Proyektif Dalam Representasi, Transformasi Linier yang Dapat Dibalik – Dalam bidang teori representasi dalam matematika, representasi proyektif dari grup G pada ruang vektor V di atas bidang F adalah homomorfisme grup dari G ke grup linier proyektif di mana GL(V) adalah grup linier umum dari transformasi linier yang dapat dibalik dari V atas F, dan F∗ adalah subgrup normal yang terdiri dari kelipatan skalar bukan nol dari transformasi identitas.

Proyektif Dalam Representasi, Transformasi Linier yang Dapat Dibalik

Kohomologi grup

transitionmathproject – Dalam matematika (lebih khusus, dalam aljabar homologis), kohomologi kelompok adalah seperangkat alat matematika yang digunakan untuk mempelajari kelompok menggunakan teori kohomologi, sebuah teknik dari topologi aljabar.

Baca Juga : Yuk Kita Pelajari Bersama Teori Representasi Grup Simetris

Analog dengan representasi grup, kohomologi grup melihat aksi grup dari grup G dalam modul G terkait M untuk menjelaskan properti grup. Dengan memperlakukan modul-G sebagai semacam ruang topologi dengan elemen G G^{n} mewakili n-simplices, sifat topologi ruang dapat dihitung, seperti himpunan kelompok kohomologi H(G,M).

Kelompok kohomologi pada gilirannya memberikan wawasan tentang struktur kelompok G dan G-modul M itu sendiri. Kohomologi kelompok berperan dalam penyelidikan titik-titik tetap dari tindakan kelompok dalam modul atau ruang dan modul hasil bagi atau ruang sehubungan dengan tindakan kelompok.

Kohomologi grup digunakan dalam bidang aljabar abstrak, aljabar homologis, topologi aljabar dan teori bilangan aljabar, serta dalam aplikasi untuk teori grup yang tepat.

Seperti dalam topologi aljabar, ada teori ganda yang disebut homologi kelompok. Teknik-teknik kohomologi grup juga dapat diperluas ke kasus bahwa alih-alih modul-G, G bekerja pada grup-G nonabelian. pada dasarnya, generalisasi modul ke koefisien non-Abelian.

Ide-ide aljabar ini terkait erat dengan ide-ide topologi. Kohomologi grup dari grup diskrit G adalah kohomologi tunggal dari ruang yang sesuai dengan G sebagai grup dasarnya, yaitu ruang Eilenberg–MacLane yang sesuai.

Paradigma umum dalam teori grup adalah bahwa grup G harus dipelajari melalui representasi grupnya. Sedikit generalisasi dari representasi tersebut adalah modul-G: modul-G adalah grup abelian M bersama dengan aksi grup G pada M, dengan setiap elemen G bertindak sebagai automorfisme dari M. Kami akan menulis G secara perkalian dan M secara tambahan.

Gugus kohomologi Hn(G, M) dari grup hingga G semuanya torsi untuk semua n≥1. Memang, menurut teorema Maschke, kategori representasi dari grup hingga adalah semi-sederhana di atas bidang apa pun dengan karakteristik nol (atau lebih umum, bidang apa pun yang karakteristiknya tidak membagi urutan grup), oleh karena itu, memandang kohomologi grup sebagai turunan functor dalam kategori abelian ini, diperoleh bahwa itu adalah nol.

Argumen lainnya adalah bahwa di atas bidang karakteristik nol, aljabar grup dari grup hingga adalah jumlah langsung dari aljabar matriks (mungkin di atas aljabar pembagian yang merupakan perpanjangan dari bidang asli), sedangkan aljabar matriks adalah Morita yang setara dengan basisnya. bidang dan karenanya memiliki kohomologi sepele.

Secara umum, kelas nontrivial mengarah ke masalah ekstensi untuk G. Jika G diperluas dengan benar, kami memperoleh representasi linier dari grup yang diperluas, yang menginduksi representasi proyektif asli ketika didorong kembali ke G.

Solusinya selalu merupakan ekstensi pusat. Dari lemma Schur, dapat disimpulkan bahwa representasi ekstensi pusat G yang tidak dapat direduksi, dan representasi proyektif G yang tidak dapat direduksi, pada dasarnya adalah objek yang sama.

