Representasi Kelompok, Bidang Matematika yang Membahas Linier Bijektiva – Dalam bidang matematika teori representasi, representasi kelompok mendeskripsikan kelompok abstrak dalam istilah transformasi linier bijektiva (yaitu automorfisme) dari ruang vektor. khususnya, mereka dapat digunakan untuk merepresentasikan elemen grup sebagai matriks yang dapat dibalik sehingga operasi grup dapat diwakili oleh perkalian matriks.

Representasi Kelompok, Bidang Matematika yang Membahas Linier Bijektiva

transitionmathproject – Representasi kelompok penting karena mereka memungkinkan banyak masalah teori-kelompok direduksi menjadi masalah dalam aljabar linear, yang dipahami dengan baik. Mereka juga penting dalam fisika karena, misalnya, mereka menggambarkan bagaimana kelompok simetri dari suatu sistem fisik mempengaruhi solusi persamaan yang menjelaskan sistem itu.

Baca Juga : Definisi dan Konsep Teori Representasi Matematika 

Istilah representasi kelompok juga digunakan dalam pengertian yang lebih umum yang berarti setiap “deskripsi” dari kelompok sebagai kelompok transformasi dari beberapa objek matematika. Secara lebih formal, “representasi” berarti homomorfisme dari kelompok ke kelompok automorfisme suatu objek.

Jika objek adalah ruang vektor, kita memiliki representasi linier. Beberapa orang menggunakan realisasi untuk gagasan umum dan memesan istilah representasi untuk kasus khusus representasi linier. Sebagian besar artikel ini menjelaskan teori representasi linier. lihat bagian terakhir untuk generalisasi.

Cabang teori representasi kelompok

Teori representasi kelompok terbagi menjadi sub-teori tergantung pada jenis kelompok yang diwakili. Berbagai teori sangat berbeda secara detail, meskipun beberapa definisi dan konsep dasar serupa. Divisi terpenting adalah:

Kelompok terbatas

Representasi kelompok adalah alat yang sangat penting dalam mempelajari kelompok terbatas. Mereka juga muncul dalam aplikasi teori grup hingga kristalografi dan geometri. Jika bidang skalar ruang vektor memiliki karakteristik p, dan jika p membagi urutan grup, maka ini disebut teori representasi modular. kasus khusus ini memiliki sifat yang sangat berbeda. Lihat Teori representasi kelompok hingga.

Dalam aljabar abstrak, grup hingga adalah grup yang himpunan dasarnya berhingga. Kelompok hingga sering muncul ketika mempertimbangkan simetri objek matematika atau fisik, ketika objek tersebut hanya menerima sejumlah transformasi pelestarian struktur yang terbatas. Contoh penting dari grup hingga termasuk grup siklik dan grup permutasi.

Studi tentang kelompok hingga telah menjadi bagian integral dari teori kelompok sejak muncul pada abad ke-19. Salah satu bidang studi utama adalah klasifikasi: klasifikasi kelompok sederhana hingga (mereka yang tidak memiliki subkelompok normal nontrivial) diselesaikan pada tahun 2004.

Selama abad ke-20, para ahli matematika menyelidiki beberapa aspek teori grup hingga secara mendalam, terutama teori grup hingga lokal dan teori grup solvabel dan nilpoten.  Akibatnya, klasifikasi lengkap dari kelompok sederhana hingga tercapai, yang berarti bahwa semua kelompok sederhana yang darinya semua kelompok hingga dapat dibangun sekarang diketahui.

Gugus-gugus hingga sering muncul ketika mempertimbangkan kesimetrian objek-objek matematika atau fisik, ketika objek-objek itu hanya menerima sejumlah transformasi pelestarian struktur yang terbatas. Teori kelompok Lie, yang dapat dilihat sebagai berurusan dengan “kesimetrian kontinu”, sangat dipengaruhi oleh kelompok Weyl yang terkait.

Ini adalah kelompok berhingga yang dihasilkan oleh refleksi yang bekerja pada ruang Euclidean berdimensi-hingga. Dengan demikian, sifat-sifat kelompok hingga dapat berperan dalam mata pelajaran seperti fisika teoretis dan kimia.

Grup kompak atau grup kompak lokal

Banyak hasil teori representasi grup hingga dibuktikan dengan rata-rata atas grup. Bukti ini dapat dibawa ke grup tak terbatas dengan mengganti rata-rata dengan integral, asalkan gagasan integral yang dapat diterima dapat didefinisikan.

