Pentingnya Koordinat Cartesian Pada Matematika – Koordinat Cartesian adalah abstraksi yang memiliki banyak kemungkinan aplikasi di dunia nyata. Namun, tiga langkah konstruktif terlibat dalam melapiskan koordinat pada aplikasi masalah. 1) Satuan jarak harus ditentukan dengan mendefinisikan ukuran spasial yang diwakili oleh angka-angka yang digunakan sebagai koordinat. 2) Asal harus ditetapkan ke lokasi spasial atau tengara tertentu, dan 3) orientasi sumbu harus ditentukan menggunakan petunjuk arah yang tersedia untuk semua kecuali satu sumbu.

Pentingnya Koordinat Cartesian Pada Matematika

transitionmathproject – Pertimbangkan sebagai contoh yang melapiskan koordinat Cartesian 3D di semua titik di Bumi (yaitu, 3D geospasial). Kilometer adalah pilihan satuan yang baik, karena definisi asli kilometer adalah geospasial, dengan 10.000 km sama dengan jarak permukaan dari khatulistiwa ke Kutub Utara. Berdasarkan simetri, pusat gravitasi Bumi menunjukkan penempatan alami asal (yang dapat dirasakan melalui orbit satelit). Sumbu rotasi Bumi memberikan orientasi alami untuk sumbu X, Y, dan Z, yang sangat terkait dengan “naik vs. turun”, sehingga Z positif dapat mengadopsi arah dari geocenter ke Kutub Utara.

Baca Juga : Mengulas Transformasi Affine Dalam Matematika

Lokasi di ekuator diperlukan untuk menentukan sumbu X, dan meridian utama menonjol sebagai orientasi referensi, sehingga sumbu X mengambil orientasi dari geocenter ke 0 derajat bujur, 0 derajat lintang. Perhatikan bahwa dengan tiga dimensi, dan dua orientasi sumbu tegak lurus yang disematkan untuk X dan Z, sumbu Y ditentukan oleh dua pilihan pertama. Untuk mematuhi aturan tangan kanan, sumbu Y harus menunjukkan dari geocenter ke 90 derajat bujur, 0 derajat lintang. Dari garis bujur 73.985656 derajat, garis lintang 40.748433 derajat, dan jari-jari Bumi 40.000/2π km, dan transformasi dari koordinat spherical ke Cartesian, seseorang dapat memperkirakan koordinat geosentris Empire State Building, (x, y, z) = (1330,53 km, –4635,75 km, 4155,46 km).

Navigasi GPS bergantung pada koordinat geosentris tersebut. Dalam proyek-proyek rekayasa, kesepakatan tentang definisi koordinat adalah dasar yang penting. Seseorang tidak dapat berasumsi bahwa koordinat telah ditentukan sebelumnya untuk aplikasi baru, jadi pengetahuan tentang bagaimana membangun sistem koordinat di mana sebelumnya tidak ada sistem koordinat seperti itu penting untuk menerapkan pemikiran René Descartes. Sementara aplikasi spasial menggunakan unit yang identik di sepanjang semua sumbu, dalam aplikasi bisnis dan ilmiah, setiap sumbu mungkin memiliki unit pengukuran yang berbeda yang terkait dengannya (seperti kilogram, detik, pound, dll.).

Meskipun ruang empat dimensi dan lebih tinggi sulit untuk divisualisasikan, aljabar koordinat Cartesian dapat diperluas dengan relatif mudah ke empat variabel atau lebih, sehingga perhitungan tertentu yang melibatkan banyak variabel dapat dilakukan. (Perpanjangan aljabar semacam ini adalah apa yang digunakan untuk mendefinisikan geometri ruang berdimensi lebih tinggi.) Sebaliknya, seringkali berguna untuk menggunakan geometri koordinat Cartesian dalam dua atau tiga dimensi untuk memvisualisasikan hubungan aljabar antara dua atau tiga dari banyak non -variabel spasial. Grafik suatu fungsi atau relasi adalah himpunan semua titik yang memenuhi fungsi atau relasi tersebut.

