Yuk Kita Pahami Ilmu Ruang Proyektif Untuk Mengasah Ilmu Matematika – Dalam matematika, konsep ruang proyektif berasal dari efek visual perspektif, di mana garis paralel tampaknya bertemu di tak terbatas. Ruang proyektif dengan demikian dapat dipandang sebagai perpanjangan ruang Euclidean, atau, lebih umum, ruang affine dengan titik-titik tak terbatas, sedemikian rupa sehingga ada satu titik tak terbatas dari setiap arah garis paralel.

Yuk Kita Pahami Ilmu Ruang Proyektif Untuk Mengasah Ilmu Matematika

transitionmathproject – Definisi ruang proyektif ini memiliki kelemahan karena tidak menjadi isotropic, memiliki dua jenis poin yang berbeda, yang harus dipertimbangkan secara terpisah dalam bukti. Oleh karena itu definisi lain umumnya lebih disukai. Ada dua kelas definisi.

Baca Juga : Membahas Modul Proyektif Yang Menjadi Vektor Dasar

Dalam geometri sintetis, titik dan garis adalah entitas primitif yang terkait dengan hubungan insiden “titik berada di garis” atau “garis melewati titik”, yang tunduk pada aksiom geometri proyektif. Untuk beberapa set aksiom seperti itu, ruang proyektif yang didefinisikan telah terbukti setara dengan yang dihasilkan dari definisi berikut, yang lebih sering ditemui dalam buku teks modern.

Menggunakan aljabar linear, ruang proyektif dimensi n didefinisikan sebagai kumpulan garis vektor (yaitu, subspace vektor dimensi satu) dalam ruang vektor V dimensi n + 1. Setara, itu adalah set quotient V / {0} oleh hubungan kesetaraan “berada di garis vektor yang sama”.

Sebagai garis vektor berpotongan lingkup unit V dalam dua titik antipodal, ruang proyektif dapat didefinisikan secara setara sebagai bola di mana titik antipodal diidentifikasi. Ruang proyektif dimensi 1 adalah garis proyektif, dan ruang proyektif dimensi 2 adalah pesawat proyektif.

Ruang proyektif banyak digunakan dalam geometri, karena memungkinkan pernyataan yang lebih sederhana dan bukti yang lebih sederhana. Misalnya, dalam geometri affine, dua garis yang berbeda dalam pesawat bersinggungan di paling banyak satu titik, sementara, dalam geometri proyektif, mereka bersinggungan tepat dalam satu titik.

Juga, hanya ada satu kelas bagian kerucut, yang dapat dibedakan hanya dengan persimpangan mereka dengan garis di tak terbatas: dua titik persimpangan untuk hiperbolas; satu untuk parabola, yang bersinggungan dengan garis tanpa batas; dan tidak ada titik persimpangan nyata elips.

Dalam topologi, dan lebih khusus dalam teori manifold, ruang proyektif memainkan peran mendasar, menjadi contoh khas dari manifold yang tidak berorientasi.

motivasi

Seperti yang diuraikan di atas, ruang proyektif diperkenalkan untuk meresmikan pernyataan seperti “dua garis koherar berpotongan tepat dalam satu titik, dan titik ini tidak terbatas jika garisnya paralel.”

Pernyataan semacam itu disarankan oleh studi perspektif, yang dapat dianggap sebagai proyeksi sentral dari ruang tiga dimensi ke pesawat (lihat model kamera Lubang Jarum). Lebih tepatnya, murid masuk kamera atau mata pengamat adalah pusat proyeksi, dan gambar terbentuk pada pesawat proyeksi.

Secara matematis, pusat proyeksi adalah titik O dari ruang (persimpangan sumbu dalam gambar); bidang proyeksi (P2, berwarna biru pada angka) adalah pesawat yang tidak melewati O, yang sering dipilih untuk menjadi bidang persamaan z = 1, ketika koordinat Cartesian dipertimbangkan.

Kemudian, proyeksi pusat memetakan titik P ke persimpangan jalur OP dengan pesawat proyeksi. Persimpangan seperti itu ada jika dan hanya jika titik P bukan milik pesawat (P1, berwarna hijau pada angka) yang melewati O dan sejajar dengan P2.

Ini mengikuti bahwa garis yang melewati O terbelah dalam dua subset disjoint: garis yang tidak terkandung dalam P1, yang berada dalam satu hingga satu korespondensi dengan titik-titik P2, dan yang terkandung dalam P1, yang berada dalam satu hingga satu korespondensi dengan arah garis paralel di P2. Ini menyarankan untuk menentukan titik-titik (disebut di sini poin proyektif untuk kejelasan) dari pesawat proyektif saat garis melewati O.

Garis proyektif dalam bidang ini terdiri dari semua titik proyektif (yang merupakan garis) yang terkandung dalam pesawat yang melewati O. Karena persimpangan dua pesawat yang melewati O adalah garis yang melewati O, persimpangan dua jalur proyektif yang berbeda terdiri dari satu titik proyektif. Pesawat P1 mendefinisikan garis proyektif yang disebut garis tanpa batas P2.

Dengan mengidentifikasi setiap titik P2 dengan titik proyektif yang sesuai, dengan demikian seseorang dapat mengatakan bahwa bidang proyektif adalah persatuan P2 yang terputus-putus dan garis (proyektif) tanpa batas.

Sebagai ruang affine dengan titik dibedakan O dapat diidentifikasi dengan ruang vektor terkait (lihat ruang Affine • Ruang vektor sebagai ruang affine), konstruksi sebelumnya umumnya dilakukan dengan memulai dari ruang vektor dan disebut proyektivisasi. Juga, konstruksi dapat dilakukan dengan memulai dengan ruang vektor dari dimensi positif apa pun.