Orthogonal group

Dalam matematika, grup ortogonal dalam dimensi n, dilambangkan dengan O(n), adalah grup transformasi jarak-melestarikan dari ruang Euclidean berdimensi n yang mempertahankan titik tetap, di mana operasi grup diberikan dengan menyusun transformasi.

Grup ortogonal kadang-kadang disebut grup ortogonal umum, dengan analogi dengan grup linier umum. Setara, itu adalah grup matriks ortogonal n × n, di mana operasi grup diberikan oleh perkalian matriks (matriks ortogonal adalah matriks nyata yang inversnya sama dengan transposnya). Grup ortogonal adalah grup aljabar dan grup Lie. Ini kompak.

Grup ortogonal dalam dimensi n memiliki dua komponen yang terhubung. Salah satu yang mengandung elemen identitas adalah subgrup, yang disebut grup ortogonal khusus, dan dilambangkan SO(n). Ini terdiri dari semua matriks ortogonal determinan 1.

Grup ini juga disebut grup rotasi, yang menggeneralisasi fakta bahwa dalam dimensi 2 dan 3, elemen-elemennya adalah rotasi biasa di sekitar titik (dalam dimensi 2) atau garis (dalam dimensi 3 ). Dalam dimensi rendah, kelompok-kelompok ini telah dipelajari secara luas, lihat SO(2), SO(3) dan SO(4). Dalam komponen terhubung lainnya semua matriks ortogonal memiliki -1 sebagai determinan.

Secara lebih umum, jika diberikan bentuk bilinear simetris atau bentuk kuadratik yang tidak mengalami degenerasi pada ruang vektor di atas bidang, grup ortogonal dari bentuk tersebut adalah grup peta linier yang dapat dibalik yang mempertahankan bentuk tersebut.

Grup ortogonal sebelumnya adalah kasus khusus di mana, atas dasar beberapa, bentuk bilinear adalah produk titik, atau, secara ekuivalen, bentuk kuadrat adalah jumlah kuadrat dari koordinat.

Nama “grup ortogonal” berasal dari karakterisasi elemen-elemennya sebagai berikut. Diberikan ruang vektor Euclidean E berdimensi n, elemen-elemen dari grup ortogonal O(n) adalah, hingga skala seragam (homothecy), peta linier dari E ke E yang memetakan vektor ortogonal ke vektor ortogonal.

Misalkan E(n) adalah grup isometri Euclidean dari ruang Euclidean S berdimensi n. Grup ini tidak bergantung pada pilihan ruang tertentu, karena semua ruang Euclidean dengan dimensi yang sama adalah isomorfik. Subgrup penstabil dari suatu titik x S adalah subgrup dari unsur-unsur g E(n) sedemikian sehingga g(x) = x.

Stabilisator ini adalah (atau, lebih tepatnya, isomorfik untuk) O(n), karena pemilihan titik sebagai asal menginduksi isomorfisme antara ruang Euclidean dan ruang vektor Euclidean yang terkait.

Representasi osilator

Dalam matematika, representasi osilator adalah representasi kesatuan proyektif dari grup symplectic, pertama kali diselidiki oleh Irving Segal, David Shale, dan Andre Weil. Perpanjangan alami dari representasi mengarah ke semigrup operator kontraksi, diperkenalkan sebagai semigrup osilator oleh Roger Howe pada tahun 1988. Semigrup sebelumnya telah dipelajari oleh matematikawan dan fisikawan lain, terutama Felix Berezin pada 1960-an.

Contoh paling sederhana dalam satu dimensi diberikan oleh SU(1,1). Ini bertindak sebagai transformasi Möbius pada bidang kompleks yang diperluas, meninggalkan lingkaran satuan invarian. Dalam hal itu representasi osilator adalah representasi kesatuan dari penutup ganda SU(1,1) dan semigrup osilator sesuai dengan representasi oleh operator kontraksi semigrup di SL(2,C) yang sesuai dengan transformasi Möbius yang mengambil unit disk ke dalam dirinya sendiri.