Untuk fungsi satu variabel, f, himpunan semua titik (x, y), di mana y = f(x) adalah grafik fungsi f. Untuk fungsi g dari dua variabel, himpunan semua titik (x, y, z), di mana z = g(x, y) adalah grafik fungsi g. Sketsa grafik fungsi atau relasi semacam itu akan terdiri dari semua bagian penting dari fungsi atau relasi yang mencakup ekstrem relatifnya, kecekungan dan titik beloknya, titik diskontinuitas, dan perilaku akhirnya. Semua istilah ini lebih lengkap didefinisikan dalam kalkulus. Grafik tersebut berguna dalam kalkulus untuk memahami sifat dan perilaku fungsi atau relasi.

Koordinat Cartesian suatu titik biasanya ditulis dalam tanda kurung dan dipisahkan dengan koma, seperti pada (10, 5) atau (3, 5, 7). Asal sering diberi label dengan huruf kapital O. Dalam geometri analitik, koordinat yang tidak diketahui atau umum sering dilambangkan dengan huruf (x, y) pada bidang, dan (x, y, z) dalam ruang tiga dimensi. Kebiasaan ini berasal dari konvensi aljabar, yang menggunakan huruf di dekat akhir alfabet untuk nilai yang tidak diketahui (seperti koordinat titik dalam banyak masalah geometris), dan huruf di dekat awal untuk jumlah tertentu. Nama-nama konvensional ini sering digunakan dalam domain lain, seperti fisika dan teknik, meskipun huruf lain dapat digunakan. Misalnya, dalam grafik yang menunjukkan bagaimana tekanan bervariasi terhadap waktu, koordinat grafik dapat dilambangkan p dan t.

Setiap sumbu biasanya dinamai koordinat yang diukur sepanjang itu; jadi ada yang mengatakan sumbu x, sumbu y, sumbu t, dll. Konvensi umum lainnya untuk penamaan koordinat adalah dengan menggunakan subskrip, seperti (x1, x2, …, xn) untuk koordinat n dalam n -ruang dimensi, terutama jika n lebih besar dari 3 atau tidak ditentukan. Beberapa penulis lebih menyukai penomoran (x0, x1, …, xn−1). Notasi ini sangat menguntungkan dalam pemrograman komputer: dengan menyimpan koordinat titik sebagai array, alih-alih catatan, subskrip dapat berfungsi untuk mengindeks koordinat. Dalam ilustrasi matematis sistem Cartesian dua dimensi, koordinat pertama (secara tradisional disebut absis) diukur sepanjang sumbu horizontal, berorientasi dari kiri ke kanan. Koordinat kedua (ordinat) kemudian diukur sepanjang sumbu vertikal, biasanya berorientasi dari bawah ke atas.

Grafik komputer dan pemrosesan gambar, bagaimanapun, sering menggunakan sistem koordinat dengan sumbu y yang berorientasi ke bawah pada layar komputer. Konvensi ini dikembangkan pada 1960-an (atau sebelumnya) dari cara gambar awalnya disimpan dalam buffer tampilan. Untuk sistem tiga dimensi, sebuah konvensi adalah untuk menggambarkan bidang xy secara horizontal, dengan sumbu z ditambahkan untuk mewakili ketinggian (positif ke atas). Selanjutnya, ada konvensi untuk mengarahkan sumbu x ke arah pemirsa, bias ke kanan atau kiri. Jika diagram (proyeksi 3D atau gambar perspektif 2D) masing-masing menunjukkan sumbu x dan y secara horizontal dan vertikal, maka sumbu z harus ditunjukkan menunjuk “keluar halaman” ke arah pemirsa atau kamera.

Dalam diagram 2D ​​dari sistem koordinat 3D, sumbu z akan muncul sebagai garis atau sinar yang mengarah ke bawah dan ke kiri atau ke bawah dan ke kanan, tergantung pada perkiraan pemirsa atau perspektif kamera. Dalam diagram atau tampilan apa pun, orientasi ketiga sumbu, secara keseluruhan, adalah arbitrer. Namun, orientasi sumbu relatif satu sama lain harus selalu mematuhi aturan tangan kanan, kecuali jika dinyatakan lain. Semua hukum fisika dan matematika menganggap tangan kanan ini, yang menjamin konsistensi. Untuk diagram 3D, nama “absis” dan “ordinat” jarang digunakan untuk x dan y, masing-masing. Jika ya, koordinat z kadang-kadang disebut aplikasi. Kata absis, ordinat, dan aplikasi terkadang digunakan untuk merujuk pada sumbu koordinat daripada nilai koordinat.

