transitionmathproject

Penjelasan Pada Teori Dasar Matematika Tentang Bola Riemann Dan Hubungan Dengan Geometri – Dalam matematika, bola Riemann, dinamai bernhard Riemann, adalah model pesawat kompleks yang diperpanjang, bidang kompleks ditambah titik tak terbatas. Bidang yang diperluas ini menunjukkan bilangan kompleks yang diperluas, yaitu bilangan kompleks ditambah nilai yang ∞ tak terbatas. Dengan model Riemann, titik “∞” mendekati angka yang sangat besar, sama seperti titik “0” mendekati angka yang sangat kecil.

Penjelasan Pada Teori Dasar Matematika Tentang Bola Riemann Dan Hubungan Dengan Geometri

transitionmathproject – Bilangan kompleks yang diperluas berguna dalam analisis kompleks karena memungkinkan pembagian dengan nol dalam beberapa keadaan, dengan cara yang membuat ekspresi seperti Misalnya, fungsi rasional apa pun pada bidang kompleks dapat diperluas ke fungsi holomorfik pada lingkup Riemann, dengan kutub pemetaan fungsi rasional hingga tak terbatas. Lebih umum, setiap fungsi meromorphic dapat dianggap sebagai fungsi holomorfik yang codomainnya adalah bola Riemann.

Baca Juga : Penjelasan Dari Teori Modul Injektif Dan Definisinya

Dalam geometri, bola Riemann adalah contoh prototypical dari permukaan Riemann, dan merupakan salah satu manifold kompleks paling sederhana. Dalam geometri proyektif, bola dapat dianggap sebagai garis proyektif kompleks P1 (C), ruang proyektif semua garis kompleks di C2. Seperti halnya permukaan Riemann yang ringkas, bola juga dapat dipandang sebagai kurva aljabar proyektif, menjadikannya contoh mendasar dalam geometri aljabar. Ini juga menemukan utilitas dalam disiplin ilmu lain yang tergantung pada analisis dan geometri, seperti lingkup Bloch mekanika kuantum dan di cabang fisika lainnya.

Implikasi Struktur Kompleks

Karena fungsi holomorfik jauh lebih kaku daripada fungsi halus, teori manifold halus dan kompleks memiliki rasa yang sangat berbeda: manifold kompleks yang ringkas jauh lebih dekat dengan varietas aljabar daripada manifold yang dapat diferensiasi.

Misalnya, theorem penyematan Whitney memberi tahu kita bahwa setiap manifold n-dimensi yang halus dapat disematkan sebagai submanifold R2n yang halus, sedangkan itu “langka” untuk manifold kompleks untuk memiliki penyematan holomorfik ke dalam Cn. Pertimbangkan misalnya setiap manifold kompleks yang terhubung kompak M: fungsi holomorfik apa pun di atasnya konstan oleh liouville’s theorem. Sekarang jika kita memiliki penyematan holomorfik M ke Cn, maka fungsi koordinat Cn akan membatasi fungsi holomorfik nonkonstant pada M, bertentangan dengan kekompakan, kecuali dalam kasus bahwa M hanya titik. Manifold kompleks yang dapat disematkan di Cn disebut Manifold Stein dan membentuk kelas manifold yang sangat istimewa termasuk, misalnya, varietas aljabar affine kompleks yang halus.

Klasifikasi manifold kompleks jauh lebih halus daripada manifold yang dapat diferensiasi. Misalnya, sementara dalam dimensi selain empat, manifold topologis yang diberikan memiliki paling banyak struktur halus, manifold topologis yang mendukung struktur kompleks dapat dan sering mendukung banyak struktur kompleks. Permukaan Riemann, dua lipatan dimensi yang dilengkapi dengan struktur kompleks, yang diklasifikasikan secara topologis oleh genus, adalah contoh penting dari fenomena ini. Seperangkat struktur kompleks pada permukaan yang dapat diorientasikan, kesetaraan biholomorfik modulo, itu sendiri membentuk varietas aljabar kompleks yang disebut ruang moduli, struktur yang tetap menjadi area penelitian aktif.

Karena peta transisi antar bagan berkedok biholomorphic, manifold kompleks, khususnya, berorientasi halus dan kanonik (tidak hanya dapat diorientasikan: peta biholomorphic ke (subset) Cn memberikan orientasi, karena peta biholomorphic mempertahankan orientasi).

Sebagai Manifold Kompleks

Secara topikologis, ruang yang dihasilkan adalah pemadatan satu titik pesawat ke dalam bola. Namun, bola Riemann bukan hanya lingkup topologis. Ini adalah bola dengan struktur kompleks yang terdefinisi dengan baik, sehingga di sekitar setiap titik di lingkup ada lingkungan yang dapat diidentifikasi secara biholomorphically dengan C.

Di sisi lain, memujama seragamisasi, hasil sentral dalam klasifikasi permukaan Riemann, menyatakan bahwa setiap permukaan Riemann yang terhubung secara sederhana adalah biholomorphic ke bidang kompleks, bidang hiperbolik, atau bola Riemann. Dari jumlah tersebut, bola Riemann adalah satu-satunya yang merupakan permukaan tertutup (permukaan yang ringkas tanpa batas). Oleh karena itu bola dua dimensi mengakui struktur kompleks yang unik mengubahnya menjadi manifold kompleks satu dimensi.