Operator kontraksi, ditentukan hanya sampai tanda, memiliki kernel yang fungsi Gaussian. Pada tingkat yang sangat kecil, semigrup dijelaskan oleh kerucut dalam aljabar Lie dari SU(1,1) yang dapat diidentifikasi dengan kerucut cahaya. Kerangka kerja yang sama digeneralisasi ke grup symplectic dalam dimensi yang lebih tinggi, termasuk analognya dalam dimensi tak terbatas. Artikel ini menjelaskan teori untuk SU(1,1) secara rinci dan merangkum bagaimana teori tersebut dapat diperluas.

Rumusan matematis mekanika kuantum oleh Werner Heisenberg dan Erwin Schrödinger awalnya dalam bentuk operator adjoint-diri tak terbatas pada ruang Hilbert. Operator fundamental yang berhubungan dengan posisi dan momentum memenuhi hubungan komutasi Heisenberg. Polinomial kuadrat dalam operator ini, yang mencakup osilator harmonik, juga ditutup pada pengambilan komutator.

Sejumlah besar teori operator dikembangkan pada 1920-an dan 1930-an untuk memberikan dasar yang kuat bagi mekanika kuantum. Bagian dari teori ini dirumuskan dalam bentuk grup kesatuan operator, sebagian besar melalui kontribusi dari Hermann Weyl, Marshall Stone dan John von Neumann.

Pada gilirannya hasil ini dalam fisika matematika dimasukkan ke dalam analisis matematis, dimulai dengan catatan kuliah tahun 1933 dari Norbert Wiener, yang menggunakan inti panas untuk osilator harmonik untuk memperoleh sifat-sifat transformasi Fourier.

Keunikan relasi komutasi Heisenberg, sebagaimana dirumuskan dalam teorema Stone–von Neumann, kemudian diinterpretasikan dalam teori representasi grup, khususnya teori representasi terinduksi yang digagas oleh George Mackey.

Operator kuadrat dipahami dalam bentuk representasi kesatuan proyektif dari grup SU(1,1) dan aljabar Lie-nya. Irving Segal dan David Shale menggeneralisasi konstruksi ini ke grup symplectic dalam dimensi hingga dan tak terbatas dalam fisika, ini sering disebut sebagai kuantisasi bosonik: dibangun sebagai aljabar simetris dari ruang dimensi tak hingga.

Segal dan Shale juga telah menangani kasus kuantisasi fermionik, yang dibangun sebagai aljabar eksterior ruang Hilbert berdimensi tak terbatas. Dalam kasus khusus teori medan konformal dalam dimensi 1+1, kedua versi menjadi setara melalui apa yang disebut “korespondensi boson-fermion.”

Hal ini tidak hanya berlaku dalam analisis di mana terdapat operator kesatuan antara ruang Hilbert bosonik dan fermionik, tetapi juga dalam teori matematika aljabar operator titik. Operator vertex sendiri awalnya muncul pada akhir 1960-an dalam fisika teoretis, khususnya dalam teori string.

André Weil kemudian memperluas konstruksi ke grup Lie p-adik, menunjukkan bagaimana ide-ide dapat diterapkan dalam teori bilangan, khususnya untuk memberikan penjelasan teoretis grup tentang fungsi theta dan resiprositas kuadrat.

Baca Juga : Teori Relativitas Umum Einstein Menyingkap Kosmos

Beberapa fisikawan dan matematikawan mengamati operator inti panas yang sesuai dengan osilator harmonik dikaitkan dengan kompleksifikasi SU(1,1): ini bukan keseluruhan SL(2,C), melainkan semigrup kompleks yang didefinisikan oleh geometris alami. kondisi. Teori representasi dari semigrup ini, dan generalisasinya dalam dimensi hingga dan tak hingga, memiliki aplikasi baik dalam matematika maupun fisika teoretis.

Argumen yang sama persis berlaku untuk transformasi Möbius pada Rn dan semigrup terbuka yang mengambil bola satuan tertutup ||x|| 1 ke dalam bola satuan terbuka ||x|| < 1. Penutupan adalah semigrup wajar maksimal dalam grup dari semua transformasi Möbius. Ketika n = 1, penutupan sesuai dengan transformasi Möbius dari garis nyata yang mengambil interval tertutup ke dalam dirinya sendiri.