Jadi, ruang proyektif dimensi n dapat didefinisikan sebagai kumpulan garis vektor (subspace vektor dimensi satu) dalam ruang vektor dimensi n + 1. Ruang proyektif juga dapat didefinisikan sebagai elemen dari setiap set yang berada dalam korespondensi alami dengan serangkaian garis vektor ini.

Set ini dapat menjadi set kelas kesetaraan di bawah hubungan kesetaraan antara vektor yang didefinisikan oleh “satu vektor adalah produk yang lain oleh skalar nonzero”. Dengan kata lain, ini berjumlah mendefinisikan ruang proyektif sebagai kumpulan garis vektor di mana vektor nol telah dihapus.

Definisi setara ketiga adalah mendefinisikan ruang proyektif dimensi n sebagai kumpulan pasangan titik antipodal dalam lingkup dimensi n (dalam ruang dimensi n + 1).

Konsep terkait

Jengkal

Setiap persimpangan subspace proyektif adalah subspace proyektif. Ini mengikuti bahwa untuk setiap subset S dari ruang proyektif, ada subspace proyektif terkecil yang berisi S, persimpangan semua subspace proyektif yang berisi S. Subspace proyektif ini disebut rentang proyektif S, dan S adalah rentang yang ditetapkan untuk itu.

Satu set S poin secara proyektif independen jika rentangnya bukan rentang subset S yang tepat. Jika S adalah satu set ruang proyektif P, maka ada subset S yang mencakup P dan secara proyektif independen (ini hasil dariorema serupa untuk ruang vektor). Jika dimensi P adalah n, set spanning independen seperti itu memiliki n + 1 elemen.

Bertentangan dengan kasus ruang vektor dan ruang affine, set spanning independen tidak cukup untuk menentukan koordinat. Satu perlu satu poin lagi, lihat bagian berikutnya.

Geometri aljabar

Awalnya, geometri aljabar adalah studi tentang nol umum set polinomial multivariat. Nol umum ini, yang disebut varietas aljabar milik ruang affine. Muncul segera, bahwa dalam kasus koefisien nyata, seseorang harus mempertimbangkan semua nol kompleks karena memiliki hasil yang akurat.

Misalnya,orema dasar aljabar menegaskan bahwa polinomial bebas persegi tingkat n yang tidak variat memiliki akar yang tepat dan kompleks. Dalam kasus multivariat, pertimbangan nol kompleks juga diperlukan, tetapi tidak cukup: seseorang juga harus mempertimbangkan nol tanpa batas. Misalnya,orema Bézout menegaskan bahwa persimpangan dua kurva aljabar pesawat masing-masing derajat d dan e terdiri dari titik de persis jika seseorang mempertimbangkan titik kompleks dalam bidang proyektif, dan jika seseorang menghitung poin dengan kegemukan mereka.

Contoh lain adalah rumus genus-derajat yang memungkinkan komputasi genus kurva aljabar pesawat membentuk singularitasnya dalam bidang proyektif yang kompleks.

Jadi varietas proyektif adalah set titik dalam ruang proyektif, yang koordinat homogennya adalah nol umum dari satu set polinomial homogen.

Varietas affine apa pun dapat diselesaikan, dengan cara yang unik, menjadi varietas proyektif dengan menambahkan titik-titiknya tanpa batas, yang terdiri dari homogenisasi polinomial yang menentukan, dan menghapus komponen yang terkandung dalam hiperplane tanpa batas, dengan menjenuhkan sehubungan dengan variabel homogenisasi.

Teori skema

Teori skema, yang diperkenalkan oleh Alexander Grothendieck selama paruh kedua abad ke-20, memungkinkan mendefinisikan generalisasi varietas aljabar, yang disebut skema, dengan memencetkan potongan-potongan kecil yang disebut skema affine, sama seperti manifold dapat dibangun dengan memprokrasi bersama-sama set terbuka dari konstruksi Proj adalah pembangunan skema ruang proyektif, dan, lebih umum dari setiap proyektif , dengan menyatukan skema affine.

Dalam kasus ruang proyektif, seseorang dapat mengambil skema affine ini skema affine yang terkait dengan grafik (spasi affine) dari deskripsi di atas dari ruang proyektif sebagai manifold.

Geometri sintetis

Aksioma terakhir menghilangkan kasus reduksi yang dapat ditulis sebagai persatuan ruang proyektif yang terputus-putus bersama dengan garis 2 poin bergabung dengan dua titik di ruang proyektif yang berbeda. Lebih abstrak, itu dapat didefinisikan sebagai struktur insiden (P, L, I) yang terdiri dari satu set titik P, satu set L garis, dan hubungan insiden I yang menyatakan titik mana yang terletak pada garis mana.

Baca Juga : Tokoh Dan Ilmuan Matematika Ternama

Struktur yang didefinisikan oleh aksiom ini lebih umum daripada yang diperoleh dari konstruksi ruang vektor yang diberikan di atas. Jika dimensi (proyektif) setidaknya tiga maka, olehorema Veblen-Young, tidak ada perbedaan. Namun, untuk dimensi dua, ada contoh yang memuaskan aksiom ini yang tidak dapat dibangun dari ruang vektor (atau bahkan modul di atas cincin divisi).

Contoh-contoh ini tidak memuaskan Theorem of Desargues dan dikenal sebagai pesawat Non-Desarguesian. Dalam dimensi satu, setiap set dengan setidaknya tiga elemen memenuhi aksiom, sehingga biasanya mengasumsikan struktur tambahan untuk garis proyektif yang didefinisikan secara aksiomatis.