Perkembangan Konsepsi Tentang Hakikat Matematika – Pemahaman ilmiah tentang sifat matematika telah berkembang selama sejarah panjangnya (misalnya, Devlin 2012 ; Dossey 1992 ). Diskusi eksplisit mengenai sifat matematika terjadi di antara matematikawan Yunani dari 500 SM hingga 300 M. Berbeda dengan pendekatan utilitarian yang mendahuluinya, orang-orang Yunani memelopori studi matematika untuk kepentingannya sendiri dan mengejar pengembangan dan penggunaan teori dan bukti matematika umum, terutama dalam geometri dan pengukuran (Boyer 1991 ).).
Perkembangan Konsepsi Tentang Hakikat Matematika
transitionmathproject – Perspektif yang berbeda tentang sifat matematika secara bertahap dikembangkan selama waktu itu. Plato menganggap studi matematika sebagai mengejar kebenaran yang ada di dunia luar di luar pikiran orang. Matematika diperlakukan sebagai tubuh pengetahuan, dalam bentuk ideal, yang ada dengan sendirinya, yang mungkin atau mungkin tidak dirasakan oleh pikiran manusia. Aristoteles, murid Plato, percaya bahwa matematikawan membangun ide-ide matematika sebagai hasil dari idealisasi pengalaman mereka dengan objek (Dossey 1992 ).).
Baca Juga : Kalian Perlu Mengetahui Apa Itu Matematika?
Dalam perspektif ini, Aristoteles menekankan penalaran logis dan realisasi empiris objek matematika yang dapat diakses oleh indera manusia. Dua aliran pemikiran yang berkembang dari konsepsi kontras Plato dan Aristoteles tentang sifat matematika memiliki implikasi penting untuk pengembangan berikutnya dari matematika sebagai suatu disiplin, dan untuk pendidikan matematika.
Beberapa aliran pemikiran dikembangkan sebagai matematikawan menangani masalah baru dalam matematika (Dossey 1992 ). Davis dan Hersh ( 1980 )) memberikan laporan yang menghibur dan informatif tentang perkembangan ini. Tiga aliran pemikiran utama di awal 1900-an berurusan dengan paradoks dalam sistem bilangan real dan teori himpunan: (1) logika, sebagai hasil dari aliran Platonis, menerima keberadaan eksternal matematika dan menekankan bentuk daripada interpretasi. dalam pengaturan tertentu; (2) intuisionisme, sebagaimana dipengaruhi oleh ide-ide Aristoteles, hanya menerima matematika yang dikembangkan dari bilangan asli ke depan melalui pola-pola penalaran mental yang “valid” (bukan realisasi empiris dalam pemikiran Aristoteles); dan (3) formalisme, juga selaras dengan ide-ide Aristoteles, membangun matematika di atas struktur aksiomatik formal untuk membebaskan matematika dari kontradiksi.
Ketiga aliran pemikiran ini serupa karena mereka memandang isi matematika sebagai:produk , tetapi mereka berbeda dalam apakah produk dilihat sebagai yang sudah ada sebelumnya atau dibuat melalui pengalaman. Perkembangan ketiga aliran pemikiran tersebut menggambarkan bahwa pandangan matematika sebagai produk memiliki sejarah panjang dalam matematika.
Dengan perkembangan matematika sekolah secara bertahap sejak tahun 1900-an (Stanic dan Kilpatrick 1992 ), konsepsi tentang hakikat matematika semakin mendapat perhatian dari para pendidik matematika. Gagasan pendidikan matematika matematika mana yang diadopsi dan digunakan memiliki dampak langsung dan kuat pada cara matematika sekolah disajikan dan didekati dalam pendidikan. Meskipun sejarah matematika sekolah relatif singkat dibandingkan dengan matematika itu sendiri, kita dapat menemukan banyak contoh tentang pengaruh pandangan yang berbeda tentang matematika pada kurikulum dan pengajaran di kelas di Amerika Serikat dan sistem pendidikan lainnya (misalnya, Dossey et al. 2016 ; Li dan Lappan 2014 ; Li, Silver, dan Li 2014 ; Stanic dan Kilpatrick1992 ).
