan lambung injektif untuk menentukan resolusi injektif minimal (lihat di bawah). Jika setiap istilah resolusi injektif adalah lambung injektif dari cokernel dari peta sebelumnya, maka resolusi injektif memiliki panjang minimal.

Resolusi injektif

Setiap modul M juga memiliki resolusi injektif: urutan bentuk yang tepat

0 → M → I0 → I1 → I2 → …
di mana I j adalah modul injektif. Resolusi injektif dapat digunakan untuk mendefinisikan functor yang diturunkan seperti functor Ext.

Panjang resolusi injektif terbatas adalah indeks pertama n sedemikian rupa sehingga In adalah nonzero dan Ii = 0 untuk i lebih besar dari n. Jika modul M mengakui resolusi injektif terbatas, panjang minimal di antara semua resolusi injektif terbatas M disebut dimensi injektif dan menunjukkan id (M). Jika M tidak mengakui resolusi injektif terbatas, maka secara konvensi dimensi injektif dikatakan tidak terbatas. (Lam 1999, •5C) Sebagai contoh, pertimbangkan modul M sedemikian rupa sehingga id (M) = 0. Dalam situasi ini, ketetapan urutan 0 → M → I0 → 0 menunjukkan bahwa panah di tengah adalah isomorfisme, dan karenanya M sendiri adalah injektif. Setara dengan itu, dimensi injektif M adalah bilangan bulat minimal (jika ada seperti itu, jika tidak∞) n sedemikian rupa sehingga ExtN
A(–,M) = 0 untuk semua N > n.

Tidak terkomposables

Setiap submodule injektif modul injektif adalah summand langsung, sehingga penting untuk memahami modul injektif yang tidak terkomposisi, (Lam 1999, •3F). Setiap modul injektif yang tidak terkomposisi memiliki cincin endomorfisme lokal. Modul disebut modul seragam jika setiap dua submodul nonzero memiliki persimpangan nonzero. Untuk modul injektif M, berikut ini setara:

M tidak dapat dikomposisikan
M adalah nonzero dan merupakan lambung injektif dari setiap submodule nonzero
M seragam
M adalah lambung injektif modul seragam
M adalah lambung injektif modul siklik seragam
M memiliki cincin endomorfisme lokal
Melalui cincin Noetherian, setiap modul injektif adalah jumlah langsung dari modul injektif indekomposable (yang ditentukan secara unik). Melalui cincin Noetherian komutasitif, ini memberikan pemahaman yang sangat bagus tentang semua modul injektif, yang dijelaskan dalam (Matlis 1958). Modul injektif yang tidak terkomposisi adalah lambung injektif modul R / p untuk p cita-cita utama cincin R. Selain itu, lambung injektif M dari R / p memiliki penyaringan yang meningkat oleh modul Mn yang diberikan oleh para penmuja cita-cita pn, dan Mn + 1 / Mn adalah isomorfik sebagai ruang vektor dimensi terbatas di atas bidang quotient k (p) R / p untuk HomR / p (pn / pn + 1, k (p)).

Perubahan cincin

Penting untuk dapat mempertimbangkan modul di atas subring atau cincin quotient, terutama misalnya cincin polinomial. Secara umum, ini sulit, tetapi sejumlah hasil diketahui, (Lam 1999, p. 62). Biarkan S dan R berdering, dan P menjadi bimodule kiri-R, kanan-S yang datar sebagai modul R kiri. Untuk setiap injektif kanan S-modul M, set modul homomorfisme HomS ( P, M ) adalah injektif kanan R-modul. Misalnya, jika R adalah subring S sedemikian rupa sehingga S adalah modul R datar, maka setiap modul S injektif adalah modul R injektif. Secara khusus, jika R adalah domain integral dan S bidang pecahannya, maka setiap ruang vektor di atas S adalah modul R injektif. Demikian pula, setiap injektif R[x]-module adalah modul R injektif.

Untuk quotient ring R/I, pergantian cincin juga sangat jelas. Modul R adalah modul R / I tepatnya ketika dimusnahkan oleh I. Submodule annI(M) = { m in M : im = 0 untuk semua i in I } adalah submodule kiri dari R-module M kiri, dan merupakan submodule terbesar dari M yang merupakan modul R/I. Jika M adalah modul R kiri injektif, maka annI(M) adalah modul R/I kiri injektif. Menerapkan ini ke R = Z, I = nZ dan M = Q / Z, seseorang mendapatkan fakta yang akrab bahwa Z / nZ adalah injektif sebagai modul atas dirinya sendiri. Meskipun mudah untuk mengubah modul R injektif menjadi modul R / I injektif, proses ini tidak mengubah resolusi R injektif menjadi resolusi R / I injektif, dan homologi kompleks yang dihasilkan adalah salah satu bidang studi awal dan mendasar dari aljabar homologis relatif.

Cincin injektif sendiri

Setiap cincin dengan kesatuan adalah modul gratis dan karenanya adalah proyektif sebagai modul atas dirinya sendiri, tetapi lebih jarang cincin menjadi suntikan sebagai modul atas dirinya sendiri, (Lam 1999, •3B). Jika cincin disuntikkan sendiri sebagai modul yang tepat, maka itu disebut cincin injektif diri yang tepat. Setiap aljabar Frobenius adalah injektif diri, tetapi tidak ada domain integral yang bukan bidang yang menyuntikkan diri. Setiap kutipan yang tepat dari domain Dedekind adalah injektif diri.

Cincin injektif diri kanan Noetherian disebut cincin kuasi-Frobenius, dan dua sisi Artinian dan injektif dua sisi, (Lam 1999, Th. 15.1). Sifat memujatik modul penting dari cincin kuasi-Frobenius adalah bahwa modul proyektif adalah modul injektif.

Objek injektif

Salah satunya juga berbicara tentang objek injektif dalam kategori yang lebih umum daripada kategori modul, misalnya dalam kategori functor atau dalam kategori sekat modul OX di atas beberapa ruang berdering (X,OX). Definisi umum berikut digunakan: objek Q dari kategori C adalah injektif jika untuk setiap monomorfisme f : X → Y di C dan morfisme g : X → Q ada morfisme h : Y → Q dengan hf = g.

Grup yang dapat dibagi

Gagasan objek injektif dalam kategori kelompok abelian dipelajari agak independen dari modul injektif di bawah istilah kelompok divisible. Di sini modul Z M adalah injektif jika dan hanya jika n⋅M = M untuk setiap bilangan bulat nonzero n. Di sini hubungan antara modul datar, submodule murni, dan modul injektif lebih jelas, karena hanya mengacu pada sifat divisibilitas tertentu dari elemen modul oleh bilangan bulat.

Baca Juga : Aplikasi Binary code Serta Orang Yang Pertamakali Menggunakannya

Suntikan murni

Dalam aljabar homologis relatif, properti ekstensi homomorfisme mungkin diperlukan hanya untuk submodule tertentu, bukan untuk semua. Misalnya, modul injektif murni adalah modul di mana homomorfisme dari submodule murni dapat diperluas ke seluruh modul.