Yuk Kita Pelajari Bersama Teori Representasi Grup Simetris – Dalam matematika, teori representasi grup simetris adalah kasus khusus dari teori representasi grup hingga di mana teori yang konkret dan terperinci dapat diperoleh. Ini memiliki area aplikasi potensial yang luas, dari teori fungsi simetris hingga masalah mekanika kuantum untuk sejumlah partikel identik.

Yuk Kita Pelajari Bersama Teori Representasi Grup Simetris

transitionmathproject – Gugus simetris Sn memiliki orde n!. Kelas konjugasinya diberi label oleh partisi n. Oleh karena itu, menurut teori representasi grup hingga, jumlah representasi tak tereduksi yang tidak ekuivalen, di atas bilangan kompleks, sama dengan jumlah partisi n.

Baca Juga : Harmoni Bola, Fungsi Khusus Yang Didefinisikan Pada Permukaan Bola

Berbeda dengan situasi umum untuk grup berhingga, sebenarnya ada cara alami untuk memparametrikan representasi tak tereduksi oleh himpunan yang sama yang memparametrikan kelas konjugasi, yaitu dengan partisi n atau Young tableau yang setara dengan ukuran n.

Setiap representasi yang tidak dapat direduksi seperti itu sebenarnya dapat diwujudkan melalui bilangan bulat (setiap permutasi yang bertindak oleh matriks dengan koefisien bilangan bulat) itu dapat secara eksplisit dibangun dengan menghitung simetri Young yang bekerja pada ruang yang dihasilkan oleh tabel Young bentuk yang diberikan oleh diagram Young. Dimensi dari representasi yang sesuai dengan diagram Youngambda diberikan oleh rumus panjang kait.

Untuk setiap representasi tak tereduksi kita dapat mengasosiasikan sebuah karakter tak tereduksi, . Untuk menghitung (π) di mana adalah permutasi, kita dapat menggunakan aturan kombinatorial Murnaghan–Nakayama. Perhatikan bahwa konstan pada kelas konjugasi, yaitu, (π) = (σ−1πσ) untuk semua permutasi .

Di bidang lain situasinya bisa menjadi jauh lebih rumit. Jika medan K memiliki karakteristik sama dengan nol atau lebih besar dari n maka menurut teorema Maschke aljabar grup KSn adalah semisederhana. Dalam kasus ini, representasi tak tereduksi yang didefinisikan di atas bilangan bulat memberikan himpunan lengkap representasi tak tereduksi (setelah modulo reduksi karakteristik jika perlu).

Namun, representasi tak tereduksi dari grup simetris tidak diketahui dalam karakteristik arbitrer. Dalam konteks ini lebih biasa menggunakan bahasa modul daripada representasi. Representasi yang diperoleh dari representasi tak tereduksi yang didefinisikan di atas bilangan bulat dengan mereduksi modulo karakteristik secara umum tidak akan tereduksi.

Modul yang dibangun disebut modul Specht, dan setiap yang tidak dapat direduksi muncul di dalam beberapa modul semacam itu. Sekarang ada lebih sedikit yang tidak dapat direduksi, dan meskipun mereka dapat diklasifikasikan, mereka sangat kurang dipahami. Misalnya, bahkan dimensinya tidak diketahui secara umum.

Penentuan modul tak tereduksi untuk grup simetris di atas medan arbitrer secara luas dianggap sebagai salah satu masalah terbuka terpenting dalam teori representasi. Teori representasi kelompok adalah bagian dari matematika yang mengkaji bagaimana kelompok bertindak pada struktur yang diberikan.

Di sini fokusnya secara khusus pada operasi grup pada ruang vektor. Namun demikian, kelompok yang bertindak pada kelompok lain atau pada set juga dipertimbangkan. Untuk lebih jelasnya, silakan merujuk ke bagian representasi permutasi.

Dengan pengecualian beberapa pengecualian yang ditandai, hanya grup terbatas yang akan dipertimbangkan dalam artikel ini. Kami juga akan membatasi diri pada ruang vektor di atas bidang karakteristik nol. Karena teori medan tertutup aljabar karakteristik nol sudah lengkap, teori yang valid untuk medan khusus tertutup aljabar karakteristik nol juga berlaku untuk setiap medan tertutup aljabar karakteristik nol lainnya.

Teori representasi digunakan di banyak bagian matematika, serta dalam kimia kuantum dan fisika. Antara lain digunakan dalam aljabar untuk memeriksa struktur kelompok. Ada juga aplikasi dalam analisis harmonik dan teori bilangan. Misalnya, teori representasi digunakan dalam pendekatan modern untuk mendapatkan hasil baru tentang bentuk automorfik.