Misalnya, gerakan “Matematika Baru” tahun 1950-an dan 1960-an menggunakan aliran pemikiran formalisme sebagai inti dari upaya reformasi. Konten disajikan dalam format struktural, menggunakan bahasa dan konsepsi teoretis yang ditetapkan. Tetapi hasilnya bukanlah kemajuan yang berhasil menuju matematika sekolah yang terbaik bagi siswa dan guru (misalnya, Kline 1973 ). Sebagai alternatif, Dossey ( 1992 ), dalam tinjauannya tentang sifat matematika, mengidentifikasi dan menyeleksi karya-karya dan ide-ide para sarjana yang dapat diterapkan baik untuk matematikawan profesional maupun pendidik matematika (misalnya, Davis dan Hersh 1980 ; Hersh 1986 ; Tymoczko 1986 ).).
Ide-ide para cendekiawan itu bertumpu pada apa yang dilakukan oleh para ahli matematika profesional, bukan pada apa yang dipikirkan oleh para ahli matematika tentang apa itu matematika. Dossey ( 1992 ) secara khusus mengutip Hersh ( 1986 ) untuk menekankan matematika adalah tentang ide -ide dan harus diterima sebagai aktivitas manusia, tidak secara ketat diatur oleh satu aliran pemikiran.
Devlin ( 2000 ) berpendapat bahwa matematika bukanlah entitas tunggal tetapi memiliki empat wajah yang berbeda: (1) komputasi, penalaran formal, dan pemecahan masalah; (2) cara mengetahui; (3) media kreatif; dan (4) aplikasi. Lebih lanjut, dia berpendapat matematika sekolah biasanya berfokus pada wajah pertama, membuat beberapa referensi ke wajah keempat, tetapi hampir tidak memperhatikan dua wajah lainnya. Konsepsinya tentang matematika mengumpulkan ide-ide dari sejarah matematika dan mengamati aktivitas matematika yang terjadi di berbagai setting.
Tinjauan singkat kami menunjukkan bahwa sifat matematika dapat dipahami sebagai memiliki wajah yang berbeda, daripada diatur oleh satu aliran pemikiran. Pada saat yang sama, gagasan Plato dan Aristoteles terus mempengaruhi cara matematikawan, pendidik matematika, dan masyarakat umum memandang matematika. Meskipun hampir setengah abad penelitian berorientasi proses (lihat di bawah), apalagi karya Pólya tentang pemecahan masalah, matematika masih dianggap sebagian besar sebagai produk — kumpulan pengetahuan seperti yang disorot di tiga sekolah (logis, intuisionis, formalis) dari pemikiran, bukan ideyang menuntut pemikiran aktif dan penciptaan.
Konsepsi yang berkembang tentang sifat matematika dalam sejarah menunjukkan ada ruang bagi kita untuk memutuskan bagaimana matematika dapat dirasakan, daripada dibatasi oleh gagasan matematika yang telah diduduki sebelumnya sebagai “diberikan” atau “tetap.” Setiap pelajar dapat mengalami matematika melalui praktik yang berbeda dan matematika “memiliki” sebagai aktivitas manusia.
Bagaimana cara matematika yang sering diajarkan menimbulkan kekhawatiran
Menganggap matematika sebagai kumpulan fakta dan prosedur yang harus “dikuasai” telah lama ada dalam praktik pendidikan matematika, dan sering kali menghasilkan pembelajaran siswa dengan menghafal. Misalnya, Schoenfeld ( 1988 ).) memberikan penjelasan rinci tentang bencana dari kursus matematika yang “diajar dengan baik”, mendokumentasikan kelas geometri kelas 10 yang diajarkan oleh guru yang percaya diri dan berpengalaman. Guru mengajar dan mengelola kelasnya dengan baik, dan murid-muridnya juga mengerjakan ujian standar dengan baik, yang berfokus pada isi dan prosedur.
Pada saat yang sama, bagaimanapun, Schoenfeld menunjukkan bahwa siswa mengembangkan pandangan kontraproduktif matematika. Meskipun siswa mengembangkan beberapa tingkat kemahiran dalam konten dan prosedur, mereka memperoleh (atau diperkuat) jenis keyakinan tentang matematika sebagai yang terfragmentasi dan terputus. Schoenfeld berpendapat bahwa kursus tersebut mengarahkan siswa untuk mengembangkan seperangkat keyakinan yang kuat dan kontraproduktif tentang sifat geometri.
