Young Tableau, Objek Kombinatorial Untuk Teori Representasi dan Kalkulus Schubert – Dalam matematika, Young Tableau adalah objek kombinatorial yang berguna dalam teori representasi dan kalkulus Schubert. Ini memberikan cara yang mudah untuk menggambarkan representasi grup dari grup linier simetris dan umum dan untuk mempelajari propertinya.

Young Tableau, Objek Kombinatorial Untuk Teori Representasi dan Kalkulus Schubert

transitionmathproject – Young Tableau diperkenalkan oleh Alfred Young, seorang matematikawan di Universitas Cambridge, pada tahun 1900. Mereka kemudian diterapkan pada studi kelompok simetris oleh Georg Frobenius pada tahun 1903. Teori mereka dikembangkan lebih lanjut oleh banyak matematikawan, termasuk Percy MacMahon, WVD Hodge, G. de B. Robinson, Gian-Carlo Rota, Alain Lascoux, Marcel- Paul Schützenberger dan Richard P. Stanley.

Baca Juga : Mari Kita Mengulas Lebih Dalam Tentang Teori Representasi Modular Matematika

Diagram

Diagram Young (juga disebut diagram Ferrers, terutama bila direpresentasikan menggunakan titik) adalah kumpulan terbatas kotak, atau sel, diatur dalam baris rata kiri, dengan panjang baris dalam urutan yang tidak bertambah. Daftar jumlah kotak di setiap baris memberikan partisi dari bilangan bulat non-negatif n, jumlah kotak diagram.

Diagram Young dikatakan berbentuk , dan membawa informasi yang sama dengan partisi tersebut. Penahanan satu diagram Young di diagram lainnya mendefinisikan pengurutan parsial pada himpunan semua partisi, yang sebenarnya merupakan struktur kisi, yang dikenal sebagai kisi Young.

Daftar jumlah kotak diagram Young di setiap kolom memberikan partisi lain, partisi konjugasi atau transpos dari . seseorang memperoleh diagram Young dari bentuk itu dengan mencerminkan diagram asli di sepanjang diagonal utamanya.

Hampir ada kesepakatan universal bahwa dalam pelabelan kotak diagram Young dengan pasangan bilangan bulat, indeks pertama memilih baris diagram, dan indeks kedua memilih kotak di dalam baris. Namun demikian, ada dua konvensi berbeda untuk menampilkan diagram ini, dan akibatnya tableaux: yang pertama menempatkan setiap baris di bawah yang sebelumnya, yang kedua menumpuk setiap baris di atas yang sebelumnya.

Karena konvensi sebelumnya terutama digunakan oleh Anglophones sedangkan yang terakhir sering lebih disukai oleh Francophones, biasanya mengacu pada konvensi ini masing-masing sebagai notasi bahasa Inggris dan notasi Prancis. misalnya, dalam bukunya tentang fungsi simetris, Macdonald menyarankan pembaca yang lebih menyukai konvensi Prancis untuk “membaca buku ini terbalik di cermin” (Macdonald 1979).

Nomenklatur ini mungkin dimulai sebagai lelucon. Notasi bahasa Inggris sesuai dengan yang digunakan secara universal untuk matriks, sedangkan notasi Prancis lebih dekat dengan konvensi koordinat Cartesian. namun, notasi Prancis berbeda dari konvensi itu dengan menempatkan koordinat vertikal terlebih dahulu.

Panjang lengan dan kaki

Dalam banyak aplikasi, misalnya ketika mendefinisikan fungsi Jack, akan lebih mudah untuk mendefinisikan panjang lengan aλ(s) dari kotak s sebagai jumlah kotak di sebelah kanan s dalam diagram dalam notasi bahasa Inggris. Demikian pula, panjang kaki lλ(s) adalah jumlah kotak di bawah s. Panjang kait kotak s adalah jumlah kotak di sebelah kanan s atau di bawah s dalam notasi bahasa Inggris, termasuk kotak s itu sendiri. dengan kata lain, panjang kail adalah aλ(s) + lλ(s) + 1.

Tableaux

Tablo Young diperoleh dengan mengisi kotak-kotak diagram Young dengan simbol-simbol yang diambil dari beberapa alfabet, yang biasanya diperlukan untuk menjadi himpunan yang benar-benar teratur. Awalnya alfabet itu adalah sekumpulan variabel yang diindeks x1, x2, x3, tapi sekarang biasanya menggunakan sekumpulan angka untuk singkatnya.

Dalam aplikasi aslinya untuk representasi dari kelompok simetris, tableaux muda memiliki n entri yang berbeda, secara sewenang-wenang ditugaskan ke kotak diagram. Sebuah tablo disebut standar jika entri di setiap baris dan setiap kolom meningkat.

Dalam aplikasi lain, wajar untuk membiarkan nomor yang sama muncul lebih dari sekali (atau tidak sama sekali) dalam sebuah tablo. Tablo disebut semi-standar, atau ketat kolom, jika entri sedikit meningkat di sepanjang setiap baris dan secara ketat meningkat di setiap kolom.

Mencatat berapa kali setiap angka muncul dalam tablo memberikan urutan yang dikenal sebagai bobot tablo. Jadi tablo Young standar persisnya adalah tablo semistandar berat (1,1,…,1), yang mengharuskan setiap bilangan bulat hingga n muncul tepat satu kali.