Grup simetris

Representasi dimensi terendah dari kelompok simetris dapat dijelaskan secara eksplisit, seperti yang dilakukan dalam (Burnside 1955, hal. 468). Pekerjaan ini diperluas ke derajat k terkecil (secara eksplisit untuk k = 4, dan k = 7) di (Rasala 1977), dan di atas bidang sewenang-wenang di (James 1983).

Setiap kelompok simetris memiliki representasi satu dimensi yang disebut representasi trivial, dimana setiap elemen bertindak sebagai matriks identitas satu per satu. Untuk n 2, ada lagi representasi tak tereduksi dari derajat 1, yang disebut representasi tanda atau karakter bolak-balik, yang mengambil permutasi ke matriks satu per satu dengan entri ±1 berdasarkan tanda permutasi. Ini adalah satu-satunya representasi satu dimensi dari grup simetris, karena representasi satu dimensi adalah abelian, dan abelianisasi grup simetris adalah C2, grup siklik orde 2.

Untuk semua n, terdapat representasi n-dimensi dari grup simetris orde n!, yang disebut representasi permutasi natural, yang terdiri dari permutasi n koordinat. Ini memiliki subrepresentasi sepele yang terdiri dari vektor yang koordinat semuanya sama.

Komplemen ortogonal terdiri dari vektor-vektor yang koordinatnya berjumlah nol, dan ketika n 2, representasi pada subruang ini adalah representasi tak tereduksi berdimensi (n 1), yang disebut representasi standar. Representasi tak tereduksi dimensi lain (n 1) ditemukan dengan tensoring dengan representasi tanda.

Kelompok bergantian

Teori representasi dari kelompok yang berganti-ganti adalah serupa, meskipun representasi tanda menghilang. Untuk n 7, representasi tak tereduksi dimensi terendah adalah representasi trivial dalam dimensi satu, dan representasi dimensi (n 1) dari jumlah representasi permutasi lainnya, dengan semua representasi tak tereduksi lainnya memiliki dimensi lebih tinggi, tetapi ada pengecualian untuk n yang lebih kecil.

Gugus bolak-balik untuk n 5 hanya memiliki satu representasi tak tereduksi satu dimensi, representasi trivial.

  • Untuk n = 3, 4 ada dua representasi tak tereduksi satu dimensi tambahan, yang sesuai dengan peta grup siklik orde 3: A3 C3 dan A4 → A4/V C3.
  • Untuk n 7, hanya ada satu representasi tak tereduksi dari derajat n 1, dan ini adalah derajat terkecil dari representasi tak tereduksi non-trivial.
  • Untuk n = 3 analog yang jelas dari representasi dimensi (n representation 1) dapat direduksi – representasi permutasi bertepatan dengan representasi reguler, dan dengan demikian pecah menjadi representasi tiga dimensi, karena A3 C3 adalah abelian. lihat transformasi Fourier diskrit untuk teori representasi grup siklik.
  • Untuk n = 4, hanya ada satu representasi tak tereduksi n 1, tetapi ada representasi tak tereduksi yang luar biasa dari dimensi 1.
  • Untuk n = 5, ada dua representasi ganda tak tereduksi dari dimensi 3, yang sesuai dengan aksinya sebagai simetri ikosahedral.
  • Untuk n = 6, ada representasi ekstra tak tereduksi dari dimensi 5 yang sesuai dengan penyisipan transitif yang luar biasa dari A5 di A6.

Simetrisasi

Baca Juga : Teori Relativitas Umum Einstein Menyingkap Kosmos

Mengingat fungsi f dalam n variabel dengan nilai dalam grup abelian, fungsi simetris dapat dibangun dengan menjumlahkan nilai f pada semua permutasi argumen. Demikian pula, fungsi anti-simetris dapat dibangun dengan menjumlahkan permutasi genap dan mengurangkan jumlah permutasi ganjil. Operasi-operasi ini tentu saja tidak dapat dibalik, dan dapat menghasilkan sebuah fungsi yang identik dengan nol untuk fungsi-fungsi nontrivial f.

Satu-satunya kasus umum di mana f dapat diperoleh kembali jika simetri dan antisimetrinya diketahui adalah ketika n = 2 dan grup abelian mengakui pembagian dengan 2 (kebalikan dari penggandaan); maka f sama dengan setengah jumlah simetri dan antisimetrinya.