Mencari kemungkinan asal-usul tentang keyakinan kontraproduktif siswa tentang matematika dari instruksi matematika memotivasi studi Schoenfeld (Schoenfeld 1988 ). Motivasi intuitif seperti itu juga terbukti dalam penelitian lain. Keitel ( 2006) membandingkan pelajaran dua guru (T1 dan T2) di Jerman yang mengajar kelas mereka dengan sangat berbeda. T1 secara teratur mengajar kelas yang menekankan latihan individu rutin dan menghafal aturan aljabar tertentu. T1 menekankan pentingnya praktik semacam itu untuk pengambilan tes, dan para siswa mengikuti instruksinya.
Bahkan ketika T1 suatu hari memperkenalkan masalah non-rutin yang menghubungkan aljabar dan geometri, penekanan yang berlebihan pada penguasaan rutinitas dan algoritma tampaknya membayangi dalam menangani masalah non-rutin seperti itu. Sebaliknya, pengajaran T2 menekankan inisiatif dan kolaborasi siswa, meskipun T2 juga menggunakan tugas rutin formal.
Pada akhirnya, siswa di kelas T2 melaporkan pengalaman mereka secara positif, senang bekerja sama, dan menghargai kesempatan berpikir matematis. Studi oleh Schoenfeld (1988 ) dan Keitel ( 2006 ) menunjukkan bagaimana pengalaman siswa di kelas matematika mempengaruhi persepsi mereka tentang matematika dan juga menyiratkan pentingnya belajar tentang persepsi guru matematika yang mungkin memandu praktik pembelajaran mereka.
Rotan dkk. ( 2012) menemukan bahwa guru dengan persepsi yang berbeda tentang matematika mengajar secara berbeda. Secara khusus, Rotan et al. melihat guru-guru ini memegang teori entitas (tetap) kecerdasan matematika (G1) versus teori inkremental (G2). Melalui studi mereka, Rattan dan rekan menemukan bahwa guru G1 lebih siap menilai siswa memiliki kemampuan rendah, menghibur siswa untuk kemampuan matematika yang rendah, dan menggunakan strategi “baik” (misalnya, memberikan lebih sedikit pekerjaan rumah) tidak mungkin untuk mempromosikan keterlibatan mereka dengan lapangan daripada G2 guru.
Siswa yang menerima umpan balik berorientasi kenyamanan menganggap teori entitas guru mereka dan harapan yang rendah dan melaporkan motivasi dan harapan yang lebih rendah untuk kinerja mereka sendiri. Hasilnya menunjukkan bagaimana persepsi guru yang tidak memadai tentang matematika dan keyakinan tentang sifat kecerdasan matematika siswa berkontribusi pada pencapaian yang rendah, berkurangnya harga diri dan memandang matematika hanyalah seperangkat fakta dan prosedur statis. Selanjutnya, hasil menunjukkan bahwa bagaimana matematika diajarkan mempengaruhi lebih dari kemampuan siswa dengan konten matematika di kelas. Matahari (2018 ) membuat argumen serupa setelah mensintesis literatur yang ada dan menganalisis data observasi kelas.
Berdasarkan survei nasional pendidikan sains dan matematika AS tahun 2012 yang dilakukan oleh Horizon Research, Banilower et al. ( 2013) melaporkan bahwa sebagian besar guru matematika, dari 81% di tingkat sekolah menengah hingga 90% di tingkat dasar, percaya bahwa siswa harus diberi definisi kosa kata baru pada awal pengajaran tentang ide matematika.
Juga, banyak guru percaya bahwa mereka harus menjelaskan sebuah ide kepada siswa sebelum mereka mempertimbangkan bukti untuk itu dan bahwa kegiatan langsung harus digunakan terutama untuk memperkuat ide-ide yang telah dipelajari siswa. Laporan tersebut menyarankan banyak guru menekankan praktik pedagogis “memberi” dan “menghadirkan,” mungkin dipengaruhi oleh konsepsi matematika yang lebih Platonis daripada Aristotelian, mirip dengan apa yang dilaporkan tentang praktik guru lebih dari dua dekade lalu.
Bagaimana cara mengubah?