Tablo miring

Bentuk miring adalah sepasang partisi (λ, ) sedemikian rupa sehingga diagram Young berisi diagram Young of. itu dilambangkan dengan /μ. Jika = (λ1, 2, …) dan = (μ1, 2, …), maka penahanan diagram berarti i i untuk semua i. Diagram miring dari bentuk miring /μ adalah perbedaan teoretis himpunan dari diagram Young dan : himpunan kuadrat yang termasuk dalam diagram tetapi tidak termasuk dalam diagram . Tablo miring dengan bentuk /μ diperoleh dengan mengisi kuadrat dari diagram miring yang sesuai.

Tablo seperti itu adalah semistandar jika entri bertambah lemah di sepanjang setiap baris, dan meningkat secara ketat di setiap kolom, dan itu standar jika terlebih lagi semua angka dari 1 hingga jumlah kuadrat dari diagram miring muncul tepat satu kali. Sementara peta dari partisi ke diagram Young adalah injektif, ini tidak terjadi dari peta dari bentuk miring ke diagram miring. oleh karena itu bentuk diagram miring tidak selalu dapat ditentukan dari himpunan kotak yang diisi saja.

Meskipun banyak properti dari skew tableaux hanya bergantung pada kotak yang terisi, beberapa operasi yang didefinisikan pada mereka memang memerlukan pengetahuan eksplisit tentang dan , jadi penting agar skew tableaux mencatat informasi ini: dua tableaux miring yang berbeda mungkin hanya berbeda dalam bentuknya, sementara mereka menempati set kotak yang sama, masing-masing diisi dengan entri yang sama. Tablo muda dapat diidentifikasi dengan tablo miring di mana adalah partisi kosong (0) (partisi unik dari 0).

Setiap tablo semistandar miring T bentuk /μ dengan entri bilangan bulat positif memunculkan urutan partisi (atau diagram Young), dengan memulai dengan , dan mengambil partisi i menempatkan lebih jauh dalam urutan yang diagramnya diperoleh dari yaitu dengan menambahkan semua kotak yang berisi nilai i di T. partisi ini akhirnya menjadi sama dengan .

Sepasang bentuk yang berurutan dalam urutan seperti itu adalah bentuk miring yang diagramnya berisi paling banyak satu kotak di setiap kolom. bentuk seperti itu disebut strip horizontal. Urutan partisi ini sepenuhnya menentukan T, dan sebenarnya dimungkinkan untuk mendefinisikan tableaux semistandar (miring) sebagai urutan seperti itu, seperti yang dilakukan oleh Macdonald (Macdonald 1979, hlm. 4). Definisi ini menggabungkan partisi dan dalam data yang terdiri dari tablo miring.

Ikhtisar aplikasi

Tablo muda memiliki banyak aplikasi dalam kombinatorik, teori representasi, dan geometri aljabar. Berbagai cara menghitung tableaux Young telah dieksplorasi dan mengarah pada definisi dan identitas untuk fungsi Schur. Banyak algoritma kombinatorial pada tableaux diketahui, termasuk jeu de taquin Schützenberger dan korespondensi Robinson schensted Knuth. Lascoux dan Schutzenberger mempelajari produk asosiatif pada himpunan semua tableaux Young semistandar, memberikan struktur yang disebut plactic monoid (Prancis: le monoïde plaxique).

Dalam teori representasi, tablo Young standar berukuran k menggambarkan basa dalam representasi tak tereduksi dari grup simetris pada k huruf. Basis monomial standar dalam representasi tak tereduksi berdimensi-hingga dari grup linier umum GLn diparametrikan oleh himpunan tablo Young semistandar dari bentuk tetap di atas alfabet {1, 2, …, n}.

Ini memiliki konsekuensi penting bagi teori invarian, mulai dari karya Hodge pada cincin koordinat homogen Grassmannian dan dieksplorasi lebih lanjut oleh Gian-Carlo Rota dengan kolaboratornya, de Concini dan Procesi, dan Eisenbud. Aturan Littlewood–Richardson yang menjelaskan (antara lain) dekomposisi produk tensor dari representasi GLn yang tidak dapat direduksi menjadi komponen yang tidak dapat direduksi diformulasikan dalam bentuk tableaux semistandar skew tertentu.

Aplikasi untuk pusat geometri aljabar di sekitar kalkulus Schubert pada Grassmannians dan varietas bendera. Kelas-kelas kohomologi penting tertentu dapat diwakili oleh polinomial Schubert dan dijelaskan dalam istilah tableaux Young.

Aplikasi dalam teori representasi

Diagram muda berada dalam korespondensi satu-ke-satu dengan representasi tak tereduksi dari grup simetris di atas bilangan kompleks. Mereka menyediakan cara yang nyaman untuk menentukan simetris Muda dari mana representasi yang tidak dapat direduksi dibangun. Banyak fakta tentang representasi dapat disimpulkan dari diagram yang sesuai.

Di bawah ini, kami menjelaskan dua contoh: menentukan dimensi representasi dan representasi terbatas. Dalam kedua kasus, kita akan melihat bahwa beberapa properti representasi dapat ditentukan hanya dengan menggunakan diagramnya.

Diagram muda juga memparametrikan representasi polinomial tak tereduksi dari grup linier umum GLn (bila memiliki paling banyak n baris tak kosong), atau representasi tak tereduksi grup linear khusus SLn (bila memiliki paling banyak n 1 baris tak kosong), atau representasi kompleks tak tereduksi dari grup kesatuan khusus SUn (sekali lagi ketika mereka memiliki paling banyak n 1 baris tak kosong). Dalam kasus ini tableaux semistandar dengan entri hingga n memainkan peran sentral, bukan tableaux standar. khususnya jumlah tableaux yang menentukan dimensi representasi.