Ini dapat dilakukan untuk kelompok kompak lokal, dengan menggunakan ukuran Haar. Teori yang dihasilkan adalah bagian sentral dari analisis harmonik. Dualitas Pontryagin menjelaskan teori untuk kelompok komutatif, sebagai transformasi Fourier umum. Lihat juga: Teorema Peter – Weyl.

Dalam matematika, kelompok kompak (topologi) adalah kelompok topologi yang topologinya kompak. Grup kompak adalah generalisasi alami dari grup hingga dengan topologi diskrit dan memiliki properti yang terbawa secara signifikan. Kelompok kompak memiliki teori yang dipahami dengan baik, dalam kaitannya dengan tindakan kelompok dan teori representasi.

Kelompok Lie

Banyak kelompok Lie penting kompak, sehingga hasil teori representasi kompak berlaku untuk mereka. Teknik lain yang khusus untuk kelompok Lie juga digunakan. Sebagian besar kelompok penting dalam fisika dan kimia adalah kelompok Lie, dan teori representasi mereka sangat penting untuk penerapan teori kelompok di bidang tersebut. Lihat Representasi kelompok Lie dan Representasi Lie aljabar.

Dalam matematika, kelompok Lie adalah kelompok yang juga berjenis terdiferensiasi. Manifold adalah ruang yang secara lokal menyerupai ruang Euclidean, sedangkan kelompok mendefinisikan konsep perkalian generik abstrak dan pengambilan invers (pembagian).

Menggabungkan dua gagasan ini, seseorang memperoleh kelompok berkelanjutan di mana poin dapat dikalikan bersama, dan kebalikannya dapat diambil. Jika, sebagai tambahan, perkalian dan pengambilan inversi didefinisikan mulus (terdiferensiasi), seseorang memperoleh grup Lie.

Grup aljabar linier (atau lebih umum skema grup affine)

Ini adalah analog dari grup Lie, tetapi lebih dari bidang yang lebih umum daripada hanya R atau C. Meskipun grup aljabar linier memiliki klasifikasi yang sangat mirip dengan grup Lie, dan berikan naik ke keluarga yang sama dari Lie aljabar, representasi mereka agak berbeda (dan kurang dipahami dengan baik).

Teknik analitik yang digunakan untuk mempelajari kelompok Lie harus diganti dengan teknik dari geometri aljabar, di mana topologi Zariski yang relatif lemah menyebabkan banyak komplikasi teknis.

Banyak grup Lie dapat dilihat sebagai grup aljabar linier di atas bidang bilangan real atau kompleks. Seperti halnya banyak kelompok nonkompak seperti kelompok Lie sederhana SL (n, R).) Kelompok Lie sederhana diklasifikasikan oleh Wilhelm Killing dan Élie Cartan pada tahun 1880-an dan 1890-an.

Pada saat itu, tidak ada penggunaan khusus yang dibuat dari fakta bahwa struktur grup dapat ditentukan oleh polinomial, yaitu, ini adalah grup aljabar. Para pendiri teori kelompok aljabar termasuk Maurer, Chevalley, dan Kolchin (1948). Pada 1950-an, Armand Borel membangun banyak teori kelompok aljabar seperti yang ada saat ini.

Kelompok topologi non-kompak

Kelas kelompok non-kompak terlalu luas untuk membangun teori representasi umum, tetapi kasus khusus tertentu telah dipelajari, kadang-kadang menggunakan teknik ad hoc. Kelompok Lie semisimple memiliki teori yang mendalam, yang dibangun di atas kasus yang kompak.

Kelompok Lie yang dapat dipecahkan komplementer tidak dapat diklasifikasikan dengan cara yang sama. Teori umum untuk kelompok Lie berurusan dengan produk semidirect dari dua jenis, melalui hasil umum yang disebut teori Mackey, yang merupakan generalisasi dari metode klasifikasi Wigner.

Teori representasi juga sangat bergantung pada jenis ruang vektor tempat kelompok bertindak. Yang membedakan antara representasi berdimensi-hingga dan yang berdimensi tak hingga. Dalam kasus berdimensi tak hingga, struktur tambahan penting (misalnya apakah ruang tersebut adalah ruang Hilbert, ruang Banach, dll.).

Seseorang juga harus mempertimbangkan jenis bidang di mana ruang vektor didefinisikan. Kasus terpenting adalah bidang bilangan kompleks. Kasus penting lainnya adalah bidang bilangan real, bidang hingga, dan bidang bilangan p-adic. Secara umum, bidang tertutup aljabar lebih mudah ditangani daripada bidang tertutup non-aljabar. Karakteristik lapangan juga penting; banyak teorema untuk kelompok hingga bergantung pada karakteristik bidang tidak membagi urutan kelompok.