Mengingat bahwa bukti menunjukkan kasus yang menarik untuk mengubah cara matematika diajarkan, kami mengalihkan perhatian kami untuk menyarankan bagaimana mewujudkan transformasi ini. Mengubah bagaimana matematika diajarkan dan dipelajari bukanlah upaya baru bagi pendidik matematika dan matematikawan (misalnya, Li, Silver, dan Li 2014 ; Schoenfeld in press ). Misalnya, “Metode Moore,” yang dikembangkan dan digunakan oleh Robert Lee Moore (seorang topologi terkenal) di awal abad kedua puluh, mengalihkan pengajaran dari pengajaran yang berpusat pada guru ke pengembangan matematika yang berpusat pada siswa (Coppin et al. 2009).
Dalam bentuknya yang paling murni, siswa disajikan dengan definisi matematika dan diminta untuk mengembangkan dan/atau membuktikan teorema dari mereka setelah kelas, tanpa membaca buku matematika atau menggunakan sumber lain. Ketika siswa kembali ke kelas, mereka diminta untuk membuktikan suatu teorema. Akibatnya, siswa mengembangkan matematika sendiri, bukan instruktur menyajikan bukti-bukti dan melakukan matematika untuk siswa. Metode ini telah berhasil menghasilkan banyak matematikawan hebat; namun, lingkungan bertekanan tinggi juga menenggelamkan banyak siswa yang mungkin berhasil jika tidak.
Meskipun “Metode Moore” digunakan terutama dalam kursus matematika lanjutan di tingkat pasca sekolah menengah, ini menggambarkan bagaimana konsepsi matematika yang berbeda menyebabkan pendekatan pembelajaran yang berbeda di mana siswa mengembangkan matematika. Namun, itu mungkin kebalikan dari spektrum, dibandingkan dengan pendekatan yang menyajikan matematika kepada siswa dengan cara yang akomodatif dan mudah dicerna yang bisa semudah mungkin. Tidak ada ekstrem yang merupakan pilihan yang baik untuk siswa K-12. Sekali lagi, menjadi penting bagi kita untuk mempertimbangkan pilihan yang dapat mendukung nilai pembelajaran matematika.
Diskusi kita di bagian sebelumnya menyoroti pentingnya mengambil matematika sebagai aktivitas manusia, memastikan itu bermakna bagi siswa, dan mengembangkan pemikiran matematis siswa tentang ide-ide, daripada hanya menyerap satu set pengetahuan dan keterampilan statis dan terputus. Kami menyerukan pergeseran dalam pengajaran matematika berdasarkan konsepsi Platonis ke pendekatan yang lebih didasarkan pada konsepsi Aristotelian. Intinya, Plato menekankan bentuk ideal objek matematika, mungkin tidak dapat diakses melalui upaya akal manusia. Akibatnya, peserta didik kurang memiliki kepemilikan bentuk ideal dari objek matematika, karena objek matematika tidak dapat dan tidak boleh diciptakan oleh penalaran manusia.
Baca Juga : Logika dan Filsafat Matematika
Sebaliknya, Aristoteles menekankan bahwa objek matematika dikembangkan melalui penalaran logika dan realisasi empiris. Dengan kata lain, objek matematika hanya ada ketika mereka dapat dirasakan dan diverifikasi oleh upaya orang. Ini berbeda dari perspektif pasif Platon, menyoroti kepemilikan manusia atas ide-ide matematika dan mendorong orang untuk membuat matematika masuk akal, disebut sebagai masuk akal oleh McCallum (2018 ).
Konsepsi Aristotelian memandang matematika sebagai objek yang dapat dikembangkan secara aktif oleh pembelajar dan distrukturkan sebagai sesuatu yang bermakna secara matematis, yang lebih sejalan dengan apa yang dilakukan oleh para ahli matematika penelitian. McCallum ( 2018 ) berpendapat bahwa sikap masuk akal dan masuk akal diperlukan untuk pandangan lengkap tentang matematika dan pembelajaran, mengakui bahwa tidak memperhatikan kedua sikap membawa risiko. “Sama seperti risiko sikap masuk akal bahwa matematika diabaikan, itu adalah risiko sikap masuk akal bahwa pembuat akal diabaikan.”