Dalam dua dimensi

Memperbaiki atau memilih sumbu x menentukan sumbu y ke arah atas. Yaitu, sumbu y harus tegak lurus terhadap sumbu x melalui titik bertanda 0 pada sumbu x. Tetapi ada pilihan yang mana dari dua setengah garis pada tegak lurus untuk menunjuk sebagai positif dan yang negatif. Masing-masing dari dua pilihan ini menentukan orientasi yang berbeda (juga disebut wenangan) dari bidang Cartesian. Cara biasa untuk mengorientasikan bidang, dengan sumbu x positif mengarah ke kanan dan sumbu y positif mengarah ke atas (dan sumbu x menjadi sumbu “pertama” dan sumbu y sebagai sumbu “kedua”), dianggap sebagai orientasi positif atau standar, juga disebut orientasi tangan kanan. Sebuah mnemonik yang umum digunakan untuk mendefinisikan orientasi positif adalah aturan tangan kanan.

Menempatkan tangan kanan yang agak tertutup pada bidang dengan ibu jari menunjuk ke atas, jari-jari menunjuk dari sumbu x ke sumbu y, dalam sistem koordinat berorientasi positif. Cara lain untuk mengarahkan pesawat mengikuti aturan tangan kiri, menempatkan tangan kiri di pesawat dengan ibu jari mengarah ke atas. Saat mengarahkan ibu jari menjauh dari titik asal sepanjang sumbu ke arah positif, kelengkungan jari menunjukkan rotasi positif di sepanjang sumbu itu. Terlepas dari aturan yang digunakan untuk mengarahkan pesawat, memutar sistem koordinat akan mempertahankan orientasi.

Dalam tiga dimensi

Orientasi standar, di mana bidang xy horizontal dan sumbu z mengarah ke atas (dan sumbu x dan y membentuk sistem koordinat dua dimensi berorientasi positif pada bidang xy jika diamati dari atas bidang xy ) disebut tangan kanan atau positif. Nama ini berasal dari aturan tangan kanan. Jika jari telunjuk tangan kanan menunjuk ke depan, jari tengah ditekuk ke dalam pada sudut kanan, dan ibu jari ditempatkan pada sudut kanan ke keduanya, ketiga jari menunjukkan orientasi relatif dari x-, y-, dan sumbu-z dalam sistem tangan kanan. Ibu jari menunjukkan sumbu x, jari telunjuk menunjukkan sumbu y dan jari tengah menunjukkan sumbu z.

Baca Juga : Matematikawan Telah Memperluas Teori Kategori Ke Dalam Dimensi Tak Terbatas

Sebaliknya, jika hal yang sama dilakukan dengan tangan kiri, hasil sistem tangan kiri. Gambar 7 menggambarkan sistem koordinat kiri dan tangan kanan. Karena objek tiga dimensi direpresentasikan pada layar dua dimensi, distorsi dan ambiguitas dihasilkan. Sumbu yang mengarah ke bawah (dan ke kanan) juga dimaksudkan untuk menunjuk ke arah pengamat, sedangkan sumbu “tengah” dimaksudkan untuk menjauh dari pengamat. Lingkaran merah sejajar dengan bidang xy horizontal dan menunjukkan rotasi dari sumbu x ke sumbu y (dalam kedua kasus). Oleh karena itu panah merah lewat di depan sumbu z.

Gambar 8 adalah upaya lain untuk menggambarkan sistem koordinat tangan kanan. Sekali lagi, ada ambiguitas yang disebabkan oleh memproyeksikan sistem koordinat tiga dimensi ke dalam bidang. Banyak pengamat melihat Gambar 8 sebagai “membalik masuk dan keluar” antara kubus cembung dan “sudut” cekung. Ini sesuai dengan dua kemungkinan orientasi ruang. Melihat gambar sebagai cembung memberikan sistem koordinat tangan kiri. Jadi cara yang “benar” untuk melihat Gambar 8 adalah dengan membayangkan sumbu-x menunjuk ke arah pengamat dan dengan demikian melihat sudut cekung.