Sebagai Bola

Untuk menutupi lingkup unit, seseorang membutuhkan dua proyeksi stereotip: yang pertama akan mencakup seluruh bola kecuali titik (0, 0, 1) dan yang kedua kecuali titik (0, 0, −1). Oleh karena itu, seseorang membutuhkan dua pesawat kompleks, satu untuk setiap proyeksi, yang dapat secara intuitif dilihat sebagai direkatkan back-to-back di z = 0. Perhatikan bahwa dua pesawat kompleks diidentifikasi berbeda dengan pesawat z = 0. Pembalikan orientasi diperlukan untuk mempertahankan orientasi yang konsisten pada bola, dan khususnya konjugasi kompleks menyebabkan peta transisi menjadi holomorfik.

Metrik

Permukaan Riemann tidak dilengkapi dengan metrik Riemannian tertentu. Struktur konformal permukaan Riemann tidak, bagaimanapun, menentukan kelas metrik: semua orang yang struktur kesesuaian bawahannya adalah yang diberikan. Secara lebih rinci: Struktur kompleks permukaan Riemann secara unik menentukan metrik hingga kesetaraan yang sesuai. (Dua metrik dikatakan setara secara konformal jika berbeda dengan perkalian dengan fungsi halus positif.) Sebaliknya, setiap metrik pada permukaan berorientasi secara unik menentukan struktur yang kompleks, yang tergantung pada metrik hanya hingga kesetaraan yang sesuai. Struktur kompleks pada permukaan yang berorientasi oleh karena itu dalam korespondensi satu-ke-satu dengan kelas metrik yang sesuai di permukaan itu.

Hingga penskalaan, ini adalah satu-satunya metrik pada lingkup yang kelompok isometri pengawet orientasinya adalah 3 dimensi (dan tidak ada yang lebih dari 3 dimensi); kelompok itu disebut SO(3). Dalam pengertian ini, sejauh ini adalah metrik paling simetris di lingkup. (Kelompok semua isometri, yang dikenal sebagai O(3), juga 3 dimensi, tetapi tidak seperti SO(3) bukanlah ruang yang terhubung.)

Sebaliknya, biarkan S menunjukkan bola (sebagai manifold halus abstrak atau topologis). Dengan memujama seragamisasi ada struktur kompleks yang unik pada S, hingga kesetaraan yang sesuai. Ini mengikuti bahwa setiap metrik pada S secara konformal setara dengan metrik putaran. Semua metrik tersebut menentukan geometri konformal yang sama. Oleh karena itu metrik bulat tidak intrinsik untuk bola Riemann, karena “kebulahan” bukanlah invariasi geometri konformal. Bola Riemann hanya manifold konformal, bukan manifold Riemannian. Namun, jika seseorang perlu melakukan geometri Riemannian pada lingkup Riemann, metrik bulat adalah pilihan alami (dengan radius tetap apa pun, meskipun radius = 1 adalah pilihan paling sederhana dan paling umum). Itu karena hanya metrik bulat pada lingkup Riemann yang memiliki kelompok isometriknya menjadi kelompok 3 dimensi. (Yaitu, kelompok yang dikenal sebagai SO(3), kelompok berkelanjutan (“Kebohongan”) yang secara topologis adalah ruang proyektif 3 dimensi P3.)

Automorfisme

Studi tentang objek matematika apa pun dibantu oleh pemahaman kelompok automorfismenya, yang berarti peta dari objek itu sendiri yang mempertahankan struktur penting objek. Dalam kasus bola Riemann, automorfisme adalah peta konformal yang tidak dapat diubah (yaitu peta biholomorphic) dari bola Riemann ke dirinya sendiri. Ternyata satu-satunya peta tersebut adalah transformasi Möbius.

Dengan demikian transformasi Möbius dapat digambarkan sebagai 2 × 2 matriks kompleks dengan penentu nonzero. Karena mereka bertindak berkoordinasi proyektif, dua matriks menghasilkan transformasi Möbius yang sama jika dan hanya jika mereka berbeda oleh faktor nonzero. Kelompok transformasi Möbius adalah kelompok linier proyektif PGL(2, C).

Jika seseorang memberkahi bola Riemann dengan metrik Fubini-Studi, maka tidak semua transformasi Möbius adalah isopmetri; misalnya, dilaasi dan terjemahan tidak. Isometri tersebut membentuk subkelompok PGL(2, C) yang tepat, yaitu PSU(2). Subkelompok ini berurfomofik untuk kelompok rotasi SO(3), yang merupakan kelompok simetri bola unit di R3 (yang, ketika dibatasi untuk bola, menjadi isometri bola).

Aplikasi

Konstruksi ini sangat membantu dalam studi fungsi holomorfik dan meromorphic. Misalnya, pada permukaan Riemann yang ringkas tidak ada peta holomorfik non-konstan ke bilangan kompleks, tetapi peta holomorfik ke garis proyektif kompleks berlimpah.

Baca Juga : Cara Membaca dan Menulis File dengan Python

Bola Riemann memiliki banyak kegunaan dalam fisika. Dalam mekanika kuantum, titik pada garis proyektif kompleks adalah nilai alami untuk keadaan polarisasi foton, keadaan spin partikel besar spin setengah, dan partikel 2-negara pada umumnya (lihat juga lingkup Quantum bit dan Bloch). Bola Riemann telah disarankan sebagai model relativistik untuk lingkup selestial. Dalam teori string, lembaran dunia string adalah permukaan Riemann, dan bola Riemann, menjadi permukaan Riemann yang paling sederhana, memainkan peran penting. Hal ini juga penting dalam teori twistor.